{"id":6655,"date":"2019-07-02T15:48:03","date_gmt":"2019-07-02T20:48:03","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?page_id=6655"},"modified":"2023-07-18T16:17:17","modified_gmt":"2023-07-18T21:17:17","slug":"proyectos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/proyectos\/","title":{"rendered":"Proyectos"},"content":{"rendered":"
\n\t\t\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\tComponente pr\u00e1ctico\t\t\t\t\t\t<\/h2>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\tA\u00f1o lectivo 2019-2020 | T\u00e9rmino 1\t\t\t\t\t\t<\/h3>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n<\/div><\/div>
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\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t1. Programaci\u00f3n lineal\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/span>\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t
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Introducci\u00f3n<\/h2>\n
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En diversas \u00e1reas como negocios, econom\u00eda, ciencias biol\u00f3gicas, entre otras, aparecen problemas de determinar el m\u00e1ximo o m\u00ednimo de una funci\u00f3n determinada. Estos problemas son m\u00e1s naturales de lo que podr\u00edamos previamente imaginar. \u00bfQu\u00e9 es lo que hace un empresario para maximizar utilidades o minimizar costos? \u00bfA qu\u00e9 tasa de cambio ser\u00e1 favorable el saldo de los pagos? \u00bfComo se puede satisfacer los requerimientos de alimentos de un animal con un m\u00ed\u0131nimo de gasto de energ\u00eda?<\/p>\n

Usualmente los problemas de maximizaci\u00f3n y minimizaci\u00f3n est\u00e1n sujetos a menudo a restricciones en las variables. Por ejemplo, no es dif\u00edcil notar que el hombre de negocios no tendr\u00e1 una cantidad infinita de capital, es decir, siempre tendr\u00e1 la limitaci\u00f3n de una cantidad finita de capital; el supervisor de un almac\u00e9n, tiene un espacio limitado para almacenamiento. Adem\u00e1s, generalmente las restricciones guardan relaci\u00f3n con la naturaleza o definici\u00f3n de las variables, por ejemplo, el gerente de una tienda no puede ordenar un n\u00famero negativo de kilogramos de tomate.<\/p>\n

A los problemas que se enfocan en optimizar una funci\u00f3n cuyas variables se encuentran sometidas a restricciones con inecuaciones lineales se los denomina problemas de Programaci\u00f3n Lineal<\/em>.<\/p>\n

Un problema de programaci\u00f3n lineal posee una funci\u00f3n objetivo con n<\/span> variables (en este caso 2<\/span> variables), por ejemplof(x_1,x_2)=2x_1+x_2<\/span>que satisfaga las inecuaciones x_1ge 0, , ,x_2 ge 0<\/span>y adem\u00e1s restricciones de inecuaciones lineales de las variables, por ejemplox_1+x_2leq 1<\/span><\/p>\n

George Dantzig dise\u00f1\u00f3 un m\u00e9todo para resolver este tipo de problemas, el cual es conocido como M\u00e9todo Simplex<\/em>.<\/p>\n\n<\/div>

Problema<\/h2>\n
\n\n

Durante varios a\u00f1os en la ESPOL, Frutangas Don Germ\u00e1n ha vendido sus deliciosas frutangas, principalmente de tres sabores: frutilla, vainilla y durazno. El secreto de Don Germ\u00e1n es que \u00e9l mismo prepara sus tres sabores de yogur. Con la llegada de los estudiantes del t\u00e9rmino 2019 y la alta demanda de sus productos, Don Germ\u00e1n se encontr\u00f3 con d\u00e9ficit de algunos de los ingredientes: leche, az\u00facar y crema. As\u00ed que Frutangas Don Germ\u00e1n no pod\u00eda cumplir todos los pedidos de sus muy apreciados clientes. Despu\u00e9s de largas caminatas pensativas por el lago de la escuela, Don Germ\u00e1n decidi\u00f3 producir las cantidades \u00f3ptimas de cada uno de los sabores seg\u00fan las restricciones impuestas por la disponibilidad de los ingredientes b\u00e1sicos.<\/p>\n

Para esto, consigui\u00f3 la siguiente informaci\u00f3n sobre las utilidades provenientes de los distintos sabores de yogur, la disponibilidad de los ingredientes, y las cantidades requeridas por cada uno de los productos de distintos sabores.<\/p>\n\"\"\n

Frutangas Don Germ\u00e1n ha contratado a un grupo de trabajo para llevar adelante el proyecto de determinar la cantidad \u00f3ptima de cada uno de los sabores que debe producir, de acuerdo\u00a0 a las condiciones de su negocio. Para cumplir con el proyecto, el\u00a0grupo debe emitir un reporte que responda las siguientes preguntas:<\/p>\n\n\n\n\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\n\u00bfQu\u00e9 recursos adicionales se deben usar?<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\n\u00bfCu\u00e1l es la cantidad \u00f3ptima que debe producir de cada uno de los sabores?<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n<\/div>

Entregables<\/h2>\n
\n\n

Se necesita que el grupo de trabajo elabore un reporte con la propuesta de soluci\u00f3n a este problema. El reporte es un documento con las siguientes secciones: introducci\u00f3n, fundamento te\u00f3rico, propuesta de soluci\u00f3n, conclusiones y recomendaciones. La secci\u00f3n propuesta de soluci\u00f3n debe presentar:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nPlanteamiento matricial del problema.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nPlanteamiento de las inecuaciones (restricciones).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nAplicaci\u00f3n del m\u00e9todo simplex.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nResultados num\u00e9ricos.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nInterpretaci\u00f3n de resultados.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

El documento debe estar escrito de forma secuencial y con sentido completo. el grupo puede (y probablemente debe) utilizar programas de aplicaci\u00f3n para resolver este problema, los mismos que deben ser descritos; as\u00ed como, detallar su utilizaci\u00f3n en el reporte.<\/p>\n<\/div><\/div>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t2. Sistema din\u00e1micos\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/span>\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/span>\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\n\t\t\t\n\t\t\t\t
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Introducci\u00f3n<\/h2>\n
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Los procesos que evolucionan en el tiempo se denominan sistemas din\u00e1micos<\/em>, es decir, que a medida que el tiempo avanza, estos fen\u00f3menos est\u00e1n cambiando su estado<\/em>. Si se considera que el tiempo tome valores enteros no negativos (t=0,1,2,3,...)<\/span> se dice que el tiempo es discreto. Los sistemas din\u00e1micos que cambian con respecto a un tiempo discreto se denominan sistemas din\u00e1micos discretos.<\/p>\n

Los sistemas din\u00e1micos discretos pueden estar descritos matem\u00e1ticamente por medio de ecuaciones en diferencias. Una ecuaci\u00f3n en diferencias es una ecuaci\u00f3n en la cual el valor de una variable depende de valores de la variable en un tiempo anterior; por ejemploy_t=2y_{t-1}<\/span><\/p>\n

De esta manera, en la ecuaci\u00f3n anterior el valor de y_1=2y_0<\/span>, el valor de y_2=2y_1<\/span>, y as\u00ed sucesivamente. Esta ecuaci\u00f3n es una ecuaci\u00f3n en diferencia. N\u00f3tese que el valor de los siguientes estados de la variable depende del valor inicial y_0<\/span>, el cual usualmente es un dato conocido.<\/p>\n

Ciertos fen\u00f3menos son representados por varias ecuaciones en diferencias; por ejemplo, considere que la posici\u00f3n de una part\u00edcula en el plano cartesiano est\u00e1 dada por las ecuaciones en diferenciabegin{aligned}x_1&=2x_{t-1}+y_{t-1}\\y_t&=3x_{t-1}+4y_{t-1} end{aligned}<\/span>donde la variable t<\/span> est\u00e1 en minutos; adem\u00e1s, se conoce que la posici\u00f3n inicial es x_0 =1<\/span>, y_0 =1<\/span>.<\/p>\n

El sistema de ecuaciones en diferencia puede ser escrito de forma matricial comobegin{pmatrix} begin{array}{c} x_t\\y_t end{array} end{pmatrix} = begin{pmatrix} begin{array}{cc} 2&1\\3&4 end{array} end{pmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{c} x_{t-1}\\y_{t-1} end{array} end{pmatrix}<\/span>es decirv_t=Av_{t-1}<\/span>donde v_t=begin{pmatrix} begin{array}{c} x_t\\y_t end{array} end{pmatrix}<\/span>. Al observar con detenimiento esta ecuaci\u00f3n matricial se tiene quebegin{aligned} v_1&=Av_0\\v_2&=Av_2=A(v_1)=A^2 v_0\\v_3&=Av_2=A(A^2 v_0)=A^3 v_0 end{aligned}<\/span>se puede probar por inducci\u00f3n que v_t=A^t v_0 <\/span>; por tanto, el problema de determinar la posici\u00f3n de la part\u00edcula en el cualquier instante t<\/span> se resume en calcular la t-\u00e9sima<\/span> potencia de la matriz A<\/span>; para el efecto, se puede utilizar diagonalizaci\u00f3n de matrices, puesto que si A<\/span> es diagonalizable se tiene lo siguienteD=C^{-1}AC<\/span>donde D<\/span> es una matriz diagonal semejante a A<\/span>; y C<\/span> una matriz invertible que diagonaliza a A<\/span>. Si A<\/span> es semejante a una matriz diagonal, entonces su t-\u00e9sima<\/span> potencia esA^t=CD^tC^{-1}<\/span>.<\/p>\n

Se tiene conocimiento, por \u00c1lgebra Lineal, que la matriz diagonal D<\/span> est\u00e1 compuesta por los valores propios de la matriz A<\/span> y que la matriz C<\/span> est\u00e1 compuesta por los vectores propios de la matriz A<\/span>.<\/p>\n

Siguiendo con el ejemplo, los valores propios y las bases de los espacios propios asociados a cada valor propio sonbegin{array}{lcl}lambda_1=1 & & B_{E_{lambda_1}}=begin{Bmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{r}1\\-1 end{array} end{pmatrix} end{Bmatrix} \\ \\ lambda_2=5 & & B_{E_{lambda_2}}=begin{Bmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{r}1\\3 end{array} end{pmatrix} end{Bmatrix} end{array} <\/span><\/p>\n

las matrices D<\/span> y C<\/span> sonD=begin{pmatrix} begin{array}{cc} 1&0\\0&5 end{array} end{pmatrix} qquad C=begin{pmatrix} begin{array}{rr} 1&1\\-1&3 end{array} end{pmatrix} <\/span>y la matriz inversa de C<\/span>C^{-1}=begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4} & - frac{1}{4}\\ \\ frac{1}{4} & frac{1}{4} end{array} end{pmatrix}<\/span>por tantobegin{aligned} A^t&=CD^tC^{-1} \\ A^t&=begin{pmatrix} begin{array}{rr} 1&1\\-1&3 end{array} end{pmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{ll} 1^t&0\\0&5^t end{array} end{pmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4} & - frac{1}{4}\\ \\ frac{1}{4} & frac{1}{4} end{array} end{pmatrix} \\ A^t&=begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4} + frac{1}{4} 5^t & - frac{1}{4}+frac{1}{4} 5^t\\ \\ -frac{3}{4}+frac{3}{4} 5^t & frac{1}{4}+frac{3}{4} 5^t end{array} end{pmatrix} end{aligned}<\/span>Para determinar la posici\u00f3n de la part\u00edcula al tiempo t=10<\/span> (minutos) se debe realizar el siguiente productobegin{aligned} v_10&=A^{10} v_0 \\ begin{pmatrix} begin{array}{c} x_{10}\\y_{10} end{array} end{pmatrix}&=begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4} + frac{1}{4} 5^{10} & - frac{1}{4}+frac{1}{4} 5^{10}\\ \\ -frac{3}{4}+frac{3}{4} 5^{10} & frac{1}{4}+frac{3}{4} 5^{10} end{array} end{pmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{c} 1\\1 end{array} end{pmatrix} \\ begin{pmatrix} begin{array}{c} x_{10}\\y_{10} end{array} end{pmatrix}&=begin{pmatrix} begin{array}{r} frac{1}{2}+frac{1}{2} 5^{10} \\ \\ - frac{1}{2}+frac{3}{2} 5^{10} end{array} end{pmatrix} end{aligned}<\/span>Por consiguiente, la posici\u00f3n de la part\u00edcula despu\u00e9s de diez minutos esbegin{pmatrix} begin{array}{c} x_{10}\\y_{10} end{array} end{pmatrix}=begin{pmatrix} begin{array}{c} 4882813\\4882812 end{array} end{pmatrix}<\/span>unidades de distancia.<\/p>\n\n<\/div>

Problema<\/h2>\n
\n

En un universo perfecto, las bibliotecas de ESPOL pertenecen a un sistema integrado Archivos Gigantes<\/em> (abreviado AG) de pr\u00e9stamos y devoluci\u00f3n de libros. El sistema AG, al ser integrado, permite a los estudiantes pedir un libro y devolverlo en cualquiera de las bibliotecas que se encuentran en el campus Gustavo Galindo. Con fines administrativos, cada biblioteca tiene un c\u00f3digo que la identifica y asocia con su respectiva unidad acad\u00e9mica.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nBiblioteca Central (C).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nBiblioteca FCNM (N).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nBiblioteca FIEC (F).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nBiblioteca FCSH (S).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nBiblioteca FIMCBOR (B).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nBiblioteca FICT (T).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nBiblioteca FIMCP (M).<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Al inicio del semestre, cada biblioteca cuenta con un inventario inicial de libros. A medida que los d\u00edas avanzan, los estudiantes piden un libro en la biblioteca X<\/span> y lo devuelven en la biblioteca Y<\/span>; este proceso deriva que al inicio del siguiente d\u00eda las bibliotecas almacenen libros provenientes de bibliotecas de otras unidades acad\u00e9micas.<\/p>\n

Cada vez que alguna bibliotecaria recibe un libro, lo registra por el sensor y el sistema notifica inmediatamente su procedencia (del d\u00eda anterior). En la biblioteca Central, la bibliotecaria identifica que cada d\u00eda una fracci\u00f3n de la cantidad de libros del inventario local salen; y recibe, del d\u00eda anterior, una fracci\u00f3n de la cantidad de libros del inventario de las otras bibliotecas; es decir, al cabo det<\/span> d\u00edas, el inventario de la biblioteca Central es<\/p>\n\n

C_t=frac{3}{16}C_{t-1}+frac{1}{4}N_{t-1}+frac{1}{16}E_{t-1}+frac{5}{16}S_{t-1}+frac{1}{4}B_{t-1}+frac{1}{8}T_{t-1}+frac{1}{16}M_{t-1}<\/span><\/pre>\n
La ecuaci\u00f3n previa indica que la biblioteca Central, en el d\u00eda t<\/span>, mantiene solo frac{3}{16}<\/span> del inventario disponible el d\u00eda anterior; recibe adem\u00e1s, frac{1}{4}<\/span> del inventario del d\u00eda anterior proveniente de la biblioteca FCNM; frac{1}{16}<\/span> del inventario del d\u00eda anterior proveniente de la biblioteca FIEC; frac{5}{16}<\/span> del inventario del d\u00eda anterior proveniente de la biblioteca FCSH; frac{1}{4}<\/span> del inventario del d\u00eda anterior proveniente de la biblioteca FIMCBOR; frac{1}{8}<\/span> del inventario del d\u00eda anterior proveniente de la biblioteca FICT; y frac{1}{16}<\/span> del inventario del d\u00eda anterior proveniente de la biblioteca FIMCP.<\/p>\n
Al recolectar los datos de todas las bibliotecas se obtuvieron las siguientes ecuaciones en diferencia:<\/p>\n
 begin{aligned}C_t&=frac{3}{16}C_{t-1}+frac{1}{4}N_{t-1}+frac{1}{16}E_{t-1}+frac{5}{16}S_{t-1}+frac{1}{4}B_{t-1}+frac{1}{8}T_{t-1}+frac{1}{16}M_{t-1}\\ N_t&=frac{1}{16}C_{t-1}+frac{1}{16}E_{t-1}+frac{1}{16}S_{t-1}+frac{1}{4}B_{t-1}+frac{1}{16}T_{t-1}+frac{1}{16}M_{t-1} \\ E_t&=frac{1}{8}C_{t-1}+frac{1}{8}N_{t-1}+frac{1}{4}E_{t-1}+frac{1}{8}S_{t-1}+frac{1}{8}B_{t-1}+frac{1}{8}T_{t-1}+frac{1}{4}M_{t-1}\\ S_t&=frac{3}{16}C_{t-1}+frac{3}{16}N_{t-1}+frac{3}{16}E_{t-1}+frac{1}{16}S_{t-1}+frac{3}{16}B_{t-1}+frac{3}{16}T_{t-1}+frac{1}{8}M_{t-1}\\B_t&=frac{1}{8}C_{t-1}+frac{1}{8}N_{t-1}+frac{1}{8}E_{t-1}+frac{1}{8}S_{t-1}+frac{1}{8}B_{t-1}+frac{1}{8}T_{t-1}+frac{1}{8}M_{t-1}\\T_t&=frac{1}{4}C_{t-1}+frac{1}{4}N_{t-1}+frac{1}{4}E_{t-1}+frac{1}{4}S_{t-1}+frac{5}{16}T_{t-1}+frac{1}{4}M_{t-1}\\M_t&=frac{1}{16}C_{t-1}+frac{1}{16}N_{t-1}+frac{1}{16}E_{t-1}+frac{1}{16}S_{t-1}+frac{1}{16}B_{t-1}+frac{1}{16}T_{t-1}+frac{1}{8}M_{t-1} end{aligned}<\/span><\/pre>\n
Al empezar el semestre las bibliotecas reportaron que ten\u00edan la cantidad mostrada a continuaci\u00f3n<\/p>\n\"\"\n
 En la ESPOL, el proceso asociado con la primera evaluaci\u00f3n consta de siete semanas, m\u00e1s una de ex\u00e1menes; y la segunda evaluaci\u00f3n comprende ocho semanas, m\u00e1s una de ex\u00e1menes. El \u00fanico d\u00eda en que las bibliotecas no prestan ni se reciben libros, porque permanecen cerradas, es el domingo. Por motivo de inventario, se ha seleccionado a un grupo de trabajo para que desarrolle un proyecto que permita estimar la cantidad de libros al final de la primera evaluaci\u00f3n y segunda evaluaci\u00f3n en cada biblioteca.<\/p>\n\n<\/div>
Entregables<\/h2>\n
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Se necesita que el grupo de trabajo elabore un reporte con la propuesta de soluci\u00f3n a este problema. El reporte es un documento con las siguientes secciones: introducci\u00f3n, fundamento te\u00f3rico, propuesta de soluci\u00f3n, conclusiones y recomendaciones. La secci\u00f3n propuesta de soluci\u00f3n debe presentar:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nEl planteamiento matricial del problema.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nEl polinomio caracter\u00edstico de la matriz.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLos valores propios de la matriz.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLas bases de vectores propios asociados con cada valor propio de la matriz.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa matriz D<\/span> diagonal y la matriz C<\/span> que diagonaliza A<\/span>.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa matriz A<\/span> elevada a la t-\u00e9sima<\/span> potencia.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLos valores de la cantidad de libros en cada biblioteca al final de la primera evaluaci\u00f3n.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLos valores de la cantidad de libros en cada biblioteca al final de la segunda evaluaci\u00f3n.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
El documento debe estar escrito de forma secuencial y con sentido completo. el grupo puede (y probablemente debe) utilizar programas de aplicaci\u00f3n para resolver este problema, los mismos que deben ser descritos; as\u00ed como, detallar su utilizaci\u00f3n en el reporte.<\/p>\n<\/div><\/div>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t3. Criptograf\u00eda\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/span>\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/span>\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\n\t\t\t\n\t\t\t\t
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Introducci\u00f3n<\/h2>\n
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La Criptograf\u00eda<\/em> es la ciencia de escribir o descifrar claves. A pesar de que este conocimiento se asocia frecuentemente con la milicia, la Criptograf\u00eda es un tema de aplicaci\u00f3n fundamental en los negocios en la era digital. Las grandes empresas que procesan ingentes cantidades de datos deben protegerse constantemente contra delitos inform\u00e1ticos, principalmente del espionaje industrial, que deriva en el robo de informaci\u00f3n estrat\u00e9gica para el giro del negocio por parte de la competencia.<\/p>\n\n
Actualmente se implementan t\u00e9cnicas, extremadamente complejas, que garantizan la transmisi\u00f3n de grandes cantidades de informaci\u00f3n de forma confidencial. A esto se lleg\u00f3 despu\u00e9s de d\u00e9cadas de investigaci\u00f3n matem\u00e1tica y desarrollo computacional a nivel de hardware y software.<\/p>\n\n
Un criptograma com\u00fan se describe comoKIquad ZPIICquad VPJLPquad PIquad PUPJKVG<\/span>y se puede descifrar utilizando la tabla decodificadora<\/p>\n
begin{array}{cc}A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\P&M&V&Q&K&S&Z&O&T&B&W&I&U&J&C&X&E&G&Y&L&D&R&H&A&F&N   end{array}<\/span><\/pre>\n\n
N\u00f3tese que P<\/span> est\u00e1 en lugar de A<\/span>, que M<\/span> sustituye a B<\/span>, que V<\/span> reemplaza a B<\/span>, y as\u00ed sucesivamente; por tanto, decodificando el criptograma se obtiene el mensaje siguienteELquad GALLOquad CANTAquad ALquad AMANECER<\/span><\/p>\n\n
A continuaci\u00f3n, se pueden usar matrices para crear una clave m\u00e1s dif\u00edcil de descifrar. Se empieza asignando a cada letra su ubicaci\u00f3n en el alfabeto ordenado.<\/p>\n\n
begin{array}{cc}A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&25&25&26 end{array}<\/span><\/pre>\n\n
Considere el siguiente mensaje a codificarLASquad MATRICESquad SONquad AMIGABLES<\/span>Al descomponer el mensaje en unidades de longitud dos se obtiene<\/p>\n\n
begin{array}{c}LA&SM&AT&RI&CE&SS&ON&AM&IG&AB&LE&SX end{array}<\/span><\/pre>\n\n
La X<\/span> al final simplemente llena el espacio. Al utilizar el c\u00f3digo num\u00e9rico definido previamente, se puede representar el mensaje como el conjunto de vectores de dos componentes.<\/p>\n\n
begin{pmatrix} 12 \\ 1  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 19 \\ 13  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 1 \\ 20  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 18 \\ 9  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 3 \\ 5  end{pmatrix}   quad begin{pmatrix} 19 \\ 19  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 15 \\ 14  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 1 \\ 13  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 9 \\ 7  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 1 \\ 2  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 12 \\ 5  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 19 \\ 24  end{pmatrix}<\/span><\/pre>\n\n
Se escoge una matriz A<\/span> de orden 2<\/span>, invertible, con coeficientes enteros y determinante pm 1<\/span>; \u00e9sto asegura que A^{-1}<\/span> tenga coeficientes enteros. Una matriz que cumple con estas condiciones esA=begin{pmatrix} begin{array}{cc} 1&3\\1&4 end{array}  end{pmatrix}<\/span>Para continuar, se multiplica cada uno de los vectores de dos componentes, a la izquierda, por A<\/span>. Por ejemplobegin{pmatrix} 12\\1 end{pmatrix}Longrightarrow begin{pmatrix} 1&3\\1&4 end{pmatrix}begin{pmatrix} 12\\1 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 15\\16 end{pmatrix}<\/span>De tal forma se obtiene el nuevo conjunto de vectores<\/p>\n\n
begin{pmatrix} 15 \\ 16  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 58 \\ 71  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 61 \\ 81  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 45 \\ 54  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 18 \\ 23  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 76 \\ 95  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 57 \\ 71  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 40 \\ 53  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 30 \\ 37  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 7 \\ 9  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 27 \\ 32  end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 91 \\ 115  end{pmatrix}<\/span><\/pre>\n\n
Por tanto, se reescribe el conjunto de vectores previo de la siguiente forma<\/p>\n\n
15enspace 16enspace 58enspace 71enspace 61enspace 81enspace 45enspace 54enspace 18enspace 23enspace 76enspace 95enspace 57enspace 71enspace 40enspace 53enspace 30enspace 37enspace 7enspace 9enspace 27enspace 32enspace 91enspace 115<\/span><\/pre>\n\n
N\u00f3tese que el nuevo mensaje codificado ser\u00e1 complejo de descifrar si se desconoce la matriz A<\/span>. Conociendo la matriz A<\/span>, el proceso para decodificar es relativamente sencillo y se empieza por reescribir el mensaje codificado en vectores de dos componentes. Por ejemplobegin{pmatrix} 15 \\ 16 end{pmatrix}=Abegin{pmatrix} 12 \\ 1 end{pmatrix}iff begin{pmatrix} 12 \\ 1  end{pmatrix}=A^{-1}begin{pmatrix} 15 \\ 16  end{pmatrix}<\/span>Para comprobar el resultado previo, se observa que<\/p>\n\n
A^{-1}=begin{pmatrix}begin{array}{rr} 4&-3 \\ -1&1 end{array}end{pmatrix}Longrightarrow A^{-1}begin{pmatrix}15 \\ 16 end{pmatrix}=begin{pmatrix}begin{array}{rr} 4&-3 \\ -1&1 end{array}end{pmatrix}begin{pmatrix} 15 \\ 16  end{pmatrix}=begin{pmatrix} 12 \\ 1  end{pmatrix}=begin{pmatrix} L \\ A  end{pmatrix}<\/span><\/pre>\n\n
Al multiplicar cada uno de los vectores de dos componentes codificados por A^{-1}<\/span> se obtienen los vectores decodificados, los mismos que se pueden convertir por medio del alfabeto ordenado en el mensaje original. En este contexto, la matriz A<\/span> se denomina matriz codificadora<\/em> y la matriz A^{-1}<\/span> recibe el nombre de matriz decodificadora<\/em>.<\/p>\n\n\n<\/div>
Problema<\/h2>\n
\n\n\n\n\n\n
a.<\/td>\nCodifique el siguiente mensajesmall{MOZARTquad CONQUISTA quad A quad TODOS}<\/span>utilizando la matriz de codificaci\u00f3nA=begin{pmatrix} begin{array}{rrr} 1&-1&0\\4&-2&3\\2&1&5 end{array} end{pmatrix}<\/span>y con el uso de esa matriz, descifre el siguiente mensaje\n
8quad 63quad 66quad 2quad 106quad 161quad -2quad 1quad 10quad -6quad 19quad 53quad -6quad 96quad 180<\/span><\/pre><\/td>\n<\/tr>\n
b.<\/td>\nUtilizando una matriz de orden siete con coeficientes enteros distintos de cero en al menos un setenta y cinco por ciento del total. Codifique y muestre que es posible decodificar el siguiente texto:\n
\n
\nEuclides se encontraba impartiendo una clase en Alejandr\u00eda cuando uno de sus alumnos le pregunt\u00f3 que para qu\u00e9 serv\u00edan todas aquellas demostraciones tan extensas y complejas que explicaba el matem\u00e1tico. Pausadamente, Euclides, se dirigi\u00f3 a otro de los estudiantes presentes y le dijo: Dale una moneda y que se marche. Lo que \u00e9ste busca no es el saber, es otra cosa.<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n\n<\/div>
Entregables<\/h2>\n
\n
Se necesita que el grupo de trabajo elabore un reporte con la propuesta de soluci\u00f3n a este problema. El reporte es un documento con las siguientes secciones: introducci\u00f3n, fundamento te\u00f3rico, propuesta de soluci\u00f3n, conclusiones y recomendaciones. La secci\u00f3n propuesta de soluci\u00f3n debe presentar:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nEl planteamiento matricial del problema.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa resoluci\u00f3n del problema.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLos resultados num\u00e9ricos.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa interpretaci\u00f3n de los resultados.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
El documento debe estar escrito de forma secuencial y con sentido completo. el grupo puede (y probablemente debe) utilizar programas de aplicaci\u00f3n para resolver este problema, los mismos que deben ser descritos; as\u00ed como, detallar su utilizaci\u00f3n en el reporte.<\/p>\n<\/div><\/div>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t4. Ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/span>\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/span>\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\n\t\t\t\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n
Introducci\u00f3n<\/h2>\n
\n\n
Una curva cuadr\u00e1tica en x<\/span> es una ecuaci\u00f3n de la forma y=a+bx+cx^2<\/span>; esta ecuaci\u00f3n representa una par\u00e1bola en el plano. Si los n<\/span> puntos a evaluar est\u00e1n en la par\u00e1bola se tiene\\left\\{\\begin{array}{c} \\begin{aligned}y_1&=a+bx_1+cx_1^2\\\\ y_2&=a+bx_2+cx_2^2\\\\ y_3&=a+bx_3+cx_3^2\\\\ \\vdots\\\\ y_n&=a+bx_n+cx_n^2\\end{aligned}\\end{array}\\right.<\/span>El sistema en forma matricial se sintetiza a trav\u00e9s de la expresi\u00f3n y=Au<\/span> dondey=\\begin{pmatrix} y_1\\\\ y_2\\\\ \\vdots \\\\ y_n \\end{pmatrix}, \\qquad A=\\begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\\\1 & x_2 & x_2^2\\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ 1 & x_n & x_n^2 \\end{pmatrix}, \\qquad u=\\begin{pmatrix} a\\\\b\\\\c \\end{pmatrix}<\/span>Sin embargo, en un experimento las observaciones siempre presentan errores de medici\u00f3n, ya sea por la naturaleza del instrumento de medici\u00f3n, por las caracter\u00edsticas del entorno al experimento, o por el nivel de experiencia del individuo que ejecuta la medici\u00f3n; lo que provoca que los puntos no necesariamente cumplan la igualdad del sistema, es decir, y-Au {\\neq} 0<\/span>. El problema se resume en determinar un vector u<\/span> tal que la norma \\lVert y-Au \\rVert<\/span> sea m\u00ednima.<\/p>\n\n<\/div>
Problema<\/h2>\n
\n\n\n\n\n
a.<\/td>\nLos estudiantes de la ESPOL en \u00e9pocas de vacas flacas no pueden almorzar por diversas razones. El campus cuenta con una gran cantidad de \u00e1rboles de mango. En un intento de mejorar la precisi\u00f3n de la t\u00e9cnica de tumbar mangos lanzando un objeto, los estudiantes piensan en construir un robot\u2212tumba\u2212mangos<\/em> y para esto necesitan datos para programar el robot.\n\nEstos brillantes polit\u00e9cnicos toman datos de la mejor trayectoria despu\u00e9s de lanzar varias veces una pelota de tenis hacia una altura en la que supuestamente estar\u00eda el mango objetivo. Los estudiantes, que ya hab\u00edan aprobado F\u00edsica I, conocen que la altura de la pelota en funci\u00f3n del tiempo est\u00e1 dada por h(t)=h_0+v_0 t+frac{1}{2} gt^2<\/span>. Se hicieron las siguientes mediciones:\n\n\"\"\n\nCon esto datos estimar:\n\n\n\n\n\n\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa altura desde la cual se solt\u00f3 la pelota.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa velocidad inicial con la que debe ser lanzada la pelota.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa gravedad (g).<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
b.<\/td>\nEl FabLab<\/em> ubicado en la ESPOL, llamado Asiri Labs<\/em>, compra grandes cantidades de ciertas refacciones para m\u00e1quinas con el objeto de minimizar sus costos de operaci\u00f3n. Debido a la experiencia de los estudiantes polit\u00e9cnicos, encargados del \u00e1rea, encuentran que su costo depende del n\u00famero de cajas de refacciones que compren una vez y que el costo por unidad disminuye al aumentar el n\u00famero de unidades compradas. Si se supone que el costo es una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica del volumen, y por experiencia se obtienen los siguientes datos:\n\"\"Determine la funci\u00f3n de costo total.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n<\/div>
Entregables<\/h2>\n
\n\n
Se necesita que el grupo de trabajo elabore un reporte con la propuesta de soluci\u00f3n a este problema. El reporte es un documento con las siguientes secciones: introducci\u00f3n, fundamento te\u00f3rico, propuesta de soluci\u00f3n, conclusiones y recomendaciones. La secci\u00f3n propuesta de soluci\u00f3n debe presentar:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nEl planteamiento matricial del problema.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa resoluci\u00f3n del problema.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLos resultados num\u00e9ricos.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa interpretaci\u00f3n de los resultados.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
El documento debe estar escrito de forma secuencial y con sentido completo. el grupo puede (y probablemente debe) utilizar programas de aplicaci\u00f3n para resolver este problema, los mismos que deben ser descritos; as\u00ed como, detallar su utilizaci\u00f3n en el reporte.<\/p>\n<\/div><\/div>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t5. Grafos\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/span>\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/span>\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\n\t\t\t\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n
Introducci\u00f3n<\/h2>\n
\n\n
En matem\u00e1ticas, un grafo es un conjunto de elementos llamados v\u00e9rtices o nodos, conectados por medio de enlaces denominados aristas o arcos. Un\ngrafo, desde un punto de vista simple, permite representar una operaci\u00f3n binaria interna de un conjunto. Uno de los problemas m\u00e1s representativos de la teor\u00eda de grafos es el ejemplo hist\u00f3rico denominado el problema de los puentes de K\u00f6nigsberg, problema que fue resuelto por Leonhard Euler. Con un poco m\u00e1s de rigurosidad, se dice que un grafo G<\/span> es un par ordenado G=(V,E)<\/span>, donde:<\/p>\n\n\n\n\n\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nV<\/span> es un conjunto de v\u00e9rtices o nodos, y<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nE<\/span> es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
Sea V<\/span> un conjunto finito. El grafo de denomina grafo dirigido o digrafo si los arcos poseen una direcci\u00f3n. En la siguiente figura se muestra un grafo dirigido cuyos v\u00e9rtices, conectados entre s\u00ed, se denotan con las letras X<\/span>, Y<\/span> y Z<\/span>.<\/p>\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/td>\n<\/tr>\n
Grafo con nodos X<\/span>, Y<\/span> y Z<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
Para un grafo se define su matriz de adyacencia como una representaci\u00f3n de la conexi\u00f3n de sus v\u00e9rtices. Para construir una matriz de adyacencia se debe:<\/p>\n\n\n\n\n\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nCrear una matriz con coeficientes todos cero; cuyas columnas y filas representan los nodos del grafo.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nColocar un 1<\/span> como valor actual en la ubicaci\u00f3n correspondiente de la matriz, por cada arista que une dos nodos.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
Para el grafo previo, la matriz de adyacencia esbegin{pmatrix} begin{array}{cccc}&X&Y&Z\\X&0&1&1\\Y&0&0&1\\Z&1&1&0 end{array} end{pmatrix}<\/span>La primera fila indica que el nodo X<\/span> se conecta con el nodo Y<\/span>, y con el nodo Z<\/span>.La segunda fila indica que el nodo Y<\/span> se conecta s\u00f3lo con el nodo Z<\/span>. La tercera fila indica que el nodo Z<\/span> se conecta con el nodo X<\/span>, y con el nodo Y<\/span>.<\/p>\n
En un grafo se define una k-trayectoria<\/span> como el camino para ir de un v\u00e9rtice X<\/span> a un v\u00e9rtice Y<\/span> atravesando k<\/span> enlaces. N\u00f3tese que en el grafo existe una 1-trayectoria<\/span> de X<\/span> a Y<\/span>; una 1-trayectoria<\/span> de X<\/span> a Z<\/span>; una 1-trayectoria<\/span> de Z<\/span> a Y<\/span>; entre otras.<\/p>\n
Adem\u00e1s de las 1-trayectoria<\/span>, existen tambi\u00e9n las 2-trayectoria<\/span>, es decir, caminos de un v\u00e9rtice a otro v\u00e9rtice atravesando exactamente 2<\/span> enlaces. Por ejemplo, para ir de X<\/span> a Y<\/span> existe una 2-trayectoria<\/span> porque se puede ir por el camino de X<\/span> a Z<\/span> y de Z<\/span> a Y<\/span> atravesando exactamente 2<\/span> enlaces.<\/p>\n
Teorema 1.<\/strong> Si A<\/span> es la matriz de adyacencia de una gr\u00e1fica simple, la entrada ij-\u00e9sima<\/span> de A^k<\/span> es igual al n\u00famero de k-trayectoria<\/span> del v\u00e9rtice i<\/span> al v\u00e9rtice j<\/span>, para todo kinmathbb{N}<\/span>.<\/p>\n
Del teorema se establece que la entrada ij-\u00e9sima<\/span> de la matriz A<\/span> proporciona el n\u00famero de 1-trayectoria<\/span> que existe del v\u00e9rtice i<\/span> al v\u00e9rtice j<\/span>. Sea A<\/span> la matriz de adyacencia, tal quebegin{pmatrix} begin{array}{cccc}&X&Y&Z\\X&0&1&1\\Y&0&0&1\\Z&1&1&0 end{array} end{pmatrix}<\/span>se observa que existe una 1-trayectoria<\/span> de Y<\/span> a Z<\/span>.<\/p>\n
Tambi\u00e9n asegura que en la matriz A^2<\/span> la entrada ij-\u00e9sima<\/span> proporciona el n\u00famero de 2-trayectoria<\/span> que existe del v\u00e9rtice i<\/span> al v\u00e9rtice j<\/span>.<\/p>\n
Sea A^2=Atimes A<\/span>A^2=begin{pmatrix} 0&1&1\\0&0&1\\1&1&0 end{pmatrix}begin{pmatrix} 0&1&1\\0&0&1\\1&1&0 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&0\\0&1&2 end{pmatrix}<\/span>se puede observar que la entrada a_{11}<\/span> es igual a 1<\/span>, lo que implica que existe exactamente una 2-trayectoria<\/span> que va de X<\/span> hacia X<\/span>, lo que se evidencia en el grafo con la ruta X-Z-X<\/span>. Adicionalmente, la entrada a_{33}<\/span> tiene un valor de 2, lo que indica que existe exactamente dos 2-trayectoria<\/span> que van de Z<\/span> a Z<\/span> que son Z-X-Z<\/span> y Z-Y-Z<\/span>. Finalmente se nota que no hay 2-trayectoria<\/span> de Y<\/span> a Z<\/span> puesto que la entrada a_{23}<\/span> es igual a cero.begin{pmatrix} begin{array}{cccc}&X&Y&Z\\X&colorbox{snow}{textcolor{blue}{1}}&1&1\\Y&1&1&colorbox{snow}{textcolor{gold}{0}}\\Z&0&1&colorbox{snow}{textcolor{red}{2}} end{array} end{pmatrix}<\/span><\/p>\n
Por consiguiente, determinar k-trayectoria<\/span> dentro de un grafo se resume en calcular la k-\u00e9sima<\/span> potencia de la matriz A<\/span> utilizando la diagonalizaci\u00f2n de matrices. Si A<\/span> es diagonalizable, entonces D=C^{-1}AC<\/span>; donde D<\/span> es una matriz diagonal semejante a A<\/span> y C<\/span> una matriz invertible que diagonaliza a A<\/span>. Si A<\/span> es semejante a una matriz diagonal, entonces su k-\u00e9sima<\/span> potencia es CD^{-1}C^{-1}=A^k<\/span>.<\/p>\n
Por \u00c1lgebra Lineal<\/em> se sabe que la matriz diagonal D<\/span> se compone de los valores propios de A<\/span> y la matriz C<\/span> de los vectores propios linealmente independientes de la matriz A<\/span>.<\/p>\n
\u00bfC\u00f3mo elevar una matriz a la k-\u00e9sima<\/span> potencia?<\/strong><\/p>\n
Para ilustrar el proceso, considere la matrizA=begin{pmatrix} 2&1\\3&4 end{pmatrix}<\/span>Se determinan los valores propios y las bases de los espacios propios asociados a cada uno de los valores propios.begin{aligned} lambda_1&=1qquad B_{E_{lambda_1}}=begin{Bmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{r} 1\\-1 end{array} end{pmatrix} end{Bmatrix}\\ lambda_2&=5qquad B_{E_{lambda_2}}=begin{Bmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{r} 1\\3 end{array} end{pmatrix} end{Bmatrix} end{aligned}<\/span>A continuaci\u00f3n se denotan la matriz diagonal D<\/span> y la matriz invertible C<\/span>D=begin{pmatrix} begin{array}{rr} 1&0\\0&5 end{array} end{pmatrix}qquad C=begin{pmatrix} begin{array}{rr} 1&1\\-1&3 end{array} end{pmatrix}<\/span>A partir de C<\/span> se determina su inversaC^{-1}=begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4}&-frac{1}{4}\\ frac{1}{4}&-frac{1}{4} end{array} end{pmatrix}<\/span>Finalmente se tienebegin{aligned} A^k&=CD^kC^{-1}\\&=begin{pmatrix} begin{array}{rr} 1&1\\-1&3 end{array} end{pmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{cc} 1^k&0\\0&5^k end{array} end{pmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4}&-frac{1}{4}\\ frac{1}{4}&-frac{1}{4} end{array} end{pmatrix}\\&= begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4}+frac{1}{4} 5^k &-frac{1}{4}+frac{1}{4} 5^k\\ -frac{3}{4} + frac{3}{4} 5^k &frac{1}{4} +frac{3}{4} 5^k end{array} end{pmatrix}end{aligned}<\/span><\/p>\n\n<\/div>
Problema<\/h2>\n
\n
Guayaquil ha iniciado un nuevo proceso de regeneraci\u00f3n urbana y ciertas avenidas han sido modificadas con el tiempo. En un mapa vial de la ciudad se puede observar que las principales zonas est\u00e1n conectadas por v\u00edas modernas que ofrecen un acceso directo entre las mismas.<\/p>\n\n\n\n\n
\"\"<\/td>\n<\/tr>\n
V\u00edas directas entre las principales zonas de Guayaquil<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
Las zonas que muestra el mapa son:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLas Pe\u00f1as (P).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nTerminal Terrestre (T).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nParque Centenario (C).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nEstadio Capwell (E).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nEstadio Monumental (B).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nC.C. San Marino (M).<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nParque Samanes (S).<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
La alcaldesa de la ciudad, Cynthia Viteri, requiere disponer de informaci\u00f3n que considera importante sobre estas modernas v\u00edas. Entre los principales requisitos, se requiere conocer:<\/p>\n\n\n\n\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\n\u00bfCuantas rutas existen entre dos zonas principales cualesquiera de las mencionadas, atravesando exactamente por 23<\/span> v\u00edas directas?<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\n\u00bfCuantas rutas existen entre dos zonas principales cualesquiera de las mencionadas, atravesando exactamente por 50<\/span> v\u00edas directas?<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
La alcaldesa, imperiosa de conocer esta informaci\u00f3n, contrata a la empresa denominada Autopistas Guayaquil (AG). La empresa AG ofrece servicios de an\u00e1lisis de informaci\u00f3n sobre diferentes aspectos en movilidad urbana.<\/p>\n\n<\/div>
Entregables<\/h2>\n
\n
Se necesita que el grupo de trabajo elabore un reporte con la propuesta de soluci\u00f3n a este problema. El reporte es un documento con las siguientes secciones: introducci\u00f3n, fundamento te\u00f3rico, propuesta de soluci\u00f3n, conclusiones y recomendaciones. La secci\u00f3n propuesta de soluci\u00f3n debe presentar:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nEl planteamiento matricial del problema.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nEl polinomio caracter\u00edstico de la matriz.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLos valores propios de la matriz.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLas bases de los espacios propios asociados a cada uno de los valores propios de la matriz.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa matriz D<\/span> diagonal y la matriz C<\/span> que diagonaliza a A<\/span>.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa matriz A<\/span> elevada a la k-\u00e9sima<\/span> potencia.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa tabla de la cantidad de 23-trayectoria<\/span> entre una zona y otra.<\/td>\n<\/tr>\n
blacktriangleright<\/span><\/td>\nLa tabla de la cantidad de 50-trayectoria<\/span> entre una zona y otra.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
El documento debe estar escrito de forma secuencial y con sentido completo. el grupo puede (y probablemente debe) utilizar programas de aplicaci\u00f3n para resolver este problema, los mismos que deben ser descritos; as\u00ed como, detallar su utilizaci\u00f3n en el reporte.<\/p>\n<\/div><\/div>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n<\/div>\n<\/div><\/div><\/div><\/div><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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