{"id":2328,"date":"2017-07-23T23:46:12","date_gmt":"2017-07-24T04:46:12","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=2328"},"modified":"2018-05-16T07:12:15","modified_gmt":"2018-05-16T12:12:15","slug":"cl4-02-norma-distancias-y-angulos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/cl4-02-norma-distancias-y-angulos\/","title":{"rendered":"cl4-02. Norma, distancias y \u00e1ngulos"},"content":{"rendered":"

<\/code><\/p>\n

\n

Norma de un vector<\/strong><\/p>\n

Definici\u00f3n.<\/strong> Sea \\left\\langle V,\\oplus ,\\odot  \\right\\rangle <\/span> un espacio vectorial euclidiano, y sea v\\in V<\/span>; se define la norma del vector v, denotada por \\left\\| v \\right\\|<\/span>, como: \\left\\| v \\right\\|=\\sqrt{\\left\\langle v,v \\right\\rangle }.<\/span> Es decir, la norma al cuadrado de un vector es el producto interno del vector consigo mismo: {{\\left\\| v \\right\\|}^{2}}=\\left\\langle v,v \\right\\rangle<\/span>Un espacio que tiene una norma definida se denomina Espacio Normado.<\/pre>\n
Propiedades de la norma de un vector.<\/strong>
 Sea \\left\\langle V,\\oplus ,\\odot  \\right\\rangle <\/span> un espacio vectorial euclidiano, se cumple que:
 \r\ni)   \\forall v\\in V\\text{ }\\left\\| v \\right\\|\\ge 0<\/span>\r\nii)  \\forall v\\in V\\text{ }\\left\\| v \\right\\|=0\\Leftrightarrow v={{\\mathbf{0}}_{v}}<\/span> \r\niii) \\forall k\\in \\mathsf{\\mathbb{R}}\\text{ }\\forall v\\in V\\text{ }\\left\\| k\\odot v \\right\\|=\\left| k \\right|.\\text{ }\\left\\| v \\right\\|<\/span> \r\niv)  \\forall u,v\\in V\\text{ }\\left\\| u\\oplus v \\right\\|\\le \\left\\| u \\right\\|+\\left\\| v \\right\\|<\/span> \r\nv)    \\forall u,v\\in V\\text{ }\\left\\| u-v \\right\\|=\\left\\| v-u \\right\\|<\/span>\r\n<\/pre>\n
Ejemplo.<\/strong>
 Sea V=C_{[0,1]}^{k}<\/span> y sea f\\in V<\/span> tal que f(x)={{e}^{x}}<\/span>, calcular la norma \\left\\| f \\right\\|<\/span>.<\/pre>\n
Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n
Por definici\u00f3n, {{\\left\\| f \\right\\|}^{2}}=\\left\\langle {{e}^{x}},{{e}^{x}} \\right\\rangle <\/span>.
\nUtilizando el producto interno est\u00e1ndar en el espacio dado:{{\\left\\| f \\right\\|}^{2}}=\\int\\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}{{e}^{x}}dx}=\\int\\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x}}dx}=\\left. \\frac{{{e}^{2x}}}{2} \\right|_{0}^{1}=\\frac{{{e}^{2}}-1}{2}<\/span> Obteniendo la raiz cuadrada: \\left\\| f \\right\\|=\\sqrt{\\frac{{{e}^{2}}-1}{2}}<\/span><\/p>\n
\n
Distancia entre dos vectores<\/strong><\/p>\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Sea \\left\\langle V,\\oplus ,\\odot  \\right\\rangle <\/span> un espacio vectorial euclidiano, y sea la funci\u00f3n d:V\\times V\\to \\mathsf{\\mathbb{R}}<\/span>; d es una funci\u00f3n distancia si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:
 \r\ni)   \\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\\in V\\text{ }d({{v}_{1}},{{v}_{2}})\\ge 0<\/span>\r\nii)  \\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\\in V\\text{ }d({{v}_{1}},{{v}_{2}})=0\\Leftrightarrow {{v}_{1}}={{v}_{2}}<\/span>\r\niii) \\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\\in V\\text{ }d({{v}_{1}},{{v}_{2}})=d({{v}_{2}},{{v}_{1}})<\/span>\r\niv)  \\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}}\\in V\\text{ }d({{v}_{1}},{{v}_{3}})\\le d({{v}_{1}},{{v}_{2}})+d({{v}_{2}},{{v}_{3}})<\/span>\r\n\r\nLa expresi\u00f3n d({{v}_{1}},{{v}_{2}})<\/span> se lee como \"la distancia entre {{v}_{1}}<\/span> y {{v}_{2}}<\/span>\".\r\n\r\nUn espacio que tiene una m\u00e9trica o funci\u00f3n distancia definida se denomina Espacio M\u00e9trico.\r\n\r\nAunque las funciones distancia pueden existir otros tipos de estructuras algebraicas, en el caso de un espacio vectorial euclidiano V<\/span>, la m\u00e9trica es inducida por el producto interno por via de la definici\u00f3n de norma:
\r\n\\forall v\\in V\\text{ }d({{v}_{1}},{{v}_{2}})=\\left\\| {{v}_{1}}-{{v}_{2}} \\right\\|<\/span>,\r\ndonde \\left\\| v \\right\\|=\\sqrt{\\left\\langle v,v \\right\\rangle }<\/span>, y \\left\\langle v,v \\right\\rangle<\/span> es el P.I. definido en V<\/span>.\r\n<\/pre>\n
Ejemplo.<\/strong>
 Sea V={{M}_{2\\times 2}}<\/span> y sean las matrices A=\\left( \\begin{array}{rr} 2 & 3 \\\\ -1 & 5 \\end{array} \\right)<\/span> y B=\\left( \\begin{array}{rr} -2 & 2 \\\\ 4 & 2 \\end{array} \\right)<\/span>, calcular la distancia entre las matrices A y B. Utilice el siguiente producto interno en {{M}_{2\\times 2}}<\/span>:
\r\n\\forall A,B\\in {{M}_{2\\times 2}}<\/span>
\\left\\langle A,B \\right\\rangle ={{a}_{11}}{{b}_{11}}+4{{a}_{12}}{{b}_{12}}+2{{a}_{21}}{{b}_{21}}+{{a}_{22}}{{b}_{22}}<\/span><\/pre>\n
Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n
Seg\u00fan la definici\u00f3n de distancia en un espacio vectorial euclidiano:
\nd(A,B)=\\left\\| A-B \\right\\|<\/span>
\nDonde A-B=\\left( \\begin{array}{rr} 4 & 1 \\\\ -5 & 3 \\end{array}\\right)<\/span>
\npero \\left\\| A-B \\right\\|=\\sqrt{\\left\\langle A-B,A-B \\right\\rangle }<\/span><\/p>\n
=\\left\\langle \\left( \\begin{array}{rr} 4 & 1 \\\\ -5 & 3 \\end{array} \\right),\\left( \\begin{array}{rr} 4 & 1 \\\\ -5 & 3 \\end{array} \\right) \\right\\rangle<\/span>
\n
\n={{[4]}^{2}}+4.{{[1]}^{2}}+2{{[-5]}^{2}}+{{[3]}^{2}}=79<\/span>
\nEntonces:
\nd(A,B)=\\left\\| A-B \\right\\|=\\sqrt{79}<\/span><\/p>\n
\n
\u00c1ngulo entre dos vectores<\/strong><\/p>\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Sea \\left\\langle V,\\oplus ,\\odot  \\right\\rangle <\/span> un espacio vectorial euclidiano, y sean u,v\\in V<\/span> dos vectores no nulos; se define el \u00e1ngulo entre los vectores u<\/span> y v<\/span>, a la cantidad \\theta \\in [0,\\pi ]<\/span>, tal que:{Cos}(\\theta )=\\frac{\\left\\langle u,v \\right\\rangle }{\\left\\| u \\right\\|.\\left\\| v \\right\\|}.<\/span> Es decir: \\theta ={arccos}(\\frac{\\left\\langle u,v \\right\\rangle }{\\left\\| u \\right\\|.\\left\\| v \\right\\|})<\/span><\/pre>\n
Ejemplo.<\/strong>
 Sea V={{P}_{2}}<\/span> y sean los polinomios p,q,r\\in {{P}_{2}}<\/span>, tales que:\r\np(x)=2{{x}^{2}}+x+1<\/span>, \r\nq(x)={{x}^{2}}-2x+3<\/span> y\r\nr(x)=k{{x}^{2}}+kx-2<\/span>.\r\na) Calcular el \u00e1ngulo entre los vectores p<\/span> y q<\/span>.\r\nb) De ser posible, hallar el valor de k\\in {R}<\/span> para que los polinomios p<\/span> y r<\/span> sean ortogonales (perpendiculares).<\/pre>\n
Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n
a)<\/strong> Seg\u00fan la definici\u00f3n: {Cos}(\\theta )=\\frac{\\left\\langle p,q \\right\\rangle }{\\left\\| p \\right\\|.\\left\\| q \\right\\|}<\/span> Utilizando el P.I. est\u00e1ndar en {{P}_{2}}<\/span>:
\n\\left\\langle p,q \\right\\rangle =2-2+3=3<\/span>
\n\\left\\| p \\right\\|=\\sqrt{\\left\\langle p,p \\right\\rangle }=\\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\\sqrt{6}<\/span>, y
\n\\left\\| q \\right\\|=\\sqrt{\\left\\langle q,q \\right\\rangle }=\\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{3}^{2}}}=\\sqrt{14}<\/span><\/p>\n
{Cos}(\\theta )=\\frac{\\left\\langle p,q \\right\\rangle }{\\left\\| p \\right\\|.\\left\\| q \\right\\|}=\\frac{3}{\\sqrt{6}\\sqrt{14}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{7}}<\/span>, o:
\n\\theta =\\arccos \\left( \\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{7}} \\right)\\approx 70.89{}^\\circ <\/span><\/p>\n
b)<\/strong> Ortogonalidad o perpendicularidad implica que el \u00e1ngulo entre los vectores debe ser 90\u00b0 (o \\pi \/2<\/span> radianes), cuyo coseno es cero:
\n{Cos}(\\theta )=\\frac{\\left\\langle p,r \\right\\rangle }{\\left\\| p \\right\\|.\\left\\| r \\right\\|}=\\frac{3k-2}{\\sqrt{6}\\sqrt{2{{k}^{2}}+4}}=0<\/span>
\nEs decir, 3k-2=0<\/span> o k=\\frac{2}{3}<\/span>.<\/p>\n
\n
Enlaces de inter\u00e9s<\/strong><\/p>\n
Clase Online<\/a>\r\nSocrative Student<\/a>\r\nPlataforma SIDWeb<\/a>\r\nReferencias Bibliogr\u00e1ficas<\/a><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Norma de un vector Definici\u00f3n. Sea un espacio vectorial euclidiano, y sea ; se define la norma del vector v, denotada por , como: Es decir, la norma al cuadrado de un vector es el producto interno del vector consigo mismo: Un espacio que tiene una norma definida se denomina Espacio Normado. Propiedades de la … Sigue leyendo cl4-02. Norma, distancias y \u00e1ngulos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":9991,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414634],"tags":[],"class_list":["post-2328","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-2da-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2328","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/users\/9991"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2328"}],"version-history":[{"count":22,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2328\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3001,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2328\/revisions\/3001"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2328"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2328"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2328"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}