Fernando Tenesaca | | Álgebra lineal [MATG1003]

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 2

Sea $T$ una transformación lineal definida como $T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^3$ con reglas de correspondencia $T\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{aligned} a&+2b\\a&+b\\a&-b \end{aligned} \end{pmatrix}$

a. Encuentre una base y dimensión del núcleo y recorrido de $T$ .

b. Halle la matriz asociada a $T$ con respecto a las bases $B=\{ (1,-1),(2,1) \}$ de $\mathbb{R}^2$ y $B'=\{ (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) \}$ de $\mathbb{R}^3$ .

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 1

Una empresa produce tres productos, los mismos que se procesan en tres máquinas. El tiempo en horas requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres máquinas se da a continuación:

Se dispone de la máquina A por 850 horas, de la máquina B por 1200 horas y de la máquina C por 550 horas. ¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible de las máquinas?

Tema 5

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 5

Sea el espacio vectorial $V=P_2$ . Se define el siguiente producto interno $\langle p,q \rangle=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)$ y además, el operador lineal $T$ sobre $V$ como $T(p(x))=p(-1)+p(0)x^2$ Hallar la proyección ortogonal del vector $r(x)=x^2-x-1$ sobre el complemento ortogonal del núcleo de $T$ .

Tema 4

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 4

Sea la matriz $A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} -4&6\\-3&5 \end{array} \end{pmatrix}$ . Determine la matriz $A^k$ , siendo $k\in\mathbb{N}$ .

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 3

Sea $V=C[0,1]$ el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo $[0,1]$ con producto interno $\langle f,g \rangle=\int_{1}^{0} f(x) g(x) dx$ Encuentre un polinomio de grado menor o igual a $1$ que mejor aproxime a la función $f(x)=e^{-x}$ con $x\in [0,1]$ .
Nota: Suponga a los polinomios de grado menor o igual a $1$ como un subespacio vectorial de $V$ .

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 2

Sea $T:\mathbb{R}^4\longrightarrow\mathbb{R}^4$ una transformación lineal definida como $T(x,y,z,w)=(0,x,x+y,x+y+z)$ Se conoce también que $v=(1,0,0,0)$ .

Pruebe que $B=\{v,T(v),T^2(v),T^3(v)\}$ es un conjunto linealmente independiente en $\mathbb{R}^4$ .

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Si $A$ es una matriz de tamaño $n\times n$ , $u$ y $v$ son vectores de $\mathbb{R}^n$ , entonces se cumple que $\langle Av,u \rangle=\langle v,A^T u \rangle$ .
Nota: $\langle u,v \rangle$ representa el producto interno.

b. Sea $V$ un espacio vectorial y $T$ un operador lineal definido sobre $V$ , entonces se cumple que $Nu(T^2) \subseteq Nu(T)$ .

c. Sea $A$ y $B$ matrices semejantes, entonces las matrices $A^T$ y $B^T$ también lo son.

d. Sea $T:V\longrightarrow W$ una transformación lineal. Si $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ es un conjunto linealmente independiente en $V$ , entonces el conjunto $\{T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)\}$ es linealmente independiente en $W$ .

Tema 5

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 5

Sea el sistema de ecuaciones lineales $\left\{ \begin{aligned} x+y+z&=a \\ x+2y-z&=b \\ x+y-z&=c \end{aligned} \right.$ Considere al sistema como el modelo $AX=B$ , siendo $B=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}$ Determine qué valores deben tomar los elementos del vector $B$ para que el sistema de ecuaciones lineales sea consistente.

Tema 4

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 4

Sean las matrices $A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}1&2\\-1&1 \end{array} \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}0&-1\\1&2 \end{array} \end{pmatrix}$ , encuentre la matriz $X$ tal que $(AX^T+B)^T=X$ .

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 3

Un nutricionista considera que una persona en su dieta debe de consumir diariamente trece unidades de carbohidratos, veintidós de proteínas, y treinta y uno de grasas. Un restaurante lanza tres tipos de platos. El plato uno contiene una unidad de carbohidrato, una unidad de proteína y una unidad de grasa, El plato 2 contiene una unidad de carbohidrato, dos unidades de proteínas y tres unidades de grasas. El plato tres contiene cuatro unidades de carbohidratos, siete de proteínas y diez de grasas. Encuentre las distintas combinaciones de platos (uno, dos y tres) que debería consumir una persona en el día para que complete los niveles de carbohidratos, proteínas y grasas que sugiere el nutricionista en una dieta diaria. Las personas no aceptan servirse fracciones de platos.