{"id":1608,"date":"2017-05-29T14:49:47","date_gmt":"2017-05-29T19:49:47","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=1608"},"modified":"2019-11-07T14:51:14","modified_gmt":"2019-11-07T19:51:14","slug":"cl2-08-matriz-de-cambio-de-base","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/cl2-08-matriz-de-cambio-de-base\/","title":{"rendered":"cl2-08. Matriz de Cambio de Base"},"content":{"rendered":"
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Definici\u00f3n.<\/strong> Sea B=\\left\\{v_1,v_2,v_3,..., v_n\\right\\}<\/span> un conjunto de vectores de un espacio vectorial V<\/span> y v<\/span> un vector de V<\/span>. Si se expresa v<\/span> como combinaci\u00f3n lineal de B<\/span>, es decirv=\\alpha_1v_1+\\alpha_2v_2+...+\\alpha_nv_n,<\/span>entonces el vector u=\\left( \\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3,...,\\alpha_n \\right)<\/span> representa las coordenadas del vector v<\/span> en funci\u00f3n de B<\/span> donde el vector u<\/span> es un vector coordenado<\/em>.<\/pre>\n
Notaci\u00f3n.<\/strong> El vector coordenado u<\/span> que representa las coordenadas del vector v<\/span> en funci\u00f3n de B<\/span> se denota por \\left[v\\right]_B=u<\/span>.<\/p>\n
Ejemplo.<\/strong> Sean V=\\mathbb{R^2}<\/span> y \\scriptsize{B=\\left\\{\\left(\\begin{array}{r} 1\\\\-1 \\end{array}\\right), \\left(\\begin{array}{r} 1\\\\1 \\end{array}\\right) \\right\\}}<\/span>. Si el vector \\scriptsize{v=\\left(\\begin{array}{r} 4\\\\-1 \\end{array}\\right)}<\/span> y el vector \\scriptsize{u=\\left(\\begin{array}{r} {5}\/{2}\\\\ {3}\/{2} \\end{array}\\right)}<\/span> entonces denote las coordenadas del vector v<\/span> respecto al conjunto B<\/span>.<\/pre>\n
Soluci\u00f3n.<\/strong> Sea u<\/span> el vector que representa las coordenadas del vector v<\/span> en funci\u00f3n de B<\/span>, tal que\\begin{array}{rcc} \\left[v\\right]_B & = & u \\\\  \\left[v\\right]_B & = & \\left(\\begin{array}{r} {5}\/{2}\\\\ {3}\/{2} \\end{array}\\right) \\end{array}<\/span>Entonces, por definici\u00f3n, se expresa v<\/span> como combinaci\u00f3n lineal de B<\/span>, es decir\\begin{array}{ccl} v & = & \\alpha_1v_1+\\alpha_2v_2 \\\\ \\left(\\begin{array}{r} 4\\\\-1 \\end{array}\\right) & = & {5\/2}\\ v_1 + {3\/2}\\ v_2 \\\\ \\left(\\begin{array}{r} 4\\\\-1 \\end{array}\\right) & = & {5\/2}\\left(\\begin{array}{r} 1\\\\-1 \\end{array}\\right)+{3\/2}\\left(\\begin{array}{r} 1\\\\1 \\end{array}\\right) \\end{array}<\/span><\/p>\n
Teorema.<\/strong> Sea V<\/span> un espacio vectorial con una base B=\\left\\{v_1,v_2,v_3,..., v_n\\right\\}<\/span>. Entonces
\r\n1) <\/span> \\left[\\delta v\\right]_B=\\delta \\left[v\\right]_B<\/span>.\r\n2)<\/span> \\left[v+w\\right]_B=\\left[v\\right]_B+\\left[w\\right]_B<\/span>.\r\n<\/pre>\n
\u00a0<\/p>\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Sea A<\/span> una matriz de n\\times n<\/span> columnas, se denomina matriz de cambio de base<\/em> o matriz de transici\u00f3n<\/em> si las columnas representan los vectores coordenados de la base B_1<\/span> en funci\u00f3n de la base B_2<\/span> o viceversa. De forma general se tienev_j=\\alpha_{1j}v_1+\\alpha_{2j}v_2+...+\\alpha_{nj}v_n<\/span>es decir,\\left[v_j\\right]_{B_2}=\\left(\\begin{array}{c} \\alpha_{1j}\\\\\\alpha_{2j}\\\\ \\vdots \\\\\\alpha_{nj} \\end{array}\\right)=u_j<\/span>de dondeA=\\begin{pmatrix} \\alpha_{11} & \\alpha_{12} & \\alpha_{13} & ... & \\alpha_{1n}\\\\ \\alpha_{21} & \\alpha_{22} & \\alpha_{23} & ... & \\alpha_{2n}\\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\\\alpha_{n1} & \\alpha_{n2} & \\alpha_{n3} & ... & \\alpha_{nn} \\\\ \\uparrow&\\uparrow&\\uparrow& &\\uparrow \\\\ \\left[v_1\\right]_{B_2} & \\left[v_2\\right]_{B_2}& \\left[v_3\\right]_{B_2} &...&\\left[v_n\\right]_{B_2} \\end{pmatrix}<\/span><\/pre>\n
Notaci\u00f3n.<\/strong> Sean B_1=\\left\\{v_1,v_2,...,v_n\\right\\}<\/span>  y B_2=\\left\\{u_1,u_2,...,u_n\\right\\}<\/span> bases de un espacio vectorial V<\/span>, entonces la matriz de cambio de base<\/em> de B_1<\/span> a B_2<\/span> se denotaA_{B_1B_2}=A_{B_1 \\longrightarrow B_2}=\\begin{pmatrix} \\alpha_{11} & \\alpha_{12} & \\alpha_{13} & ... & \\alpha_{1n}\\\\ \\alpha_{21} & \\alpha_{22} & \\alpha_{23} & ... & \\alpha_{2n}\\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\\\alpha_{n1} & \\alpha_{n2} & \\alpha_{n3} & ... & \\alpha_{nn} \\end{pmatrix}<\/span>siendo\\begin{array}{ccl} v_1&=&\\alpha_{11}u_1+\\alpha_{21}u_2+...+\\alpha_{n1}u_n \\\\v_2&=&\\alpha_{21}u_1+\\alpha_{22}u_2+...+\\alpha_{n2}u_n \\\\ \\vdots &=& \\vdots\\\\ v_n&=&\\alpha_{n1}u_n+\\alpha_{n2}u_n+...+\\alpha_{nn}u_n\\end{array}<\/span><\/p>\n
Observaci\u00f3n.<\/strong> Por ning\u00fan motivo se debe intercambiar el orden de los vectores de las bases; hacer esto originar\u00eda una nueva matriz de cambio de base<\/em>. En otras palabras, si se cambia el orden en el que se escriben los vectores de la base, entonces tambi\u00e9n debe cambiarse el orden de las columnas en la matriz de cambio de base<\/em>.<\/p>\n
Teorema.<\/strong> Sean B_1<\/span> y B_2<\/span> bases para un espacio vectorial V<\/span>. Sea A<\/span> la matriz de cambio de base<\/em> de B_1<\/span> a B_2<\/span>. Entonces para todo v\\in V<\/span>\\left[v\\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\\left[v\\right]_{B_1}<\/span><\/pre>\n
Teorema.<\/strong> Sea A<\/span> la matriz de cambio de base<\/em> de B_1<\/span> a B_2<\/span>. Entonces A^{-1}<\/span> es la matriz de cambio de base<\/em> de B_2<\/span> a B_1<\/span>, es decirA_{B_1B_2}=A_{B_1 \\longrightarrow B_2}=A^{-1}_{B_2 \\longrightarrow B_1}=A^{-1}_{B_2B_1}<\/span><\/pre>\n
Ejemplo.<\/strong> Sean B_1=\\left\\{u_1,u_2\\right\\}<\/span> y B_2=\\left\\{1+2x,2+x\\right\\}<\/span> bases de \\wp_1<\/span>; y, sean A=\\scriptsize{\\begin{pmatrix} 2 & -1 \\\\ 3 & 2 \\end{pmatrix}}<\/span> la matriz de cambio de base de B_1<\/span> a B_2<\/span>. Determine:
\r\na)<\/span> La matriz A_{B_2B_1}<\/span>.\r\nb)<\/span> La base B_1<\/span>.<\/pre>\n
Soluci\u00f3n.<\/strong><\/p>\n
Literal a.<\/strong> Para determinar A_{B_2B_1}<\/span> se deben expresar los vectores de la base B_2<\/span> como combinaci\u00f3n lineal de los vectores de la base B_1<\/span>; pero como se desconocen los vectores de la base B_1<\/span> entonces se puede determinar la matriz inversa de A_{B_1B_2}<\/span> que si es conocida y por teorema se determina que A_{B_2B_1}=A^{-1}_{B_1B_2}<\/span>.<\/p>\n
Por consiguiente, A_{B_2B_1}=A^{-1}=\\begin{pmatrix} \\frac{2}{7} & \\frac{1}{7}\\\\ -\\frac{3}{7} & \\frac{2}{7} \\end{pmatrix}<\/span>.<\/p>\n
Literal b.<\/strong> Al conocer la base B_2<\/span> y la matriz de cambio de base de B_1<\/span> a B_2<\/span> por teorema se determina que \\left[u_1\\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\\left[u_1\\right]_{B_1}<\/span> es decir\\left[u_1\\right]_{B_2}=\\begin{pmatrix} 2 & -1 \\\\ 3 & 2 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}<\/span>de dondeu_1=2(1+2x)+3(2+x)=8+7x<\/span>De la misma forma, por teorema se determina que \\left[u_2\\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\\left[u_2\\right]_{B_1}<\/span> es decir\\left[u_2\\right]_{B_2}=\\begin{pmatrix} 2 & -1 \\\\ 3 & 2 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} -1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}<\/span>de dondeu_2=-1(1+2x)+2(2+x)=3<\/span>Por consiguiente, la base B_1=\\left\\{8+7x,3\\right\\}<\/span>.<\/p>\n
\n
Enlaces de inter\u00e9s<\/strong><\/p>\n
Clase Online<\/a>\r\nPlataforma SIDWeb<\/a>\r\nReferencias Bibliogr\u00e1ficas<\/a><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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