Autor: Fernando Tenesaca

rtenese@espol.edu.ec | FCNM - ESPOL

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 2

Sea el espacio vectorial V=M2×2V=M_{2\times 2}. Sean los subespacios vectorialesH={(abcd)∈M2×2;c=2a−b∧d=a−b}W=gen{(1−151),(2221)}\begin{aligned}H&=\left\{ \left(\begin{array}{rr}a & b \\c & d \end{array} \right) \in \mathbb{M}_{2\times 2}\; ;\; c=2a-b\; \land \; d=a-b \right\}\\W& =gen \left\{ \left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\5 & 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}2 & 2 \\2 & 1 \end{array} \right) \right\} \end{aligned}

a. Halle H∩WH\cap W y H+WH+W.

b. ¿Pertenece el vector A=(9875)A=\left(\begin{array}{rr}9 & 8 \\7 & 5 \end{array}\right) al subespacio H+WH+W? Justifique su respuesta.

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Si p(x)=2x2+xp(x)=2x^2+x y [p(x)]B=(210){[p(x)]}_B=\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}, entonces BB es la base canónica {x2,x,1}\{ x^2,x,1 \}.

b. Sea V=R3V=\mathbb{R}^3. Se define el subconjunto HH de VV comoH={(xyz)∈R3;x2+y2+z2≤0}H=\left\{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3\; ; \; x^2+y^2+z^2 \le 0 \right\}Entonces HH es un subespacio vectorial de VV.

c. Sea VV el espacio vectorial de las funciones continuas definidas sobre el conjunto de los números reales. Sea HH el subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores {1,cos⁡x,sin⁡x}\{ 1,\cos x,\sin x \}, entonces el vector u=tan⁡xu=\tan x pertenece al subespacio vectorial HH.

d. Sean AA y BB dos matrices de cambio de base en un espacio vectorial VV, entonces se cumple que det(A+B)≠0det(A+B)\ne 0.

Tema 6

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 6

Para el operador lineal en P2\mathbb{P}_2 definido como T(p(x))=(x−1)p′(x)+p(0)T(p(x))=(x-1)p'(x)+p(0). Halle la representación matricial de TT usando la siguiente base para P2\mathbb{P}_2:B1=B2={x−1,x+1,x2+1}B_1=B_2=\{ x-1,x+1,x^2+1 \}

Tema 5

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sea V=R4V=\mathbb{R}^4 y sea H={v∈R4;v=(a,b,−b,−a);a,b∈R}H=\{ v\in \mathbb{R}^4\; ; \;v=(a,b,-b,-a)\; ; \; a,b\in \mathbb{R} \}.

a. Halle H⊥H^{\perp}.

b. Determine ProyH⊥vProy_{H^{\perp}}^v siendo v=(2,0,1,1)v=(2,0,1,1).

Tema 4

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 4

Determine el valor de k∈Rk\in \mathbb{R} para que la matriz AA sea diagonalizable.A=(k010k010k)A=\begin{pmatrix} k&0&1\\0&k&0\\1&0&k \end{pmatrix}

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Para la transformación lineal T:P3→P3T:\mathbb{P}_3 \rightarrow \mathbb{P}_3 definida comoT(p(x))=xp′(x)T(p(x))=xp'(x) determine:

a. Una base para el núcleo y el recorrido de TT.

b. El rango y nulidad de TT.

c. ¿Es TT inversible? Justifique su respuesta.

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Sea el espacio vectorial de las matrices M3×3\mathbb{M}_{3\times 3} se define la matriz MM como sigueM=(320230003)M=\begin{pmatrix}3&2&0\\2&3&0\\0&0&3 \end{pmatrix}

a. Determine el valor de α\alpha para que la matrizA=(131201213000α)A=\begin{pmatrix}13&12&0\\12&13&0\\0&0&\alpha \end{pmatrix}pertenezca al subespacio generado por MM e II.
Nota: II denota la matriz identidad.

b. Se define el subconjunto EE de M3×3\mathbb{M}_{3\times 3} como E={aI+bM+cM2;a,b,c∈R}E=\footnotesize{\{ aI+bM+cM^2\; ; \; a,b,c\in \mathbb{R} \}}. Demuestre que EE es un subespacio vectorial.

c. ¿Cuál es la dimensión de EE?

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

Sea la matriz A=(01032020640225301210)A=\begin{pmatrix}0&1&0&3&2\\0&2&0&6&4\\0&2&2&5&3 \\0&1&2&1&0 \end{pmatrix}

a. Determine una base para el espacio fila, para el núcleo y la imagen de AA.

b. Halle la nulidad y rango de la matriz.

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Sea SS un subespacio vectorial del espacio vectorial de M2×2\mathbb{M}_{2\times 2} dado comoS=gen{(1100),(−1−100)}S=gen\left\{ \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}-1&-1\\0&0 \end{array} \end{pmatrix} \right\}Halle la ProyS⊥CProy_{S^{\perp}}C siendo C=(1100)C=\begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix}. Use ⟨A,B⟩=Traza(ATB)\langle A,B \rangle=Traza({A^T}B)