En cuanto funciones, las transformaciones lineales pueden tener la cualidad de inyectiva, sobreyectiva, pueden componerse bajo ciertas condiciones y, si son biyectivas pueden invertirse.<\/p>\n
Inyectividad<\/strong><\/p>\n Soluci\u00f3n<\/strong> Sean {{v}_{1}}=({{a}_{1}},{{b}_{1}})<\/span> y {{v}_{2}}=({{a}_{2}},{{b}_{2}})<\/span> dos elementos arbitrarios de R2 tales que: Si suponemos el antecedente verdadero, la siguiente expresi\u00f3n es verdadera: Lo que implica resolver el siguiente sistema<\/p>\n\\left\\{ \\begin{array}{rcl}{{a}_{1}}-2{{b}_{1}}&=&{{a}_{2}}-2{{b}_{2}} \\\\ 2{{a}_{1}}+{{b}_{1}}&=&2{{a}_{2}}+{{b}_{2}} \\\\ -{{a}_{1}}+3{{b}_{1}}&=&-{{a}_{2}}+3{{b}_{2}} \\end{array}\\right.<\/span>\n\\left(\\begin{array}{rr|r} 1 & -2 & {{{a}_{2}}-2{{b}_{2}}} \\\\ 2 & 1 & {2{{a}_{2}}+{{b}_{2}}} \\\\ -1 & 3 & {-{{a}_{2}}+3{{b}_{2}}} \\end{array} \\right) \\sim ...\\left(\\begin{array}{rr|r} 1 & 0 & {{a}_{2}} \\\\ 0 & 1 & {{b}_{2}} \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{array} \\right) <\/span>\n Se observa que {{b}_{1}}={{b}_{2}}<\/span> y {{a}_{1}}={{a}_{2}}<\/span>. En consecuencia, {{v}_{1}}={{v}_{2}}<\/span> y la transformaci\u00f3n dada es inyectiva.<\/p>\n Sobreyectividad<\/strong><\/p>\n Soluci\u00f3n<\/strong><\/p>\n Se determinar\u00e1 si se cumple que \\forall w\\in {{M}_{2\\times 2}}\\text{ }\\exists v\\in {{P}_{2}}\\text{ }w=T(v)<\/span>.<\/p>\n Sea w=\\left( \\begin{array}{rr} w1 & w2 \\\\ w3 & w4 \\end{array} \\right)\\in {{M}_{2\\times 2}}<\/span> y v=a{{x}^{2}}+bx+c\\in {{P}_{2}}<\/span>; luego:<\/p>\nT(a{{x}^{2}}+bx+c)=<\/span>\n \\left( \\begin{array}{rr} a+b+c & 2a-b+2c \\\\ a-2b+c & 2a-4b+2c \\end{array}\\right) = \\left( \\begin{array}{rr} w1 & w2 \\\\ w3 & w4 \\end{array} \\right)<\/span>,<\/p>\n lo que implica resolver el sistema:<\/p>\n\\left\\{ \\begin{array}{rcl}{a+b+c}&=&{w1} \\\\ {2a-b+2c}&=&{w2} \\\\ {a-2b+c}&=&{w3} \\\\ {2a-4b+2c}&=&{w4} \\end{array}\\right.<\/span>\n \\left( \\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & {{w}_{1}} \\\\ 2 & -1 & 2 & {{w}_{2}} \\\\ 1 & -2 & 1 & {{w}_{3}} \\\\ 2 & -4 & 2 & {{w}_{4}} \\end{array} \\right) \\sim ...\\left( \\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & {{w}_{1}} \\\\ 0 & -3 & 0 & {{w}_{2}}-2{{w}_{1}} \\\\ 0 & 0 & 0 & {{w}_{3}}-{{w}_{2}}+{{w}_{1}} \\\\ 0 & 0 & 0 & {{w}_{4}}-2{{w}_{2}}+2{{w}_{1}} \\end{array} \\right)<\/span>.<\/p>\n El sistema es consistente solo si {{w}_{3}}-{{w}_{2}}+{{w}_{1}}=0<\/span> y {{w}_{4}}-2{{w}_{2}}+2{{w}_{1}}=0<\/span> ; por lo cual no cualquier vector w posee un respectivo v tal que T(v)=w. T no es sobreyectiva.<\/p>\n Biyectividad y Espacios Isomorfos<\/strong><\/p>\n Composici\u00f3n<\/strong><\/p>\n Soluci\u00f3n<\/strong><\/p>\n La composici\u00f3n {{T}_{1}}o{{T}_{2}}<\/span> no es posible porque el recorrido de {{T}_{2}}<\/span> no es un subconjunto del dominio de {{T}_{1}}<\/span>. Por otra parte, la composici\u00f3n {{T}_{2}}o{{T}_{1}}<\/span> es posible de efectuar:<\/p>\n {{T}_{2}}o{{T}_{1}}={{T}_{2}}({{T}_{1}})={{T}_{2}}([(a-c){{x}^{2}}+(b+c)x+c])<\/span> Es decir:<\/p>\n {{T}_{2}}o{{T}_{1}}(a,b,c)=\\left( \\begin{array}{rr} a+b & b+3c \\\\ a-2c & 2a \\end{array} \\right)<\/span>.<\/p>\n Transformaci\u00f3n Identidad<\/strong><\/p>\n Transformaci\u00f3n Inversa<\/strong><\/p>\n Soluci\u00f3n<\/strong><\/p>\n El procedimiento refleja los pasos que se sigue para hallar la transformaci\u00f3n inversa de una funci\u00f3n de variable real, tomamos la regla de correspondencia T(v) y la igualamos a un elemento t\u00edpico del espacio de llegada, w = T(v). \"Despejamos\" v en funci\u00f3n de w, y un cambio de variable final nos aclara sobre la regla de correspondencia de la inversa:<\/p>\n Sea w={{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}}<\/span> un vector t\u00edpico arbitrario del espacio de llegada. Entonces:<\/p>\n (a+b+c){{x}^{2}}+(-b-c)x+(-b+c)={{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}}<\/span>.<\/p>\n Esta igualdad implica resolver el siguiente sistema: \\left( \\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & {{k}_{2}} \\\\ 0 & -1 & -1 & {{k}_{1}} \\\\ 0 & -1 & 1 & {{k}_{0}} \\end{array} \\right)\\tilde{\\ }...\\left( \\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & {{k}_{2}}+{{k}_{1}} \\\\ 0 & 2 & 0 & -{{k}_{1}}-{{k}_{0}} \\\\ 0 & 0 & 2 & {{k}_{0}}-{{k}_{1}} \\end{array} \\right)<\/span>.<\/p>\n Es decir, a={{k}_{2}}+{{k}_{1}}<\/span>, b=(-{{k}_{1}}-{{k}_{0}})\/2<\/span> y c=({{k}_{0}}-{{k}_{1}})\/2<\/span>.<\/p>\n Si originalmente la transformaci\u00f3n T tiene la forma: Reemplazando las expresiones halladas al resolver el sistema lineal, se tiene: que es la regla de correspondencia de la inversa de T.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" En cuanto funciones, las transformaciones lineales pueden tener la cualidad de inyectiva, sobreyectiva, pueden componerse bajo ciertas condiciones y, si son biyectivas pueden invertirse. Inyectividad Definici\u00f3n. Sean y espacios vectoriales cualesquiera. Sea la transformaci\u00f3n lineal . T es inyectiva si y solo si se satisface la siguiente condici\u00f3n: . La contrapositiva de esta expresi\u00f3n (equivalente) … Sigue leyendo cl3-02. Inyectividad, sobreyectividad, composici\u00f3n e inversa<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":9991,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414634],"tags":[],"class_list":["post-2269","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-2da-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2269","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/users\/9991"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2269"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2269\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2997,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2269\/revisions\/2997"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2269"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2269"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2269"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}Definici\u00f3n.<\/strong> Sean V<\/span> y W<\/span> espacios vectoriales cualesquiera. Sea la transformaci\u00f3n lineal T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span>. T es inyectiva si y solo si se satisface la siguiente condici\u00f3n:\r\n\r\n\\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\\in V\\text{ }{{v}_{1}}\\ne {{v}_{2}}\\Rightarrow T({{v}_{1}})\\ne T({{v}_{2}})<\/span>.\r\n\r\nLa contrapositiva de esta expresi\u00f3n (equivalente) suele utilizarse en las demostraciones:\r\n\r\n\\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\\in V\\text{ }T({{v}_{1}})=T({{v}_{2}})\\text{ }\\Rightarrow {{v}_{1}}={{v}_{2}}<\/span>.\r\n<\/pre>\nEjemplo.<\/strong> Sea la transformaci\u00f3n lineal T:{{\\mathsf{\\mathbb{R}}}^{2}}\\to {{P}_{2}}<\/span> definida por T(a,b)=(a-2b){{x}^{2}}+(2a+b)x+(-a+3b)<\/span>. Determine si T es inyectiva.<\/pre>\n
\nSe determinar\u00e1 si T cumple con \\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\\in {{\\mathsf{\\mathbb{R}}}^{2}}\\text{ }T({{v}_{1}})=T({{v}_{2}})\\text{ }\\Rightarrow {{v}_{1}}={{v}_{2}}<\/span>.<\/p>\n
\nT({{a}_{1}},{{b}_{1}})=({{a}_{1}}-2{{b}_{1}}){{x}^{2}}+(2{{a}_{1}}+{{b}_{1}})x+(-{{a}_{1}}+3{{b}_{1}})<\/span>, y
\nT({{a}_{2}},{{b}_{2}})=({{a}_{2}}-2{{b}_{2}}){{x}^{2}}+(2{{a}_{2}}+{{b}_{2}})x+(-{{a}_{2}}+3{{b}_{2}})<\/span><\/p>\n
\n({{a}_{1}}-2{{b}_{1}}){{x}^{2}}+(2{{a}_{1}}+{{b}_{1}})x+(-{{a}_{1}}+3{{b}_{1}})=<\/span>
\n({{a}_{2}}-2{{b}_{2}}){{x}^{2}}+(2{{a}_{2}}+{{b}_{2}})x+(-{{a}_{2}}+3{{b}_{2}})<\/span><\/p>\nDefinici\u00f3n.<\/strong> Sean V<\/span> y W<\/span> espacios vectoriales cualesquiera. Sea la transformaci\u00f3n lineal T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span>. T es sobreyectiva si y solo si se satisface la siguiente condici\u00f3n:\r\n\r\n\\forall w\\in W\\text{ }\\exists v\\in V\\text{ }w=T(v)<\/span>.\r\n<\/pre>\nEjemplo.<\/strong> Sea la transformaci\u00f3n lineal T:{{P}_{2}}\\to {{M}_{2\\times 2}}<\/span> definida por T(a{{x}^{2}}+bx+c) = \\left( \\begin{array}{rr} a+b+c & 2a-b+2c \\\\ a-2b+c & 2a-4b+2c \\end{array} \\right)\r\n<\/span>. Determine si T es sobreyectiva.<\/pre>\nDefinici\u00f3n.<\/strong> Sea la transformaci\u00f3n lineal T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span>. T es biyectiva si y solo si T es inyectiva y sobreyectiva.\r\n<\/pre>\n Una transformaci\u00f3n lineal es invertible si y solo si es biyectiva. Una transformaci\u00f3n biyectiva recibe el nombre de Isomorfismo.\r\n<\/pre>\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Sean V y W dos espacios vectoriales, se denominan espacios isomorfos si y solo si se puede construir un isomorfismo (biyecci\u00f3n) entre V y W.\r\n<\/pre>\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Sean las transformaciones lineales {T}_{1}{:}\\ V\\rightarrow W<\/span>, y {T}_{2}{:}\\ W\\rightarrow Z<\/span>, entonces la composici\u00f3n de T2 con T1 es la funci\u00f3n {{T}_{2}}o{{T}_{1}}:V\\to Z<\/span> tal que {{T}_{2}}o{T}_{1}={{T}_{2}}[{{T}_{1}}(v)]<\/span>, \\forall v\\in V<\/span>.\r\n<\/pre>\n La composici\u00f3n de T2 con T1, {{T}_{2}}o{{T}_{1}}<\/span> es posible solo si el recorrido de T1 es subconjunto del dominio de T2.\r\n<\/pre>\nEjemplo.<\/strong> Sean las transformaciones lineales {{T}_{1}}:{{\\mathsf{\\mathbb{R}}}^{2}}\\to {{P}_{2}}<\/span> y {{T}_{2}}:{{P}_{2}}\\to {{M}_{2\\times 2}}<\/span> definidas por:\r\n{{T}_{1}}(a,b,c)=(a-c){{x}^{2}}+(b+c)x+c<\/span>, y\r\n{T}_{2}(a{{x}^{2}}+bx+c) = \\left( \\begin{array}{rr} a+b & b+2c \\\\ a-c & 2a+2c \\end{array} \\right)<\/span>. \r\nDetermine, de ser posible, las composiciones {{T}_{1}}o{{T}_{2}}<\/span> y {{T}_{2}}o{{T}_{1}}<\/span>.<\/pre>\n
\n=\\left( \\begin{array}{rr} (a-c)+(b+c) & (b+c)+2c \\\\ (a-c)-c & 2(a-c)+2c \\end{array} \\right)=\\left( \\begin{array}{rr} a+b & b+3c \\\\ a-2c & 2a \\end{array} \\right)<\/span><\/p>\nDefinici\u00f3n.<\/strong> Sea V un espacio vectorial, y sea la transformaci\u00f3n lineal {I}_{V}{:}\\ V\\rightarrow V<\/span>, {I}_{V}<\/span> es la transformaci\u00f3n Identidad en V si y solo si {{I}_{V}}(v)=v<\/span>, \\forall v\\in V<\/span>.\r\n<\/pre>\nDefinici\u00f3n.<\/strong> Sea T:V\\to W<\/span> un isomorfismo (es decir, una transformaci\u00f3n lineal biyectiva). Entonces, T es invertible y existe su transformaci\u00f3n inversa {{T}^{-1}}:W\\to V<\/span> tal que:\r\n{{T}^{-1}}oT={{I}_{V}}<\/span>, y To{{T}^{-1}}={{I}_{W}}<\/span>.\r\n<\/pre>\nEjemplo.<\/strong> Sea el isomorfismo T:{{S}_{2\\times 2}}\\to {{P}_{2}}<\/span> tal que T\\left( \\begin{array}{rr} a & b \\\\ b & c \\end{array} \\right) = (a+b+c){{x}^{2}}+(-b-c)x+(-b+c)<\/span>. Determine su transformaci\u00f3n inversa.<\/pre>\n
\n\\left\\{ \\begin{array}{rcl} a+b+c={{k}_{2}} \\\\ -b-c={{k}_{1}} \\\\ -b+c={{k}_{0}} \\end{array} \\right.<\/span><\/p>\n
\nT\\left( \\begin{array}{rr} a & b \\\\ b & c \\end{array} \\right)={{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}}<\/span>,
\nLa inversa tiene la forma:
\n{{T}^{-1}}({{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}})=\\left( \\begin{array}{rr} a & b \\\\ b & c \\end{array} \\right)<\/span>.<\/p>\n
\n{{T}^{-1}}({{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}})=\\left( \\begin{array}{rr} {{k}_{2}}+{{k}_{1}} & (-{{k}_{1}}-{{k}_{0}})\/2 \\\\ (-{{k}_{1}}-{{k}_{0}})\/2 & ({{k}_{0}}-{{k}_{1}})\/2 \\end{array} \\right)<\/span>,<\/p>\n