{"id":133,"date":"2017-04-11T17:22:33","date_gmt":"2017-04-11T22:22:33","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=133"},"modified":"2019-11-07T14:10:13","modified_gmt":"2019-11-07T19:10:13","slug":"cl2-01-espacios-vectoriales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/cl2-01-espacios-vectoriales\/","title":{"rendered":"cl2-01. Espacios Vectoriales"},"content":{"rendered":"
\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Un espacio vectorial\u00a0V<\/span>, sobre un campo \\mathbb{K}<\/span> cuyos elementos se denominan escalares, es un conjunto no vac\u00edo de objetos llamados vectores en el cual se definen dos operaciones binarias llamadas suma de vectores y multiplicaci\u00f3n por escalar, las cuales satisfacen los siguientes axiomas:<\/pre>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
1.<\/td>\n\\forall\\ v_{\\mathrm{1}},v_{\\mathrm{2}}\\ \\mathrm{\\in}\\ V:v_{\\mathrm{1}}\\mathrm{\\oplus}v_{\\mathrm{2}}\\ \\mathrm{\\in}\\ V<\/span>
\n(Cerradura bajo la suma).<\/td>\n<\/tr>\n
2.<\/td>\n\\forall\\ v_{\\mathrm{1}},v_{\\mathrm{2}}\\ \\mathrm{\\in}\\ V:v_{\\mathrm{1}}\\mathrm{\\oplus}v_{\\mathrm{2}}=v_{\\mathrm{2}}\\mathrm{\\oplus}v_{\\mathrm{1}}<\/span>
\n(Ley conmutativa de la suma de vectores).<\/td>\n<\/tr>\n
3.<\/td>\n\\forall\\ v_{\\mathrm{1}},v_{\\mathrm{2}},v_{\\mathrm{3}}\\ \\mathrm{\\in}\\ V:<\/span> v_{\\mathrm{1}}\\mathrm{\\oplus}\\left(v_{\\mathrm{2}}\\mathrm{\\oplus}v_{\\mathrm{3}}\\right)\\mathrm{=(}v_{\\mathrm{1}}\\mathrm{\\oplus}v_{\\mathrm{2}}\\mathrm{)}\\mathrm{\\oplus}v_{\\mathrm{3}}<\/span>
\n(Ley asociativa de suma de vectores).<\/td>\n<\/tr>\n
4.<\/td>\n\\exists\\ n\\ \\mathrm{\\in}\\ V\\,\\ \\forall\\ v\\ \\mathrm{\\in}\\ V:v\\mathrm{\\oplus}n=v<\/span>
\n(El vector n<\/span> se llama neutro aditivo, vector cero o cero vector).<\/td>\n<\/tr>\n
5.<\/td>\n\\forall\\ v\\ \\mathrm{\\in}V\\,\\ \\exists\\ v{'}\\ \\mathrm{\\in}\\ V:v\\mathrm{\\oplus}v{'}=n<\/span>
\n(El vector v'<\/span> se llama inverso aditivo de v<\/span>).<\/td>\n<\/tr>\n
6.<\/td>\n\\forall\\ v\\ \\mathrm{\\in}\\ V\\,\\ \\forall\\ \\alpha\\ \\mathrm{\\in}\\ \\mathbb{K}:\\alpha\\odot v\\ \\mathrm{\\in}\\ V<\/span>
\n(Cerradura bajo la multiplicaci\u00f3n por un escalar).<\/td>\n<\/tr>\n
7.<\/td>\n\\forall\\ v_{\\mathrm{1}},v_{\\mathrm{2}}\\ \\mathrm{\\in}\\ V\\,\\ \\forall\\ \\alpha\\ \\mathrm{\\in}\\ \\mathbb{K}:<\/span> \\alpha\\odot\\left(v_{\\mathrm{1}}\\oplus v_{\\mathrm{2}}\\right)=\\left(\\alpha\\odot v_{\\mathrm{1}}\\right)\\mathrm{\\oplus}\\left(\\alpha\\odot v_{2}\\right)<\/span>
\n(Primera ley distributiva).<\/td>\n<\/tr>\n
8.<\/td>\n\\forall\\ v\\in V\\,\\ \\forall\\ \\alpha,\\beta\\ \\mathrm{\\in}\\ \\mathbb{K}:<\/span> \\left(\\alpha+\\beta\\right)\\odot v= \\left(\\alpha\\odot v\\right)\\oplus\\left(\\beta\\odot v\\right)<\/span> (Segunda ley distributiva).<\/td>\n<\/tr>\n
9.<\/td>\n\\forall\\ v\\in V\\,\\ \\forall\\ \\alpha,\\beta\\ \\mathrm{\\in}\\ \\mathbb{K}:<\/span> \\left(\\alpha\\beta\\right)\\odot v=\\alpha\\odot\\left(\\beta\\odot v\\right)<\/span>
\n(Ley asociativa de la multiplicaci\u00f3n por escalares).<\/td>\n<\/tr>\n
10.<\/td>\n\\forall\\ v\\in V\\,\\ 1\\in\\mathbb{K}: 1\\odot v=v<\/span>
\n(1<\/span> es el id\u00e9ntico multiplicativo)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
La nomenclatura que se generalmente se sigue es:<\/p>\n\n\n\n
\\oplus<\/span> Cuando se trata de suma de vectores.
\n+<\/span> Cuando se trata de suma de escalares.
\n\\odot<\/span> Cuando se trata del producto de un vector por un escalar.
\n\\ \\cdot<\/span> \u00a0Cuando se trata del producto de escalares.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
Para probar si un conjunto de vectores conforma o no un espacio vectorial, se debe verificar que satisfaga los 10 axiomas dados, en caso de que por lo menos uno de ellos no se cumpla, entonces ese conjunto de vectores no conforma un espacio vectorial.<\/p>\n
La manera de c\u00f3mo efectuar la suma de vectores y el producto de un vector por un escalar no necesariamente es la suma de vectores y el producto de un vector por un escalar convencionales, sino que queda definida por el planteamiento del problema.<\/p>\n
Ejemplo.<\/strong> Determine si el conjunto V=\\left\\{v\/v>0,\\ v\\in\\mathbb{R}\\right\\}<\/span> constituye un espacio vectorial, con las siguientes operaciones:\r\n\\begin{array}{rcll}v_{1}\\oplus v_{2} & = & v_{1}v_{2}, & v_{1},v_{2}\\in V \\\\ \\alpha\\odot v & = & v^{\\alpha}, & v\\in V\\ \\land\\ \\alpha\\in\\mathbb{R}\\end{array}<\/span><\/pre>\n
Soluci\u00f3n.<\/strong> A continuaci\u00f3n se verifica el cumplimiento de los 10 axiomas:<\/p>\n\\mathbf{1.\\quad \\forall v_{\\mathrm{1}},v_{\\mathrm{2}}\\mathrm{\\in}V:v_{\\mathrm{1}}\\mathrm{\\oplus}v_{\\mathrm{2}}\\mathrm{\\in}V}<\/span>\n
Sea v_{3}=v_{1}\\oplus v_{2}<\/span>, por definici\u00f3n v_{1}\\oplus v_{2}=v_{1}v_{2}<\/span>; para que este axioma se cumpla v_{3}<\/span> debe pertenecer a V<\/span>, es decir, v_{3}<\/span> debe ser un n\u00famero mayor que 0<\/span>. Considerando que v_{1}>0<\/span> y v_{2}>0<\/span> debido a que v_{1}<\/span> y v_{2}<\/span> pertenecen a V<\/span> se tiene que v_{3}=v_{1}\\oplus v_{2}=v_{1}v_{2}<\/span> entonces v_{3}=v_{1}v_{2}\\ \\wedge\\ v_{1}v_{2}>0\\Rightarrow v_{3}>0\\Rightarrow v_{3}\\in V<\/span>. Por consiguiente el axioma si se cumple.<\/em><\/p>\n\\mathbf{2.\\quad \\forall v_{\\mathrm{1}},v_{\\mathrm{2}}\\mathrm{\\in}V:v_{\\mathrm{1}}\\mathrm{\\oplus}v_{\\mathrm{2}}\\mathrm{=}v_{\\mathrm{2}}\\mathrm{\\oplus}v_{\\mathrm{1}}}<\/span>\n
Sean v_{3}=v_{1}\\oplus v_{2}<\/span> y v_{4}=v_{2}\\oplus v_{1}<\/span>. Se debe verificar que v_{3}=v_{4}<\/span>.\\begin{aligned}v_{3}=v_{1}\\oplus v_{2}=v_{1}v_{2} \\\\ v_{4}=v_{2}\\oplus v_{1}=v_{2}v_{1}\\end{aligned}<\/span> Como v_{1}<\/span> y v_{2}<\/span> son n\u00fameros reales entonces v_{1}v_{2}=v_{2}v_{1}<\/span> por tanto v_{3}=v_{4}<\/span>. Por consiguiente el axioma si se cumple.<\/em><\/p>\n\\mathbf{3.\\quad \\forall v_{\\mathrm{1}},v_{\\mathrm{2}},v_{\\mathrm{3}}\\mathrm{\\in}V:v_{\\mathrm{1}}\\mathrm{\\oplus}\\left(v_{\\mathrm{2}}\\mathrm{\\oplus}v_{\\mathrm{3}}\\right)\\mathrm{=(}v_{\\mathrm{1}}\\mathrm{\\oplus}v_{\\mathrm{2}}\\mathrm{)}\\mathrm{\\oplus}v_{\\mathrm{3}}}<\/span>\n
\\begin{aligned}v_{1}\\oplus\\left(v_{2}\\oplus v_{3}\\right)=v_{1}\\oplus\\left(v_{2}v_{3}\\right)=v_{1}v_{2}v_{3} \\\\ \\left(v_{1}\\oplus v_{2}\\right)\\oplus v_{3}=\\left(v_{1}v_{2}\\right)\\oplus v_{3}=v_{1}v_{2}v_{3}\\end{aligned}<\/span>Por consiguiente el axioma si se cumple.<\/em><\/p>\n\\mathbf{4.\\quad \\exists\\ n \\mathrm{\\in}V\\,\\ \\forall\\ v\\mathrm{\\in}V:v\\mathrm{\\oplus}n=v}<\/span>\n
Este axioma describe que existe un vector n<\/span> (neutro aditivo) que pertenece a V<\/span>, tal que v\\oplus n=v<\/span>. El vector n<\/span> es \u00fanico en un espacio vectorial; en caso de que existan 2 o m\u00e1s vectores neutros, el conjunto no es un espacio vectorial.
\n\\begin{array}{rcl} n\\oplus v&=&v \\\\ nv&=&v \\\\ n&=&\\tfrac{v}{v} \\\\ n&=&1 \\end{array}<\/span> El vector neutro n<\/span> es \u00fanico y para el ejemplo, el neutro es el n\u00famero 1; es importante se\u00f1alar que el neutro aditivo no implica que el vector n<\/span> se relacione \u00fanicamente con el n\u00famero cero (0<\/span>). Por consiguiente el axioma si se cumple.<\/em><\/p>\n\\mathbf{5.\\quad \\forall\\ v\\ \\mathrm{\\in}V\\,\\ \\exists\\ v{'}\\ \\mathrm{\\in}\\ V:v\\mathrm{\\oplus}v{'}=n}<\/span>\n
\\begin{array}{rcl} v\\oplus v{'}&=&n \\\\ vv{'}&=&n \\\\ v{'}&=&\\tfrac{n}{v} \\\\ v{'}&=&\\tfrac{1}{v} \\end{array}<\/span> Siendo v>0\\Rightarrow v{'}=\\tfrac{1}{v}<\/span> siempre ser\u00e1 mayor que cero. Por consiguiente el axioma si se cumple<\/em>.<\/p>\n\\mathbf{6.\\quad \\forall\\ v\\ \\mathrm{\\in}\\ V\\,\\ \\forall\\ \\alpha\\ \\mathrm{\\in}\\ \\mathbb{R}:\\alpha \\odot v\\ \\mathrm{\\in}\\ V}<\/span>\n
Por definici\u00f3n \\alpha\\odot v=v^{\\alpha}<\/span>; como v>0<\/span>, entonces v^{\\alpha}>0<\/span>. Por consiguiente el axioma si se cumple.<\/em><\/p>\n\\mathbf{7.\\quad \\forall\\ v_{\\mathrm{1}},v_{\\mathrm{2}}\\ \\mathrm{\\in}\\ V\\,\\ \\forall\\ \\alpha\\ \\mathrm{\\in}\\ \\mathbb{R}:\\alpha\\odot\\left(v_{\\mathrm{1}}\\oplus v_{\\mathrm{2}}\\right)=\\left(\\alpha\\odot v_{\\mathrm{1}}\\right)\\mathrm{\\oplus}\\left(\\alpha\\odot v_{2}\\right)}<\/span>\n
\\begin{array}{rcl}\\alpha\\odot\\left(v_{1}\\oplus v_{2}\\right)&=&\\left(\\alpha\\odot v_{1}\\right)\\oplus\\left(\\alpha\\odot v_{2}\\right) \\\\ \\alpha\\odot\\left(v_{1}v_{2}\\right)&=&v_{1}^{\\alpha}\\oplus v_{2}^{\\alpha} \\\\ \\left(v_{1}v_{2}\\right)^{\\alpha}&=&v_{1}^{\\alpha}v_{2}^{\\alpha} \\\\ v_{1}^{\\alpha}v_{2}^{\\alpha} &=& v_{1}^{\\alpha}v_{2}^{\\alpha}\\end{array}<\/span> Por consiguiente el axioma si se cumple<\/em>.<\/p>\n\\mathbf{8.\\quad \\forall\\ v\\in V\\,\\ \\forall\\ \\alpha,\\beta \\mathrm{\\in}\\mathbb{R}:\\left(\\alpha+\\beta\\right)\\odot v=\\left(\\alpha\\odot v\\right)\\oplus\\left(\\beta\\odot v\\right)}<\/span>\n
\\begin{array}{rcl}\\left(\\alpha+\\beta\\right)\\odot v&=&\\left(\\alpha\\odot v\\right)\\oplus\\left(\\beta\\odot v\\right) \\\\ v^{\\left(\\alpha+\\beta\\right)}&=&v^{\\alpha}\\oplus v^{\\beta} \\\\ v^{\\left(\\alpha+\\beta\\right)}&=&v^{\\alpha}v^{\\beta}\\\\v^{\\left(\\alpha+\\beta\\right)}&=&v^{\\left(\\alpha+\\beta\\right)}\\end{array}<\/span> Por consiguiente el axioma si se cumple<\/em>.<\/p>\n\\mathbf{9.\\quad \\forall\\ v\\in V\\,\\ \\forall\\ \\alpha,\\beta \\mathrm{\\in}\\mathbb{R}:\\left(\\alpha\\beta\\right)\\odot v=\\alpha\\odot\\left(\\beta\\odot v\\right)}<\/span>\n
\\begin{array}{rcl}\\left(\\alpha\\beta\\right)\\odot v&=&\\alpha\\odot\\left(\\beta\\odot v\\right) \\\\ v^{\\alpha\\beta}&=&\\alpha\\odot\\left(v^{\\beta}\\right) \\\\ v^{\\alpha\\beta}&=&\\left(v^{\\beta}\\right)^{\\alpha} \\\\ v^{\\alpha\\beta}&=&v^{\\alpha\\beta}\\end{array}<\/span> Por consiguiente el axioma si se cumple<\/em>.<\/p>\n\\mathbf{10.\\quad \\forall\\ v\\in V\\,\\ 1\\in\\mathbb{R}: 1\\odot v=v}<\/span>\n
\\begin{array}{rcl}1 \\odot v&=&v \\\\ v&=&v \\end{array}<\/span> Por consiguiente el axioma si se cumple<\/em>.<\/p>\n
En conclusi\u00f3n, al cumplir con los 10<\/span> axiomas entonces el conjunto V<\/span>, con las operaciones definidas de suma entre vectores (\\oplus<\/span>) y multiplicaci\u00f3n por escalar (\\odot\\alpha<\/span>), representa un espacio vectorial.<\/p>\n
Es posible que el mismo conjunto V<\/span>, con otras definiciones para \\oplus<\/span> y \\odot\\alpha<\/span> no constituya un espacio vectorial; as\u00ed como, es posible que las mismas definiciones de \\oplus<\/span> y \\odot\\alpha<\/span> pero con un conjunto diferente tampoco constituya un espacio vectorial.<\/pre>\n
\n
Enlaces de inter\u00e9s<\/strong><\/p>\n
Clase Online<\/a>\r\nPlataforma SIDWeb<\/a>\r\nReferencias Bibliogr\u00e1ficas<\/a><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Definici\u00f3n. Un espacio vectorial\u00a0, sobre un campo cuyos elementos se denominan escalares, es un conjunto no vac\u00edo de objetos llamados vectores en el cual se definen dos operaciones binarias llamadas suma de vectores y multiplicaci\u00f3n por escalar, las cuales satisfacen los siguientes axiomas: 1. (Cerradura bajo la suma). 2. (Ley conmutativa de la suma de … Sigue leyendo cl2-01. Espacios Vectoriales<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":609,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414633],"tags":[],"class_list":["post-133","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-1ra-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/133","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/users\/609"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=133"}],"version-history":[{"count":397,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/133\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7529,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/133\/revisions\/7529"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=133"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=133"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=133"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}