{"id":995,"date":"2017-05-14T13:54:20","date_gmt":"2017-05-14T18:54:20","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=995"},"modified":"2019-11-07T14:11:42","modified_gmt":"2019-11-07T19:11:42","slug":"cl2-04-conjunto-generador","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/cl2-04-conjunto-generador\/","title":{"rendered":"cl2-04. Conjunto Generador"},"content":{"rendered":"
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Definici\u00f3n.<\/strong> Se dice que los vectores v_{\\mathrm{1}},v_{\\mathrm{2}},v_{\\mathrm{3}},...,v_{\\mathrm{n}}<\/span> generan el espacio vectorial V<\/span> si cualquier vector que pertenece a V<\/span> puede expresarse como combinaci\u00f3n lineal de los mismos; es decir,\\forall v\\in V<\/span>existen escalares \\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3,...,\\alpha_n<\/span>, tales que v=\\alpha_1 v_1+\\alpha_2 v_2+\\alpha_3 v_3+...+\\alpha_n v_n<\/span>Por consiguiente, los vectores v_{\\mathrm{1}},v_{\\mathrm{2}},v_{\\mathrm{3}},...,v_{\\mathrm{n}}<\/span> constituyen un conjunto generador<\/b> de V<\/span>.<\/pre>\n
Notaci\u00f3n.<\/strong> Conjunto generador de V<\/span> se denota como V=gen \\left \\{v_1,v_2,...,v_n\\right\\}<\/span>.<\/p>\n
Ejemplo.<\/strong> Sea V<\/span> el espacio vectorial \\mathbb{R^3}<\/span> y sean:v_1=\\left(\\begin{array}{r} 1 \\\\ 2\\\\ 1 \\end{array}\\right)\\ v_2=\\left(\\begin{array}{r} 1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\end{array}\\right)\\ v_3=\\left(\\begin{array}{r} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{array}\\right)<\/span>Determine si los vectores v_1,v_2,v_3<\/span> constituyen un conjunto generador de V<\/span>.<\/pre>\n
Soluci\u00f3n.<\/strong> Para determinar si \\left\\{v_1,v_2,v_3\\right\\}<\/span> constituye un conjunto generador de V<\/span> se verifica si existen constantes \\alpha_1,\\alpha_2<\/span> y \\alpha_3<\/span> tales que:v=\\alpha_1 v_1+\\alpha_2 v_2+\\alpha_3 v_3<\/span>de dondev=\\alpha_1\\left(\\begin{array}{r} 1 \\\\ 2\\\\ 1 \\end{array}\\right)+\\alpha_2\\left(\\begin{array}{r} 1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\end{array}\\right)+\\alpha_3\\left(\\begin{array}{r} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{array}\\right)<\/span> Una vez planteado el sistema de ecuaciones lineales asociado, se utiliza un vector caracter\u00edstico del espacio vectorial V<\/span> como parte de la matriz adjunta correspondiente \\left\\{ \\begin{array}{rcrcrcl}\\alpha_1&+&\\alpha_2&+&\\alpha_3&=&x \\\\ 2\\alpha_1& & &+&\\alpha_3&=&y \\\\ \\alpha_1&+&\\alpha_2& & &=&z \\end{array}\\right.<\/span>\\left(\\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1&x\\\\ 2 & 0 & 1&y\\\\ 1 & 1 & 0&z \\end{array}\\right)<\/span> Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se obtiene:\\alpha_1=\\frac{-2x+2y+z}{3}\\quad \\alpha_2=\\frac{x-y+z}{3}\\quad \\alpha_3=\\frac{4x-y-2z}{3}<\/span><\/p>\n
Por consiguiente, como los escalares \\alpha_1,\\alpha_2<\/span> y \\alpha_3<\/span> pueden expresarse en funci\u00f3n de las componentes del vector caracter\u00edstico de V<\/span>; entonces el conjunto de vectores, \\left\\{v_1,v_2,v_3\\right\\}<\/span>, constituye un conjunto generador de V<\/span>, es decir, V=gen \\left \\{v_1,v_2,v_3\\right\\}<\/span>.<\/p>\n
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Enlaces de inter\u00e9s<\/strong><\/p>\n
Clase Online<\/a>\r\nPlataforma SIDWeb<\/a>\r\nReferencias Bibliogr\u00e1ficas<\/a><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Definici\u00f3n. Se dice que los vectores generan el espacio vectorial si cualquier vector que pertenece a puede expresarse como combinaci\u00f3n lineal de los mismos; es decir,existen escalares , tales que Por consiguiente, los vectores constituyen un conjunto generador de . Notaci\u00f3n. Conjunto generador de se denota como . Ejemplo. Sea el espacio vectorial y sean:Determine … Sigue leyendo cl2-04. Conjunto Generador<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":609,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414633],"tags":[],"class_list":["post-995","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-1ra-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/995","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/users\/609"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=995"}],"version-history":[{"count":56,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/995\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7532,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/995\/revisions\/7532"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=995"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=995"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=995"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}