{"id":927,"date":"2017-10-28T14:31:34","date_gmt":"2017-10-28T19:31:34","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=927"},"modified":"2019-11-07T14:10:46","modified_gmt":"2019-11-07T19:10:46","slug":"cl2-02-subespacios-vectoriales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/cl2-02-subespacios-vectoriales\/","title":{"rendered":"cl2-02. Subespacios Vectoriales"},"content":{"rendered":"
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Definici\u00f3n.<\/strong> Sea H<\/span> un subconjunto no vac\u00edo del espacio vectorial V<\/span> (H\\subseteq V)<\/span>, se dice que H<\/span> es un espacio vectorial de V<\/span> si H<\/span> es un espacio vectorial con las mismas operaciones definidas en V<\/span>.<\/p>\n

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Teorema.<\/strong> Sea V<\/span> un espacio vectorial y sea H<\/span> un subconjunto no vac\u00edo de V<\/span>. Entonces, H<\/span> es un subespacio de V<\/span> si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:\r\n1. \\forall\\ h_{\\mathrm{1}},h_{\\mathrm{2}}\\ \\mathrm{\\in}\\ H:h_{\\mathrm{1}}\\mathrm{\\oplus}h_{\\mathrm{2}}\\ \\mathrm{\\in}\\space H<\/span>\r\n2. \\forall\\ h\\ \\mathrm{\\in}\\ H\\ \\mathrm{\\wedge}\\ \\forall\\ \\alpha\\ \\mathrm{\\in}\\ \\mathbb{R}:\\alpha\\odot h\\ \\mathrm{\\in}\\space H<\/span><\/pre>\n
Expresado de otra forma, un subconjunto de vectores constituye un subespacio vectorial, si \u00e9ste a su vez constituye un espacio vectorial y al mismo tiempo es un subconjunto de un espacio vectorial mayor.<\/p>\n
Para determinar si un subconjunto es o no un subespacio vectorial, es necesario que sea no vac\u00edo y mostrar que cumple con los axiomas de cerradura:<\/p>\n\n\n\n\n
1.<\/td>\n\\forall\\ h_{\\mathrm{1}},h_{\\mathrm{2}}\\ \\mathrm{\\in}\\ H:h_{\\mathrm{1}}\\mathrm{\\oplus}h_{\\mathrm{2}}\\ \\mathrm{\\in}\\ H<\/span>
\n(Cerradura bajo la suma).<\/td>\n<\/tr>\n
2.<\/td>\n\\forall\\ h\\ \\mathrm{\\in}\\ H\\ \\mathrm{\\wedge}\\ \\forall\\ \\alpha\\ \\mathrm{\\in}\\ \\mathbb{R}:\\alpha\\odot h\\ \\mathrm{\\in}\\ H<\/span>
\n(Cerradura bajo la multiplicaci\u00f3n por un escalar).<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
Una manera de determinar que H<\/span> es no vac\u00edo, es demostrando que el vector nulo est\u00e1 en H<\/span>, raz\u00f3n por la cual algunos autores indican como axioma adicional que n_V{{\\in}H}<\/span>. Es conveniente notar que si los axiomas 1 y 2 se satisfacen y H<\/span> es no vac\u00edo, entonces existe al menos un elemento u\\!\\in\\!H<\/span>; as\u00ed se tiene que (-1)\\odot u{{\\in}H}<\/span> por el axioma 2, y u+(-1)\\odot u=n_V\\!\\in\\!H<\/span>; de donde, si se cumplen los axiomas 1 y 2 adem\u00e1s de que H<\/span> es no vac\u00edo, es decir, n_V \\! \\in \\! H.<\/span><\/p>\n
Ejemplo.<\/strong> Determine si el subconjunto H<\/span> de todos los vectores en \\mathbb{R^3}<\/span> de la forma \\left(x_{\\mathrm{1}},x_{\\mathrm{2}},x_{\\mathrm{1}} + x_{\\mathrm{2}}\\right)<\/span> constituye un subespacio vectorial en \\mathbb{R^3}<\/span>.<\/pre>\n
Soluci\u00f3n.<\/strong> Para determinarlo, se debe probar que H es no vac\u00edo (n\u00f3tese que el vector (0,0,0) pertence a H), y que el subconjunto cumple con los axiomas de cerradura de la suma entre vectores y multiplicaci\u00f3n por un escalar.<\/p>\n\\mathbf{1.\\quad \\forall h_{\\mathrm{1}},h_{\\mathrm{2}}\\mathrm{\\in}H:h_{\\mathrm{1}}\\mathrm{\\oplus}h_{\\mathrm{2}}\\mathrm{\\in}H}<\/span>\n
Sean h_{\\mathrm{1}}=\\left(x_{\\mathrm{1}},x_{\\mathrm{2}},x_{\\mathrm{1}} + x_{\\mathrm{2}}\\right)<\/span> y h_{\\mathrm{2}}=\\left(y_{\\mathrm{1}},y_{\\mathrm{2}},y_{\\mathrm{1}} + y_{\\mathrm{2}}\\right)<\/span> entonces:
\nh_{\\mathrm{1}}\\mathrm{\\oplus}h_{\\mathrm{2}}=\\left(x_{\\mathrm{1}} + y_{\\mathrm{1}},x_{\\mathrm{2}} + y_{\\mathrm{2}},x_{\\mathrm{1}} + x_{\\mathrm{2}} + y_{\\mathrm{1}} + y_{\\mathrm{2}}\\right)<\/span> N\u00f3tese que la tercera componente es la suma de las dos primeras. Por consiguiente el axioma si se cumple.<\/em><\/p>\n\\mathbf{2.\\quad \\forall\\ h\\ \\mathrm{\\in}\\ H\\ \\mathrm{\\wedge}\\ \\forall\\ \\alpha\\ \\mathrm{\\in}\\ \\mathbb{R}:\\alpha\\odot h\\ \\mathrm{\\in}\\ H}<\/span>\n
Sea h=\\left(x_{\\mathrm{1}},x_{\\mathrm{2}},x_{\\mathrm{1}} + x_{\\mathrm{2}}\\right)<\/span> entonces:
\n\\alpha\\odot h=\\alpha\\odot\\left(x_{1},x_{2},x_{1}+x_{2}\\right)=\\left(\\alpha x_{1},\\alpha x_{2},\\alpha\\left(x_{1},x_{2}\\right)\\right)<\/span>Por consiguiente el axioma si se cumple.<\/em><\/p>\n
En conclusi\u00f3n, al cumplir con los 2<\/span> axiomas entonces el subconjunto H<\/span>, con las operaciones convencionales de suma entre vectores (\\oplus<\/span>) y multiplicaci\u00f3n por un escalar (\\odot\\alpha<\/span>), representa un subespacio vectorial.<\/p>\n
Cuando no se especifican las operaciones, por definici\u00f3n, se asumen las operaciones convencionales de suma entre vectores (\\oplus<\/span>) y multiplicaci\u00f3n por un escalar (\\odot\\alpha<\/span>).<\/pre>\n
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Enlaces de inter\u00e9s<\/strong><\/p>\n
Clase Online<\/a>\r\nPlataforma SIDWeb<\/a>\r\nReferencias Bibliogr\u00e1ficas<\/a><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Teorema. Sea un espacio vectorial y sea un subconjunto no vac\u00edo de . Entonces, es un subespacio de si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: 1. 2. Expresado de otra forma, un subconjunto de vectores constituye un subespacio vectorial, si \u00e9ste a su vez constituye un espacio vectorial y al mismo tiempo es … Sigue leyendo cl2-02. Subespacios Vectoriales<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":609,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414633],"tags":[],"class_list":["post-927","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-1ra-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/927","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/users\/609"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=927"}],"version-history":[{"count":62,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/927\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7530,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/927\/revisions\/7530"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=927"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=927"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=927"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}