Definici\u00f3n.<\/strong> Se denomina base de un espacio vectorial <\/em><\/strong>V<\/span> a un subconjunto finito de vectores \\small{A=\\left\\{v_1,v_2,...,v_n\\right\\}}<\/span>, si y solo si, A<\/span> es linealmente independiente y es un conjunto generador de V<\/span>.<\/pre>\nObservaci\u00f3n.<\/strong> Cada espacio vectorial puede tener diferentes bases, pero todas las bases siempre tendr\u00e1n el mismo n\u00famero de vectores.<\/p>\nEjemplo.<\/strong> Sean \\small{f(x)=x^2+1}<\/span>, \\small{g(x)=3x-1}<\/span> y \\small{h(x)=-4x+1}<\/span>, demuestre que \\small{H=\\left\\{f,g,h\\right\\}}<\/span> es una base para el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos, \\mathcal{P}_2<\/span>.<\/pre>\nSoluci\u00f3n.<\/strong> Primero se prueba el criterio de independencia lineal, por lo que se plantea la siguiente igualdad\\begin{array}{rcl}\\alpha_1 f(x)+\\alpha_2 g(x)+\\alpha_3 h(x) &=& n \\\\ \\alpha_1 f(x)+\\alpha_2 g(x)+\\alpha_3 h(x) &=& 0x^2+0x+0\\\\ \\alpha_1 (x^2+1)+\\alpha_2 (3x-1)+\\alpha_3 (-4x+1) &=& 0x^2+0x+0 \\\\ \\alpha_1 x^2+\\alpha_1 + 3\\alpha_2 x - \\alpha_2 - 4\\alpha_3 x + \\alpha_3 &=& 0x^2+0x+0 \\\\ \\alpha_1 x^2+(3\\alpha_2 - 4\\alpha_3)x+(\\alpha_1 -\\alpha_2+\\alpha_3) &=& 0x^2+0x+0\\end{array}<\/span>Esto implica que\\left\\{ \\begin{array}{rcl}\\alpha_1 &=&0 \\\\ 3\\alpha_2 -4\\alpha_3&=&0 \\\\ \\alpha_1 - \\alpha_2 + \\alpha_3 &=&0 \\end{array}\\right.<\/span>Al resolver el sistema se tiene que \u00e9ste tiene soluci\u00f3n \u00fanica y esta dada por \\alpha_1=\\alpha_2=\\alpha_3=0<\/span>; es decir, la igualdad \\alpha_1 f(x)+\\alpha_2 g(x)+\\alpha_3 h(x)=0<\/span> se cunple solo si \\alpha_1=\\alpha_2=\\alpha_3<\/span>. Por tanto, el conjunto \\small{H=\\left\\{f,g,h\\right\\}}<\/span> es linealmente independiente en \\wp_2<\/span>.<\/p>\nAhora se verifica que el conjunto H<\/span> genere a todo \\wp_2<\/span>. Para esto, se considera p(x)=ax^2 +bx+c<\/span> y escalares \\alpha_1<\/span>, \\alpha_2<\/span> y \\alpha_3<\/span> tales que \\begin{array}{rcl}p(x)&=&\\alpha_1 f(x)+\\alpha_2 g(x)+\\alpha_3 h(x) \\\\ &=&\\alpha_1 x^2+(3\\alpha_2 -4\\alpha_3)x+(\\alpha_1 -\\alpha_2+\\alpha_3) \\end{array}<\/span>Lo cual genera el sistema\\left\\{ \\begin{array}{rcl}\\alpha_1&=&a \\\\ 3\\alpha_2-4\\alpha_3&=&b \\\\\\alpha_1-\\alpha_2+\\alpha_3&=&c \\end{array}\\right.<\/span>Al analizar el sistema, se tiene que siempre tiene soluci\u00f3n pues la matriz adjunta del mismo es (A|B)=\\left(\\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0&a\\\\ 0 & 3 & -4&b\\\\ 1 & -1 & 1&c \\end{array}\\right)<\/span>que en forma escalonada reducida es(A|B)=\\left(\\begin{array}{rrr|c} 1 & 0 & 0&a\\\\ 0 & 3 & -4&4a-b-4c\\\\ 1 & -1 & 1&3a-b-3c \\end{array}\\right)<\/span>Entonces \\rho(A|B)=\\rho(A)=3<\/span>. Luego como el sistema siempre tiene soluci\u00f3n, independientemente de los valores de a<\/span>, b<\/span> y c<\/span> se concluye que el sistema es consistente; adem\u00e1s, su \u00fanica soluci\u00f3n es \\alpha_1=a<\/span>, \\alpha_2=4a-b-4c<\/span> y \\alpha_3=3a-b-3c<\/span>. En consecuencia, cualquier polinomio p(x)=ax^2 +bx+c<\/span> en \\wp_2<\/span> puede ser expresado como combinaci\u00f3n lineal de los polinomios \\small{f(x)=x^2+1}<\/span>, \\small{g(x)=3x-1}<\/span> y \\small{h(x)=-4x+1}<\/span>, es decir, \\small{\\wp_2=gen\\left\\{f,g,h\\right\\}}<\/span>.<\/p>\nPor consiguiente, dado que H<\/span> es linealmente independiente y es un conjunto generador de los polinomios de grado menor o igual a dos, entonces H<\/span> es una base para \\wp_2<\/span>.<\/em><\/p>\n\u00a0<\/p>\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Si el espacio vectorial V<\/span> tiene una base con un n\u00famero finito de elementos, entonces la dimensi\u00f3n de V<\/span> es el n\u00famero de vectores en todas las bases y V<\/span> se denomina espacio vectorial de dimensi\u00f3n finita. De otra manera, V<\/span> se denomina espacio vectorial de dimensi\u00f3n infinita. Si V=\\left \\{ 0_V\\right\\}<\/span> (neutro del espacio), entonces se dice que V<\/span> tiene dimensi\u00f3n cero.<\/pre>\nNotaci\u00f3n.<\/strong> La dimensi\u00f3n V<\/span> se denota por dim\\ V<\/span>.<\/p>\nLa dimensi\u00f3n de algunos espacios vectoriales (sin restricciones) pueden determinarse conforme a la siguientes regla:\\begin{array}{rcl}dim\\ \\mathbb{R^n}&=&n \\\\ dim\\ \\wp_n&=&n+1\\\\ dim\\ \\mathbb{M_{m\\times n}}&=&m\\times n\\end{array}<\/span><\/p>\n
\nEnlaces de inter\u00e9s<\/strong><\/p>\nClase Online<\/a>\nPlataforma SIDWeb<\/a>\nReferencias Bibliogr\u00e1ficas<\/a><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Definici\u00f3n. Se denomina base de un espacio vectorial a un subconjunto finito de vectores , si y solo si, es linealmente independiente y es un conjunto generador de . Observaci\u00f3n. Cada espacio vectorial puede tener diferentes bases, pero todas las bases siempre tendr\u00e1n el mismo n\u00famero de vectores. Ejemplo. Sean , y , demuestre que … Sigue leyendo cl2-06. Bases y Dimensiones<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":609,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414633],"tags":[],"class_list":["post-1246","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-1ra-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1246","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/users\/609"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1246"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1246\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1246"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1246"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1246"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}