{"id":516,"date":"2017-04-26T14:18:23","date_gmt":"2017-04-26T19:18:23","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=516"},"modified":"2019-11-07T14:08:51","modified_gmt":"2019-11-07T19:08:51","slug":"cl1-02-sistema-de-ecuaciones-lineales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/cl1-02-sistema-de-ecuaciones-lineales\/","title":{"rendered":"cl1-02. Sistema de Ecuaciones Lineales"},"content":{"rendered":"
\n

Cuando se habla de linealidad<\/em> en matem\u00e1ticas, \u00e9sta se refiere a un conjunto de propiedades que se generalizan de aquellas relacionadas con el concepto de l\u00ednea recta. En \\mathbb{R}^{2}<\/span> una ecuaci\u00f3n lineal corresponde a una l\u00ednea recta. Por ejemplo, la expresi\u00f3n 2x+3y=6<\/span> tiene una gr\u00e1fica correspondiente a una l\u00ednea recta en el plano cartesiano:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

En dimensiones superiores graficar no es siempre posible, sin embargo las propiedades se pueden estudiar de todos modos. En \\mathbb{R}^{3}<\/span>, por ejemplo, la ecuaci\u00f3n lineal 2x-2y+3z=5<\/span> corresponde a un plano:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Una ecuaci\u00f3n puede considerarse como un predicado de varias variables; en los ejemplos anteriores se tiene que: p(x,y):2x+3y=6<\/span>, donde \\mathbb{R}^{2}<\/span> es el referencial; y p(x,y,z):2x-2y+3z=5<\/span>, donde \\mathbb{R}^{3}<\/span> es el referencial. As\u00ed, el conjunto soluci\u00f3n de tales predicados corresponde al conjunto de puntos graficados respectivamente. Por otra parte, un Sistema de Ecuaciones Lineales (S.E.L.) es una conjunci\u00f3n de predicados (ecuaciones lineales) de modo que la soluci\u00f3n del sistema es la intersecci\u00f3n de los conjuntos soluci\u00f3n de cada una de las ecuaciones.<\/p>\n

Definici\u00f3n.<\/strong> Una ecuaci\u00f3n lineal es una ecuaci\u00f3n algebraica cuyos t\u00e9rminos son constantes o el producto de una constante por una variable a la primera potencia. Puede contener variables diferentes en t\u00e9rminos diferentes, pero el producto entre variables no es admitido. Ejemplos de ecuaciones lineales son 3x-5y-7=0<\/span> o z=-4y+2<\/span>.<\/pre>\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Un Sistema de Ecuaciones Lineales (S.E.L.) es una colecci\u00f3n de m<\/span> ecuaciones lineales que involucran el mismo conjunto de variables. Los conjuntos soluci\u00f3n de cada ecuaci\u00f3n del sistema est\u00e1n en un mismo referencial (por ejemplo, \\mathbb{R}^{2}<\/span>, \\mathbb{R}^{3}<\/span>, \\mathbb{R}^{4}<\/span>, etc), y la soluci\u00f3n del sistema corresponde a la intersecci\u00f3n todos los conjuntos soluci\u00f3n.<\/pre>\n
Ejemplo.<\/strong> Un sistema de 2<\/span> ecuaciones lineales en \\mathbb{R}^{3}<\/span> tiene 3<\/span> inc\u00f3gnitas.\r\n\\left\\{ \\begin{array}{rcl}x+y-z&=&2 \\\\ 2x-2y+z&=&4 \\end{array}\\right.<\/span><\/pre>\n
Ejemplo.<\/strong> Un sistema de 3<\/span> ecuaciones lineales en \\mathbb{R}^{2}<\/span> tiene 2<\/span> inc\u00f3gnitas.\r\n\\left\\{ \\begin{array}{rcl}2x-3y&=&6 \\\\ x-3y&=&0 \\\\ 3x-3y&=&12 \\end{array}\\right.<\/span><\/pre>\n
El s\u00edmbolo \u00ab\\left\\{ \\right.<\/span>\u00bb indica que las ecuaciones est\u00e1n conectadas mediante conjunci\u00f3n; por lo tanto, resolver un S.E.L. implica encontrar el conjunto soluci\u00f3n que corresponde a la intersecci\u00f3n de los conjuntos soluci\u00f3n de cada ecuaci\u00f3n. Se ilustra gr\u00e1ficamente en la siguiente figura:\"\"<\/p>\n
Resolver gr\u00e1ficamente el S.E.L. no es procedente, as\u00ed que varios m\u00e9todos existen para esto. El m\u00e9todo recomendado en este curso utiliza la representaci\u00f3n con matriz aumentada<\/em>, porque facilita hallar la informaci\u00f3n contenida en el sistema; y las operaciones de rengl\u00f3n<\/em> para reducir el sistema a uno equivalente.<\/p>\n
La representaci\u00f3n con matriz aumentada de \\left\\{ \\begin{array}{rcl}2x-3y&=&6 \\\\ x-3y&=&0 \\\\ 3x-3y&=&12 \\end{array}\\right.<\/span>es \\left(\\begin{array}{cc|c}2 & -3 & 6 \\\\ 1 & -3 & 0 \\\\ 3 & -3 & 12 \\end{array}\\right)<\/span>
\ny su resoluci\u00f3n mediante operaciones de rengl\u00f3n es:<\/p>\n
\\left(\\begin{array}{rr|r} 2 & -3 & 6\\\\ 1 & -3 & 0\\\\ 3 & -3 & 12 \\end{array}\\right) \\begin{array}{c} \\stackrel{f_{1} {\\leftrightarrow} f_{2}}{\\longrightarrow} \\end{array}\\left(\\begin{array}{rr|r}1 & -3 & 0\\\\2 & -3 & 6\\\\3 & -3 & 12\\end{array}\\right) \\begin{array}{c} {\\scriptsize f_{2}-2f_{1}} \\\\ \\longrightarrow \\\\ {\\scriptsize f_{3}-3f_{1}}\\end{array} \\left(\\begin{array}{rr|r} 1 & -3 & 0\\\\0 & 3 & 6\\\\0 & 6 & 12\\end{array}\\right) \\stackrel{f_{3}-2f_{2}}{\\longrightarrow}\\left(\\begin{array}{rr|r}1 & -3 & 0\\\\0 & 3 & 6\\\\0 & 0 & 0\\end{array}\\right) \\stackrel{f_{1}-f_{2}}{\\longrightarrow} \\left(\\begin{array}{rr|r}1 & 0 & 6\\\\0 & 3 & 6\\\\0 & 0 & 0\\end{array}\\right)<\/span><\/pre>\n
Por operaciones de rengl\u00f3n se reduce el sistema original y se lo representa con un sistema equivalente en el cual encontrar los valores de las inc\u00f3gnitas presentes es m\u00e1s pr\u00e1ctico.<\/p>\n\\left\\{\\begin{array}{rcl}x&=&6\\\\3y&=&6\\end{array}\\right.<\/span>\n
La soluci\u00f3n del S.E.L. es (x,y)=(6,2)<\/span>. N\u00f3tese como una ecuaci\u00f3n trivial de la forma 0x+0y=0<\/span> no produce informaci\u00f3n significativa, pues su conjunto soluci\u00f3n es todo el referencial, Re=\\mathbb{R}^{2}<\/span>.<\/p>\n
\u00bfQu\u00e9 sucede al aplicar las operaciones de rengl\u00f3n en un S.E.L.?<\/strong>
\nSe modifica el sistema de ecuaciones, simplificando (reduciendo) su estructura, pero no se modifica el conjunto soluci\u00f3n. En el proceso se elimina informaci\u00f3n redundante, representada por la ecuaci\u00f3n que genera una fila de ceros, hasta obtener solo dos ecuaciones cuyo conjunto soluci\u00f3n es id\u00e9ntico al conjunto soluci\u00f3n del S.E.L. original. Gr\u00e1ficamente se tiene:\"\"<\/p>\n
Naturalmente los procesos que se presentan no pueden siempre graficarse y en la mayor\u00eda de ocasiones se resuelven anal\u00edticamente sin recurrir a gr\u00e1ficos; pero es muy importante recalcar que la soluci\u00f3n del S.E.L. la conforman la intersecci\u00f3n de los conjuntos soluciones de todas las ecuaciones que componen el sistema.<\/p>\n
Inconsistencia e infinitas soluciones<\/b>
\nUn S.E.L. se denomina inconsistente<\/em> cuando no tiene soluci\u00f3n (la intersecci\u00f3n es vac\u00eda) o se dice que tiene infinitas soluciones<\/em> cuando la intersecci\u00f3n de los conjuntos soluci\u00f3n contiene infinitos puntos; son ejemplos de estos casos los siguientes S.E.L.:<\/p>\na)\\left\\{\\begin{array}{rcr}x-y&=&4\\\\x-y&=&-4\\end{array}\\right.\\qquad b)\\left\\{\\begin{array}{rcr}x-y&=&4\\\\2x-2y&=&8\\end{array}\\right.<\/span>\n
El S.E.L. del literal a)<\/span> representa dos l\u00edneas paralelas que nunca se intersectan (conjunto soluci\u00f3n vac\u00edo) y el S.E.L. del literal b)<\/span> representa dos l\u00edneas rectas coincidentes en todos sus puntos (infinitas soluciones); gr\u00e1ficamente se tiene:<\/p>\n
\"\"
S.E.L. a)<\/figcaption><\/figure>\n
\"\"
S.E.L. b)<\/figcaption><\/figure>\n
\u00bfC\u00f3mo se identifica num\u00e9ricamente un S.E.L. inconsistente?<\/strong>
\nCuando un S.E.L. constituye un sistema inconsistente, una de las ecuaciones presenta un conjunto de soluci\u00f3n vac\u00edo. Aplicando la representaci\u00f3n con matriz aumentada en el S.E.L. del literal a)<\/span> y desarrollando las operaciones de rengl\u00f3n correspondientes para reducir el sistema a uno equivalente se tiene:
\n\\left(\\begin{array}{rr|r} 1 & -1 & 4\\\\ 1 & -1 & -4 \\end{array}\\right) \\stackrel{f_{2}-f_{1}}{\\longrightarrow} \\left(\\begin{array}{rr|r} 1 & -1 & 4\\\\ 0 & 0 & -8 \\end{array}\\right) <\/span> Se puede observar que la segunda ecuaci\u00f3n se simplific\u00f3 como 0x+0y={-8}<\/span>; por lo tanto, es imposible que el S.E.L. tenga soluci\u00f3n. N\u00f3tese que al reemplazar cualquier n\u00famero en x<\/span> e y<\/span>, cada uno \u00e9stos se multiplican por cero y al sumarlos nunca se obtendr\u00e1 el resultado de {-8}<\/span>.<\/p>\n
Por consiguiente, el conjunto soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n es vac\u00edo (\\textrm{\u00d8}<\/span>) y no importa cu\u00e1l es el conjunto soluci\u00f3n de la otra ecuaci\u00f3n porque al intersectarse con el conjunto vac\u00edo genera como resultado el conjunto vac\u00edo.<\/p>\n
\u00bfC\u00f3mo se identifica num\u00e9ricamente un S.E.L. con infinitas soluciones?<\/strong>
\nCuando un S.E.L. constituye un sistema con infinitas soluciones, el conjunto soluci\u00f3n no presenta valores num\u00e9ricos exactos sino que depende de una o m\u00e1s variables libres (o par\u00e1metros). Aplicando la representaci\u00f3n con matriz aumentada en el S.E.L. del literal a)<\/span> y desarrollando las operaciones de rengl\u00f3n correspondientes para reducir el sistema a uno equivalente se tiene:
\n\\left(\\begin{array}{rr|r} 1 & -1 & 4\\\\ 1 & -1 & 4 \\end{array}\\right) \\stackrel{f_{2}-f_{1}}{\\longrightarrow} \\left(\\begin{array}{rr|r} 1 & -1 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right) <\/span> Se puede observar que la segunda ecuaci\u00f3n se vuelve trivial y no aporta informaci\u00f3n debido a que el conjunto soluci\u00f3n es el referencial, Re=\\mathbb{R}^{2}<\/span>. N\u00f3tese que el conjunto soluci\u00f3n del S.E.L. depende de la primera ecuaci\u00f3n, x-y=4<\/span>. A partir de esta ecuaci\u00f3n es imposible obtener una soluci\u00f3n num\u00e9rica espec\u00edfica sino que una de las variables depende de la otra.<\/p>\n
Si se elige expresar la variable x<\/span> en t\u00e9rminos de la variable y<\/span>, la soluci\u00f3n es la ecuaci\u00f3n x=y+4<\/span>, donde y\\in R<\/span>; es decir, x<\/span> es la variable dependiente mientras que y<\/span> es la variable libre. Por otra parte, si se elige expresar la variable y<\/span> en t\u00e9rminos de la variable x<\/span>, la soluci\u00f3n es la ecuaci\u00f3n y=x-4<\/span>, donde x\\in R<\/span>; es decir, x<\/span> es la variable libre mientras que y<\/span> es la variable dependiente. En cualquier situaci\u00f3n, existe al menos una variable libre, lo que determina que el S.E.L. tenga infinitas soluciones.<\/p>\n
Nota:<\/strong> El hecho que un S.E.L. tenga una o m\u00e1s filas de ceros en su representaci\u00f3n con matriz aumentada, NO implica que el S.E.L. tenga infinitas soluciones; sino que la soluci\u00f3n, de existir, NO depender\u00e1 de tales filas de ceros (pues corresponden a ecuaciones triviales cuya soluci\u00f3n es todo el referencial), sino que depender\u00e1 de las ecuaciones no triviales restantes.\r\n\r\nComo un ejemplo, se presenta el siguiente S.E.L.:\r\n\\left\\{ \\begin{array}{rcl}2x-3y&=&6 \\\\ x-3y&=&0 \\\\ 3x-3y&=&12 \\end{array}\\right.<\/span>el cual tiene soluci\u00f3n \u00fanica independientemente de que, al resolverlo, aparezca una fila de ceros en su representaci\u00f3n con matriz aumentada. \r\n\r\nUn sistema tiene infinitas soluciones siempre y cuando sea consistente y presente variables libres.<\/pre>\n
\n
Enlaces de inter\u00e9s<\/strong><\/p>\n
Clase Online<\/a>\r\nPlataforma SIDWeb<\/a>\r\nReferencias Bibliogr\u00e1ficas<\/a><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Cuando se habla de linealidad en matem\u00e1ticas, \u00e9sta se refiere a un conjunto de propiedades que se generalizan de aquellas relacionadas con el concepto de l\u00ednea recta. En una ecuaci\u00f3n lineal corresponde a una l\u00ednea recta. Por ejemplo, la expresi\u00f3n tiene una gr\u00e1fica correspondiente a una l\u00ednea recta en el plano cartesiano: En dimensiones superiores … Sigue leyendo cl1-02. Sistema de Ecuaciones Lineales<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":9991,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414633],"tags":[],"class_list":["post-516","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-1ra-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/516","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/users\/9991"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=516"}],"version-history":[{"count":260,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/516\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7528,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/516\/revisions\/7528"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=516"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=516"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=516"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}