{"id":2299,"date":"2017-07-22T11:13:04","date_gmt":"2017-07-22T16:13:04","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=2299"},"modified":"2020-01-03T13:07:01","modified_gmt":"2020-01-03T18:07:01","slug":"cl4-01-espacios-con-producto-interno","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/cl4-01-espacios-con-producto-interno\/","title":{"rendered":"cl4-01. Espacios Vectoriales con Producto interno"},"content":{"rendered":"
\n

Producto interno complejo.<\/strong>
\n 
\nDefinici\u00f3n.<\/strong> Sea \\left\\langle V,\\oplus,\\odot \\right\\rangle<\/span> un espacio vectorial, sobre el campo de escalares complejo. Se define el producto interno complejo como una funci\u00f3n denotada por \\left\\langle .,. \\right\\rangle:V\\times V\\to \\mathsf{\\mathbb{C}}<\/span> si y solo si, se cumple que:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
1.<\/td>\n\\forall v\\in V\\left\\langle v,v \\right\\rangle \\ge 0<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
2.<\/td>\n\\forall v\\in V\\left\\langle v,v \\right\\rangle =0\\Leftrightarrow v={{{\\mathbf{0}}}_{v}}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
3.<\/td>\n\\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\\in V\\left\\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}} \\right\\rangle =\\overline{\\left\\langle {{v}_{2}},{{v}_{1}} \\right\\rangle }<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
4.<\/td>\n\\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\\in V\\text{ }\\forall \\alpha \\in \\mathsf{\\mathbb{C}}\\text{ }\\left\\langle \\alpha \\odot {{v}_{1}},\\text{ }{{v}_{2}} \\right\\rangle =\\alpha \\left\\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}} \\right\\rangle <\/span><\/td>\n<\/tr>\n
5.<\/td>\n\\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}}\\in V\\text{ }<\/span>\\left\\langle {{v}_{1}}+{{v}_{2}},\\text{ }{{v}_{3}} \\right\\rangle =\\left\\langle {{v}_{1}},{{v}_{3}} \\right\\rangle +\\left\\langle {{v}_{2}},{{v}_{3}} \\right\\rangle <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Algunas consecuencias inmediatas de la definici\u00f3n son las siguientes:<\/p>\n\n\n\n\n
6.<\/td>\n\\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\\in V\\text{ }\\forall \\alpha \\in \\mathsf{\\mathbb{C}}\\text{ }\\left\\langle {{v}_{1}},\\text{ }\\alpha \\odot {{v}_{2}} \\right\\rangle =\\overline{\\alpha }\\left\\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}} \\right\\rangle <\/span><\/td>\n<\/tr>\n
7.<\/td>\n\\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}}\\in V\\text{ }<\/span>\\left\\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}}+\\text{ }{{v}_{3}} \\right\\rangle =\\left\\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}} \\right\\rangle +\\left\\langle {{v}_{1}},{{v}_{3}} \\right\\rangle <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Donde \\overline{\\alpha}<\/span> indica el complejo conjugado de {\\alpha}<\/span>.<\/p>\n

Cuando el campo de escalares es el de los n\u00fameros reales la lista de estas propiedades se reduce debido a que la conjugaci\u00f3n compleja se puede omitir en el caso de los n\u00fameros reales.<\/p>\n

La principal consecuencia es que el producto interno real tiene una propiedad conmutativa que el producto interno complejo no tiene.<\/p>\n

Producto interno real.<\/strong>
\n 
\nDefinici\u00f3n.<\/strong> Sea \\left\\langle V,\\oplus,\\odot \\right\\rangle<\/span> un espacio vectorial, sobre el campo de escalares reales. Se define el producto interno real<\/em> como una funci\u00f3n denotada por \\left\\langle .,. \\right\\rangle:V\\times V\\to \\mathsf{\\mathbb{R}}<\/span> si y solo si, se cumple que:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
1.<\/td>\n\\forall v\\in V\\left\\langle v,v \\right\\rangle \\ge 0<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
2.<\/td>\n\\forall v\\in V\\left\\langle v,v \\right\\rangle =0\\Leftrightarrow v={{{\\mathbf{0}}}_{v}}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
3.<\/td>\n\\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\\in V\\left\\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}} \\right\\rangle ={\\left\\langle {{v}_{2}},{{v}_{1}} \\right\\rangle }<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
4.<\/td>\n\\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\\in V\\text{ }\\forall \\alpha \\in \\mathsf{\\mathbb{R}}\\text{ }<\/span> \\left\\langle \\alpha \\odot {{v}_{1}},\\text{ }{{v}_{2}} \\right\\rangle =\\left\\langle {{v}_{1}},\\alpha \\odot \\text{ }{{v}_{2}} \\right\\rangle =\\alpha \\left\\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}} \\right\\rangle <\/span><\/td>\n<\/tr>\n
5.<\/td>\n\\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}}\\in V\\text{ }<\/span> \\left\\langle {{v}_{1}}+{{v}_{2}},\\text{ }{{v}_{3}} \\right\\rangle =\\left\\langle {{v}_{1}},{{v}_{3}} \\right\\rangle +\\left\\langle {{v}_{2}},{{v}_{3}} \\right\\rangle <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Se denomina Espacio Euclidiano a todo Espacio Vectorial que tiene un Producto Interno.<\/pre>\n
Ejemplo.<\/strong> Sea V={{M}_{2\\times 2}}<\/span>. Determine si la funci\u00f3n \\left\\langle \\text{ },\\text{ } \\right\\rangle :V\\times V\\to \\mathsf{\\mathbb{R}}<\/span> tal que \\left\\langle A,B \\right\\rangle =\\det (A)\\det (B)<\/span> es un producto interno (P.I.) en V.<\/pre>\n
Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n
Se debe determinar si se cumplen las 5 propiedades del P.I. real:
\ni) \\forall A\\in {{M}_{2\\times 2}}\\text{ }\\left\\langle A,A \\right\\rangle \\ge 0<\/span><\/p>\n
Sea A\\in {{M}_{2\\times 2}}<\/span>, luego:
\n\\left\\langle A,A \\right\\rangle =\\det (A)\\det (A)={{\\left[ \\det (A) \\right]}^{2}}\\ge 0<\/span>
\nEn consecuencia s\u00ed se cumple esta propiedad.<\/p>\n
ii) \\forall A\\in {{M}_{2\\times 2}}\\text{ }\\left\\langle A,A \\right\\rangle =0\\Leftrightarrow A={{\\mathbf{0}}_{v}}<\/span><\/p>\n
Sea A\\in {{M}_{2\\times 2}}<\/span>, se demostrar\u00e1 la equivalencia demostrando las implicaciones en ambas direcciones por separado:<\/p>\n
ii-a)<\/strong> A={{\\mathbf{0}}_{v}}\\to \\left\\langle A,A \\right\\rangle =0<\/span>
\nSi A=\\left( \\begin{array}{rr} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{array} \\right)<\/span>, luego {det(A)}=0<\/span>, por lo cual se cumple que
\n\\left\\langle A,A \\right\\rangle ={{[\\det (A)]}^{2}}=0<\/span><\/p>\n
ii-b)<\/strong> \\,\\left\\langle A,A \\right\\rangle =0\\to A={{\\mathbf{0}}_{v}}<\/span>
\nSi \\left\\langle A,A \\right\\rangle =0<\/span>, luego {det(A)}=0<\/span>, pero esto no implica<\/strong> que la matriz A sea necesariamente la matriz neutra.<\/p>\n
Contraejemplo:<\/strong>
\nSeaA=\\left( \\begin{array}{rr} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{array} \\right)<\/span>, esta matriz no es la matriz nula, sin embargo su determinante es cero, lo que hace que \\left\\langle A,A \\right\\rangle =0<\/span>.
\nLa segunda propiedad no se cumple \\therefore \\left\\langle \\text{ },\\text{ } \\right\\rangle <\/span> no es un producto interno en el espacio dado.<\/p>\n
\n
 Cat\u00e1logo de Productos Internos Est\u00e1ndares<\/strong><\/p>\n
Aunque en un espacio vectorial euclidiano se pueden definir m\u00e1s de un producto interno, cuando no se especifica alguno se utiliza el denominado producto interno est\u00e1ndar en ese espacio.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
{{\\mathsf{\\mathbb{R}}}^{n}}:<\/span><\/td>\nEn este espacio, el producto interno est\u00e1ndar es el conocido producto punto o producto escalar:
\n\\forall \\mathbf{x},\\mathbf{y}\\in {{\\mathbb{R}}^{n}}<\/span>
\n\\left\\langle \\left( \\begin{array}{r} {{x}_{1}} \\\\ {{x}_{2}} \\\\ \\vdots \\\\ {{x}_{n}} \\end{array} \\right),\\left( \\begin{array}{r} {{y}_{1}} \\\\ {{y}_{2}} \\\\ \\vdots \\\\ {{y}_{n}} \\end{array} \\right) \\right\\rangle ={{x}_{1}}{{y}_{1}}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}+\\cdots {{x}_{n}}{{y}_{n}} <\/span>
\n=\\sum\\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}<\/span>.
\nTambi\u00e9n puede expresarse como un producto matricial:
\n\\left\\langle \\mathbf{x},\\mathbf{y} \\right\\rangle={{\\mathbf{x}}^{T}}\\mathbf{y}=\\left[ \\begin{array}{rrrr} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & \\cdots & {{x}_{n}} \\end{array} \\right]\\left[ \\begin{array}{r} {{y}_{1}} \\\\ {{y}_{2}} \\\\ \\vdots \\\\ {{y}_{n}} \\end{array} \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
{{\\mathsf{\\mathbb{C}}}^{n}}:<\/span><\/td>\nEn este espacio, el producto interno est\u00e1ndar es:
\n\\forall \\mathbf{x},\\mathbf{y}\\in {{\\mathbb{C}}^{n}}<\/span>
\n\\left\\langle \\left( \\begin{array}{r} {{x}_{1}} \\\\ {{x}_{2}} \\\\ \\vdots \\\\ {{x}_{n}} \\end{array} \\right),\\left( \\begin{array}{r} {{{\\bar{y}}}_{1}} \\\\ {{{\\bar{y}}}_{2}} \\\\ \\vdots \\\\ {{{\\bar{y}}}_{n}} \\end{array} \\right) \\right\\rangle ={{x}_{1}}{{\\bar{y}}_{1}}+{{x}_{2}}{{\\bar{y}}_{2}}+\\cdots {{x}_{n}}{{\\bar{y}}_{n}}<\/span>
\n=\\sum\\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{{\\bar{y}}}_{i}}}<\/span>.
\nO, como producto matricial:
\n\\left\\langle \\mathbf{x},\\mathbf{y} \\right\\rangle ={{\\mathbf{x}}^{T}}\\mathbf{\\bar{y}}=\\left[ \\begin{array}{rrrr} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & \\cdots & {{x}_{n}} \\end{array} \\right]\\left[ \\begin{array}{r} {{{\\bar{y}}}_{1}} \\\\ {{{\\bar{y}}}_{2}} \\\\ \\vdots \\\\ {{{\\bar{y}}}_{n}} \\end{array}\\right]<\/span>
\nDonde \\overline{a}<\/span> indica el complejo conjugado de {a}<\/span>.<\/td>\n<\/tr>\n
{{P}_{n}}:<\/span><\/td>\nEn el espacio de los polinomios de grado menor o igual que n, el producto interno est\u00e1ndar es:
\n\\forall p,q\\in {{P}_{n}}<\/span>\\left\\langle p,q \\right\\rangle =<\/span>
\n\\left\\langle {{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{a}_{n}}{{x}^{n}},{{b}_{0}}+{{b}_{1}}x+{{b}_{2}}{{x}^{2}}+{{b}_{n}}{{x}^{n}} \\right\\rangle<\/span>
\n={{a}_{0}}{{b}_{0}}+{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+\\cdots {{a}_{n}}{{b}_{n}}=\\sum\\limits_{i=0}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{i}}}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
{{M}_{mn}}:<\/span><\/td>\nEn el espacio de las matrices {{M}_{m\\times n}}<\/span>, el producto interno est\u00e1ndar es:
\n\\forall A,B\\in {{M}_{m\\times n}}<\/span>\\left\\langle A,B \\right\\rangle =<\/span>
\n\\left\\langle \\left( \\begin{array}{rrrr} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {...} & {{a}_{1n}} \\\\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {...} & {{a}_{2n}} \\\\ \\vdots & \\vdots & {} & \\vdots \\\\ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & {...} & {{a}_{mn}} \\end{array} \\right),\\left( \\begin{array}{rrrr} {{b}_{11}} & {{b}_{12}} & {...} & {{b}_{1n}} \\\\ {{b}_{21}} & {{b}_{22}} & {...} & {{b}_{2n}} \\\\ \\vdots & \\vdots & {} & \\vdots \\\\ {{b}_{m1}} & {{b}_{m2}} & {...} & {{b}_{mn}} \\end{array} \\right) \\right\\rangle <\/span>
\n={{a}_{11}}{{b}_{11}}+{{a}_{12}}{{b}_{12}}+\\cdots+{{a}_{ij}}{{b}_{ij}}+\\cdots {{a}_{mn}}{{b}_{mn}}<\/span>
\n=\\sum\\limits_{i=1}^{m}{\\sum\\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}{{b}_{ij}}}}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
C_{[a,b]}^{k}:<\/span><\/td>\nEn el espacio de las funciones clase C_{[a,b]}^{k}<\/span>, el producto interno es:
\n\\forall f,g\\in C_{[a,b]}^{k}<\/span>:
\n\\left\\langle f,g \\right\\rangle =\\int\\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
\n
Enlaces de inter\u00e9s<\/strong><\/p>\n
Clase Online<\/a>\r\nSocrative Student<\/a>\r\nPlataforma SIDWeb<\/a>\r\nReferencias Bibliogr\u00e1ficas<\/a><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Producto interno complejo.   Definici\u00f3n. Sea un espacio vectorial, sobre el campo de escalares complejo. Se define el producto interno complejo como una funci\u00f3n denotada por si y solo si, se cumple que: 1. 2. 3. 4. 5. Algunas consecuencias inmediatas de la definici\u00f3n son las siguientes: 6. 7. Donde indica el complejo conjugado de … Sigue leyendo cl4-01. Espacios Vectoriales con Producto interno<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":9991,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414634],"tags":[],"class_list":["post-2299","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-2da-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2299","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/users\/9991"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2299"}],"version-history":[{"count":84,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2299\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7721,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2299\/revisions\/7721"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2299"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2299"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2299"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}