Autor: Fernando Tenesaca

Sea el espacio vectorial $V=P_2$. Se define el siguiente producto interno$\langle p,q \rangle=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)$y además, el operador lineal $T$ sobre $V$ como$T(p(x))=p(-1)+p(0)x^2$Hallar la proyección ortogonal del vector $r(x)=x^2-x-1$ sobre el complemento ortogonal del núcleo de $T$.

Sea la matriz $A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} -4&6\\-3&5 \end{array} \end{pmatrix}$. Determine la matriz $A^k$, siendo $k\in\mathbb{N}$.

Sea $V=C[0,1]$ el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo $[0,1]$ con producto interno$\langle f,g \rangle=\int_{1}^{0} f(x) g(x) dx$Encuentre un polinomio de grado menor o igual a $1$ que mejor aproxime a la función$f(x)=e^{-x}$ con $x\in [0,1]$.
Nota: Suponga a los polinomios de grado menor o igual a $1$ como un subespacio vectorial de $V$.

Sea $T:\mathbb{R}^4\longrightarrow\mathbb{R}^4$ una transformación lineal definida como$T(x,y,z,w)=(0,x,x+y,x+y+z)$Se conoce también que $v=(1,0,0,0)$.

Pruebe que $B=\{v,T(v),T^2(v),T^3(v)\}$ es un conjunto linealmente independiente en $\mathbb{R}^4$.

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Si $A$ es una matriz de tamaño $n\times n$, $u$ y $v$ son vectores de $\mathbb{R}^n$, entonces se cumple que $\langle Av,u \rangle=\langle v,A^T u \rangle$.
Nota: $\langle u,v \rangle$ representa el producto interno.

b. Sea $V$ un espacio vectorial y $T$ un operador lineal definido sobre $V$, entonces se cumple que $Nu(T^2) \subseteq Nu(T)$.

c. Sea $A$ y $B$ matrices semejantes, entonces las matrices $A^T$ y $B^T$ también lo son.

d. Sea $T:V\longrightarrow W$ una transformación lineal. Si $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ es un conjunto linealmente independiente en $V$, entonces el conjunto $\{T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)\}$ es linealmente independiente en $W$.