{"id":1199,"date":"2017-05-17T10:24:16","date_gmt":"2017-05-17T15:24:16","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=1199"},"modified":"2019-11-07T14:08:14","modified_gmt":"2019-11-07T19:08:14","slug":"cl1-03-rango-de-una-matriz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/cl1-03-rango-de-una-matriz\/","title":{"rendered":"cl1-03. Rango de una Matriz"},"content":{"rendered":"
\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Sea A<\/span> una matriz m\\times n<\/span>, el rango de A<\/span> es el n\u00famero de filas no nulas que resultan luego de reducir por renglones a la matriz.<\/pre>\n
Notaci\u00f3n.<\/strong> Se denota el rango de la matriz A como \\rho\\left(A\\right)<\/span>, Rg\\left(A\\right)<\/span> o r\\left(A\\right)<\/span>.<\/p>\n
\u00a0<\/p>\n
Ejemplo 1.<\/strong> Dada la matriz A=\\scriptsize{\\left(\\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 2 & 0 \\\\ -2 & 1 & -3 & 1 \\end{array}\\right)}<\/span>, calcule su rango.<\/pre>\n
Soluci\u00f3n.<\/strong><\/p>\n
\r\n\\left(\\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 2 & 0 \\\\ -2 & 1 & -3 & 1 \\end{array}\\right)\r\n\\begin{array}{c} {\\scriptsize f_{2}-3f_{1}} \\\\ \\longrightarrow \\\\ {\\scriptsize f_{3}+2f_{1}}\\end{array}\r\n\\left(\\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\\\ 0 & -5 & 5 & -3 \\\\ 0 & 5 & -5 & 3 \\end{array}\\right)\r\n\\stackrel{f_{3}+f_{2}}{\\longrightarrow}\r\n\\left(\\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\\\ 0 & -5 & 5 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right)\r\n<\/span><\/pre>\n
Por consiguiente, el rango de la matriz A<\/span> es 2.<\/p>\n
Aplicaci\u00f3n en el an\u00e1lisis de los sistemas de ecuaciones lineales<\/h2>\n
Teorema de Kronecker-Capelli.<\/strong> Sea el sistema de ecuaciones lineales Ax=b<\/span>, entonces el sistema es consistente (o compatible) si y solo si el rango de A<\/span> es igual al rango de la matriz aumentada \\left(A|b\\right)<\/span>; es decir \\rho\\left(A\\right)=\\rho\\left(A|b\\right)<\/span><\/pre>\n
Ejemplo 2.<\/strong> Analice el siguiente sistema de ecuaciones lineales: \\left\\{ \\begin{array}{rcrcrcl}\r\nx&+&2y&-&z&+&w&=&5 \\\\\r\n3x&+&y&+&2z&& &=&2 \\\\\r\n-2x&+&y&-&3z&+&w&=&3 \r\n\\end{array}\\right.<\/span><\/pre>\n
Soluci\u00f3n.<\/strong> La representaci\u00f3n matricial del sistema Ax=b<\/span> es \\left(\\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\\\3 & 1 & 2 & 0 \\\\ -2 & 1 & -3 & 1 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}x\\\\y\\\\z\\\\w \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}5\\\\2\\\\3 \\end{array}\\right)<\/span>donde A=\\scriptsize{\\left(\\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\\\3 & 1 & 2 & 0 \\\\ -2 & 1 & -3 & 1 \\end{array}\\right)}<\/span> y b=\\scriptsize{\\left(\\begin{array}{c}5\\\\2\\\\3 \\end{array}\\right)}<\/span>.<\/p>\n
La representaci\u00f3n con matriz aumentada \\left(A|b\\right)<\/span> es \\left(\\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\\\3 & 1 & 2 & 0&2 \\\\ -2 & 1 & -3 & 1 &3\\end{array}\\right)<\/span>y su resoluci\u00f3n mediante operaciones de rengl\u00f3n (forma escalonada) es<\/p>\n
\r\n\\left(\\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\\\ 3 & 1 & 2 & 0&2 \\\\ -2 & 1 & -3 & 1 &3\\end{array}\\right)\r\n\\begin{array}{c} {\\scriptsize f_{2}-3f_{1}} \\\\ \\longrightarrow \\\\ {\\scriptsize f_{3}+2f_{1}}\\end{array}\r\n\\left(\\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\\\ 0 & -5 & 5 & -3 &-13\\\\ 0 & 5 & -5 & 3 &13\\end{array}\\right)\r\n\\stackrel{f_{3}+f_{2}}{\\longrightarrow}\r\n\\left(\\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\\\ 0 & -5 & 5 & -3 &-13\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0\\end{array}\\right)\r\n<\/span><\/pre>\n
donde se observa que el rango de la matriz aumentada \\left(A|b\\right)<\/span> es 2. De la misma manera, al omitir la matriz b<\/span> y analizar, se observa que el rango de A tambi\u00e9n es 2, es decir\\rho \\left(\\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\\\ 0 & -5 & 5 & -3 &-13\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0\\end{array}\\right)=\\rho \\left(\\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\\\ 0 & -5 & 5 & -3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\end{array}\\right)<\/span>Por consiguiente, el sistema de ecuaciones lineales es consistente<\/em>.<\/p>\n
Ejemplo 3.<\/strong> Analice el sistema de ecuaciones lineales del ejemplo previo que ha sido modificado como: \r\n\\left\\{ \\begin{array}{rcrcrcl}x&+&2y&-&z&+&w&=&4 \\\\\r\n3x&+&y&+&2z&& &=&1 \\\\\r\n-2x&+&y&-&3z&+&w&=&1 \r\n\\end{array}\\right.<\/span><\/pre>\n
Soluci\u00f3n.<\/strong> La representaci\u00f3n con matriz aumentada y su resoluci\u00f3n mediante operaciones de rengl\u00f3n (forma escalonada) es<\/p>\n
\r\n\\left(\\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &4\\\\ 3 & 1 & 2 & 0&1 \\\\ -2 & 1 & -3 & 1 &1\\end{array}\\right)\r\n\\begin{array}{c} {\\scriptsize f_{2}-3f_{1}} \\\\ \\longrightarrow \\\\ {\\scriptsize f_{3}+2f_{1}}\\end{array}\r\n\\left(\\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\\\ 0 & -5 & 5 & -3 &-11\\\\ 0 & 5 & -5 & 3 &9\\end{array}\\right)\r\n\\stackrel{f_{3}+f_{2}}{\\longrightarrow}\r\n\\left(\\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\\\ 0 & -5 & 5 & -3 &-11\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 &2\\end{array}\\right)\r\n<\/span><\/pre>\n
donde se puede observar que la matriz aumentada \\left(A|b\\right)<\/span> tiene rango 3, pero al omitir la aumentada b<\/span>, se obtiene que el rango de A<\/span> es 2<\/span>. Por consiguiente, el sistema de ecuaciones lineales es inconsistente<\/em>.<\/p>\n
El rango provee adem\u00e1s informaci\u00f3n sobre el tipo de soluci\u00f3n cuando un sistema de ecuaciones lineales \\left(A|b\\right)<\/span> es consistente. El n\u00famero de inc\u00f3gnitas es el n\u00famero de columnas n<\/span> de la matriz A<\/span>, mientras que el n\u00famero de variables libres es igual a n-\\rho<\/span>. En consecuencia, un sistema de ecuaciones lineales consistente tiene infinitas soluciones, si y solo si, n-\\rho<\/span> es mayor que cero \\left(n>\\rho\\right)<\/span>, pero tiene soluci\u00f3n \u00fanica si n=\\rho<\/span>.<\/pre>\n
En el sistema de ecuaciones lineales consistente del Ejemplo 2<\/b>, se tiene que \\rho=2<\/span> pero el n\u00famero de inc\u00f3gnitas es n=4<\/span>. Luego, la cantidad de variables libres es n-\\rho=2<\/span> y el sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones.<\/p>\n
Ejemplo 4.<\/strong> Analice el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando el concepto de rango: \r\n\\left\\{ \\begin{array}{rcrcl}2x&-&3y&=&6 \\\\\r\nx&-&3y&=&0 \\\\\r\n3x&-&3y&=&12 \r\n\\end{array}\\right.<\/span><\/pre>\n
Soluci\u00f3n.<\/strong> La representaci\u00f3n con matriz aumentada y su resoluci\u00f3n mediante operaciones de rengl\u00f3n (forma escalonada) es<\/p>\n
\\left(\\begin{array}{rr|r} 2 & -3 & 6\\\\ 1 & -3 & 0\\\\ 3 & -3 & 12 \\end{array}\\right) \\begin{array}{c} \\stackrel{f_{1} {\\leftrightarrow} f_{2}}{\\longrightarrow} \\end{array}\\left(\\begin{array}{rr|r}1 & -3 & 0\\\\2 & -3 & 6\\\\3 & -3 & 12\\end{array}\\right) \\begin{array}{c} {\\scriptsize f_{2}-2f_{1}} \\\\ \\longrightarrow \\\\ {\\scriptsize f_{3}-3f_{1}}\\end{array} \\left(\\begin{array}{rr|r} 1 & -3 & 0\\\\0 & 3 & 6\\\\0 & 6 & 12\\end{array}\\right) \\stackrel{f_{3}-2f_{2}}{\\longrightarrow}\\left(\\begin{array}{rr|r}1 & -3 & 0\\\\0 & 3 & 6\\\\0 & 0 & 0\\end{array}\\right) <\/span><\/pre>\n
donde se puede observar que \\rho\\left(A|b\\right)=\\rho\\left(A\\right)<\/span>. Por consiguiente, el sistema de ecuaciones lineales es consistente<\/em>.<\/p>\n
El n\u00famero de inc\u00f3gnitas es 2<\/span>, y el rango es 2<\/span>, por consiguiente, el sistema de ecuaciones lineales tiene soluci\u00f3n \u00fanica, pues la cantidad de variables libres es n-\\rho=0<\/span>.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
\n
Enlaces de inter\u00e9s<\/strong><\/p>\n
Clase Online<\/a>\r\nPlataforma SIDWeb<\/a>\r\nReferencias Bibliogr\u00e1ficas<\/a><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Definici\u00f3n. Sea una matriz , el rango de es el n\u00famero de filas no nulas que resultan luego de reducir por renglones a la matriz. Notaci\u00f3n. Se denota el rango de la matriz A como , o . \u00a0 Ejemplo 1. Dada la matriz , calcule su rango. Soluci\u00f3n. Por consiguiente, el rango de la … Sigue leyendo cl1-03. Rango de una Matriz<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":9991,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414633],"tags":[],"class_list":["post-1199","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-1ra-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1199","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/users\/9991"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1199"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1199\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7527,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1199\/revisions\/7527"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1199"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1199"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1199"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}