Autor: Fernando Tenesaca

rtenese@espol.edu.ec | FCNM - ESPOL

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 2

Sea el espacio vectorial V=M_{2\times 2}. Sean los subespacios vectoriales\begin{aligned}H&=\left\{ \left(\begin{array}{rr}a & b \\c & d \end{array} \right) \in \mathbb{M}_{2\times 2}\; ;\; c=2a-b\; \land \; d=a-b \right\}\\W& =gen \left\{ \left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\5 & 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}2 & 2 \\2 & 1 \end{array} \right) \right\} \end{aligned}

a. Halle H\cap W y H+W.

b. ¿Pertenece el vector A=\left(\begin{array}{rr}9 & 8 \\7 & 5 \end{array}\right) al subespacio H+W? Justifique su respuesta.

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Si p(x)=2x^2+x y {[p(x)]}_B=\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}, entonces B es la base canónica \{ x^2,x,1 \}.

b. Sea V=\mathbb{R}^3. Se define el subconjunto H de V comoH=\left\{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3\; ; \; x^2+y^2+z^2 \le 0 \right\}Entonces H es un subespacio vectorial de V.

c. Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas definidas sobre el conjunto de los números reales. Sea H el subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores \{ 1,\cos x,\sin x \}, entonces el vector u=\tan x pertenece al subespacio vectorial H.

d. Sean A y B dos matrices de cambio de base en un espacio vectorial V, entonces se cumple que det(A+B)\ne 0.

Tema 6

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 6

Para el operador lineal en \mathbb{P}_2 definido como T(p(x))=(x-1)p'(x)+p(0). Halle la representación matricial de T usando la siguiente base para \mathbb{P}_2:B_1=B_2=\{ x-1,x+1,x^2+1 \}

Tema 5

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sea V=\mathbb{R}^4 y sea H=\{ v\in \mathbb{R}^4\; ; \;v=(a,b,-b,-a)\; ; \; a,b\in \mathbb{R} \}.

a. Halle H^{\perp}.

b. Determine Proy_{H^{\perp}}^v siendo v=(2,0,1,1).

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Para la transformación lineal T:\mathbb{P}_3 \rightarrow \mathbb{P}_3 definida comoT(p(x))=xp'(x) determine:

a. Una base para el núcleo y el recorrido de T.

b. El rango y nulidad de T.

c. ¿Es T inversible? Justifique su respuesta.

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Sea el espacio vectorial de las matrices \mathbb{M}_{3\times 3} se define la matriz M como sigueM=\begin{pmatrix}3&2&0\\2&3&0\\0&0&3 \end{pmatrix}

a. Determine el valor de \alpha para que la matrizA=\begin{pmatrix}13&12&0\\12&13&0\\0&0&\alpha \end{pmatrix}pertenezca al subespacio generado por M e I.
Nota: I denota la matriz identidad.

b. Se define el subconjunto E de \mathbb{M}_{3\times 3} como E=\footnotesize{\{ aI+bM+cM^2\; ; \; a,b,c\in \mathbb{R} \}}. Demuestre que E es un subespacio vectorial.

c. ¿Cuál es la dimensión de E?

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

Sea la matriz A=\begin{pmatrix}0&1&0&3&2\\0&2&0&6&4\\0&2&2&5&3 \\0&1&2&1&0 \end{pmatrix}

a. Determine una base para el espacio fila, para el núcleo y la imagen de A.

b. Halle la nulidad y rango de la matriz.

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Sea S un subespacio vectorial del espacio vectorial de \mathbb{M}_{2\times 2} dado comoS=gen\left\{ \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}-1&-1\\0&0 \end{array} \end{pmatrix} \right\}Halle la Proy_{S^{\perp}}C siendo C=\begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix}. Use \langle A,B \rangle=Traza({A^T}B)