Autor: Fernando Tenesaca

rtenese@espol.edu.ec | FCNM - ESPOL

Tema 7

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 7

Sea A=M_{2\times 2}{(\mathbb{R})}, si sus subespacios propios son:\begin{aligned} L_1&=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \ : \ \begin{aligned} x+y-3z+w&=0\\y-z-2w&=0\\x+2y-4z-w&=0 \end{aligned} \end{Bmatrix} \\ L_2&=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \ : \ \begin{aligned} x+y-z+2w&=0\\y-z+w&=0 \end{aligned} \end{Bmatrix} \end{aligned}a) Determine si A es diagonalizable.
b) ¿A es una matriz simétrica? Justifique su respuesta.

Tema 6

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 6

Construya, de ser posible, una transformación lineal T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow M_{2\times 2}(\mathbb{R}) que cumpla con:\begin{aligned}T(-2,2,-1) &= \begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 2&0\\1&-2 \end{array} \end{pmatrix} \\ T(-2,1,2) &= \begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 2&1\\-3&-5 \end{array} \end{pmatrix} \\ T(0,1,-3) &= \begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 0&-1\\4&3 \end{array} \end{pmatrix} \\ T(1,-1,0) &= \begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 4&-2\\1&0 \end{array} \end{pmatrix} \end{aligned}

Tema 5

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sea V=P_2{(\mathbb{R})} el espacio de los polinomios de grado menor o igual a 2, con coeficientes reales. Considere los conjuntos:\begin{aligned} H_1&=\{ ax^2+(2a+b)x+b\ :\ a,b\in \mathbb{R} \} \\ H_2&=gen\{ x-2,x+3 \} \\ H_3&=\{ (a+b)x^2+(a+b)x+1\ :\ a,b\in \mathbb{R} \} \end{aligned}a) Determine, cuáles de estos conjuntos es un subespacio vectorial V.
b) Si en el literal a obtiene más de un subespacio vectorial, determine la intersección entre dichos subespacios.
c) Determine si H_1\cup H_2 es un subespacio de V.

Tema 4

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 4

Construya, de ser posible, un sistema con:

a) 3 ecuaciones y 2 incógnitas que tenga infinitas soluciones.
b) 3 ecuaciones y 3 incógnitas que no tenga solución.
c) 3 ecuaciones y 2 incógnitas que tenga solución única.

Tema 3

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Sea V un espacio vectorial real sobre el cual se ha definido al producto interno {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}. Demuestre que para todo par u,v\in V se cumple que {\langle v | u \rangle}=\frac{1}{4}{\lVert u+v \rVert}^2 - \frac{1}{4}{\lVert v-u \rVert}^2.

Tema 2

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Sea V un espacio vectorial complejo sobre el cual se ha definido al producto interno {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}. Demuestre que para todo par u,v\in V y \alpha \in \mathbb{C}, se cumple que {\langle u | \alpha v \rangle}=\bar{\alpha}{\langle u | v \rangle}.

Tema 1

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación se presentan cinco enunciados, a cada uno de los cuales se le han adjuntado cuatro proposiciones, donde al menos una es verdadera. Determine y marque en el círculo correspondiente, la o las opciones correctas.

Literal a. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}. Si T:V\longrightarrow W es una transformación lineal y B=\{ u_1,u_2,...,u_n\} es una base del espacio V, entonces es cierto que:

a.1. T es inyectiva si, y sólo si, Ker(T)=\{\bold{0}_W\} genera a W.
a.2. T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) son vectores linealmente independientes en W.
a.3. T es sobreyectiva si, y sólo si, \{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \} genera a W.
a.4. T es un isomorfismo si, y sólo si, \{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \} es una base de W.

Literal b. Sea V un espacio vectorial, de dimensión finita, definido sobre un campo \mathbb{K}. Si S_1 y S_2 son subespacios de V, entonces es cierto que:

b.1. dim(S_1 + S_2)=dim(S_1)+dim(S_2).
b.2. S_1 + S_1^\perp = \{\bold{0}_V\}.
b.3. (S_1^\perp)^\perp \subseteq S_1.
b.4. En general, S_1 \cup S_2 es un subespacio.

Literal c. Dada la representación matricial de un sistema de ecuaciones, y realizadas las operaciones elementales de filas se obtiene la matriz\begin{pmatrix}\begin{array} {ccc|c} 1&1&a&a \\ 0&a-1&1-a&0 \\ 0&0&2-a-a^2&1-a^2 \end{array}\end{pmatrix}entonces es cierto que:

c.1. Ningún sistema de ecuaciones puede tener esta matriz como representación matricial.
c.2. Si a\neq 1 y a\neq -2 el sistema tiene solución única.
c.3. Para a=1 el sistema tiene infinitas soluciones.
c.4. Para a=-2 el sistema no tiene solución.

Literal d. Sea V un espacio vectorial, de dimensión finita y definido sobre un campo \mathbb{K}, entonces es cierto que:

d.1. Si B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto linealmente independiente en V, entonces \{ v_2,...,v_n \} también es un conjunto linealmente independiente en V.
d.2. Si B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto linealmente independiente en V y w\in V es un vector no nulo, entonces \{v_1,v_2,...,v_n,w \} también es un conjunto linealmente independiente en V.
d.3. Si B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \} y B_2=\{ u_1,u_2,...,u_n \} son dos bases de V, B_1 \cap B_2 también es una base en V.
d.4. Si B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de V, entonces \{ v_1,v_1+v_2,v_1+v_3,...,v_1+v_n \} es también una base de V.

Literal e. Sean u_1 y u_2 dos vectores propios de la matriz A\in M_n{(\mathbb{R})} asociados al autovalor \lambda. Es cierto que:

e.1. u_1-u_2 es vector propio asociado a A^2-A.
e.2. u_1+u_2 es vector propio asociado al valor propio \lambda.
e.3. u_1\perp u_2.
e.4. La multiplicidad geométrica de \lambda debe ser 2.

Tema 5

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 5

Dada la transformación lineal T:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3 definida porT\begin{pmatrix} \begin{array}{r} a\\b\\c \end{array} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} a-2b-2c\\-2a+bm+8c\\2a+8b+cm \end{array} \end{pmatrix},determine los valores de la constante m para los cuales no es diagonalizable en \mathbb{R} la matriz [T]_{BB}, asociada a la transformación con respecto a las bases canónicas B en \mathbb{R}^3.

Tema 4

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 4

Sea V=P_3(\mathbb{R}) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3 con coeficientes reales, con el producto interno {\langle f | g \rangle}=\int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx.

4.1. Determinar el complemento ortogonal de W=gen\{ 1+x,x^2 - 1 \}.
4.2. Escriba el vector v=x^3+3x^2-x+1 como suma de un elemento en W y su complemento ortogonal W^{\perp}.

Tema 3

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Sean {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_1 y {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_2 dos productos internos en un espacio vectorial V sobre el campo de los complejos. Demuestre que {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}={\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_1+{\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_2 es un producto interno sobre V.