{"id":1334,"date":"2017-05-22T13:29:54","date_gmt":"2017-05-22T18:29:54","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=1334"},"modified":"2017-05-22T13:29:54","modified_gmt":"2017-05-22T18:29:54","slug":"cl2-07-operaciones-entre-subespacios","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/cl2-07-operaciones-entre-subespacios\/","title":{"rendered":"cl2-07. Operaciones entre Subespacios"},"content":{"rendered":"
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Definici\u00f3n.<\/strong> Sean H<\/span> y W<\/span> subespacios vectoriales de un espacio vectorial V<\/span>. Se definen las siguientes operaciones entre subespacios:\n\\small{\\begin{array}{lrcl}\n{Intersecci\\acute{o}n}:& H \\cap W &=& \\left\\{ v\\in V\/v\\in H \\wedge v\\in W\\right\\}\\\\\n{Uni\\acute{o}n}:& H \\cup W &=& \\left\\{ v\\in V\/v\\in H \\vee v\\in W\\right\\}\\\\\n{Suma}:& H+W &=& \\left\\{ v=h\\oplus w \\in V\/ h\\in H \\wedge w\\in W\\right\\}\n\\end{array}}<\/span><\/pre>\n
Teorema.<\/strong> Sean H<\/span> y W<\/span> subespacios vectoriales de un espacio vectorial V<\/span>. Entonces H \\cap W<\/span> y H + W<\/span> tambi\u00e9n son subespacios vectoriales de V<\/span>.<\/pre>\n
Observaci\u00f3n.<\/strong>\u00a0La operaci\u00f3n de uni\u00f3n entre subespacios vectoriales de V<\/span>\u00a0no\u00a0necesariamente<\/em> va a dar como resultado otro subespacio vectorial de V<\/span>, a menos que uno este contenido en el otro.<\/p>\n
Ejemplo.<\/strong> Determine si la uni\u00f3n entre los siguientes subespacios vectoriales de V<\/span> es otro subespacio de V<\/span>.\\small{\\begin{array}{rcl}\nH &=& \\left\\{ (x,y)\\in \\mathbb{R^{2}} \/ y=x\\right\\}\\\\\nW &=& \\left\\{ (x,y)\\in \\mathbb{R^{2}} \/ y=-x\\right\\}\n\\end{array}}<\/span><\/pre>\n
Soluci\u00f3n.<\/strong> (contraejemplo) \\begin{array}{rcl} H\\cup W &=& \\left\\{ (x,y)\\in \\mathbb{R^{2}}\/(x,y) \\in H \\vee (x,y)\\in W\\right\\} \\end{array}<\/span><\/p>\n
Si \\forall\\ (x,y),(p,q)\\in H\\cup W : (x,y)\\oplus(p,q)\\in H\\cup W<\/span> por el axioma de cerradura bajo la suma, se tiene que\\begin{array}{rcl} (x,y)\\in H\\cup W &\\Longrightarrow & (x,y)\\in H \\vee (x,y)\\in W \\\\ (p,q)\\in H\\cup W &\\Longrightarrow & (p,q)\\in H \\vee (p,q)\\in W \\end{array}<\/span>de donde\\begin{array}{rcl} (x,y),(p,q)\\in H &\\Longrightarrow & (x,y)\\oplus(p,q)\\in H \\\\ (x,y),(p,q)\\in W &\\Longrightarrow &(x,y)\\oplus(p,q)\\in W \\end{array}<\/span> es decir, \\begin{array}{rcl} (x,y)\\oplus(p,q)\\in H\\cup W \\end{array}<\/span>; sin embargo, si (1,1),(1,-1)\\in H\\cup W<\/span> entonces (1,1)\\oplus(1,-1)=(2,0)\\notin H\\cup W<\/span>.<\/p>\n
Por consiguiente, H\\cup W<\/span> no es un subespacio vectorial de V<\/span>.<\/em><\/p>\n
\u00a0<\/p>\n
Teorema.<\/strong> Sean H<\/span> y W<\/span> subespacios vectoriales de un espacio vectorial V<\/span>. Entonces H \\cup W<\/span> es un subespacio vectorial de V<\/span> si y solo si H\\subseteq W<\/span> o W\\subseteq H<\/span>.<\/pre>\n
Teorema.<\/strong> Sean H<\/span> y W<\/span> subespacios vectoriales de un espacio vectorial V<\/span> donde H=gen\\left\\{P\\right\\}<\/span> y W=gen\\left\\{Q\\right\\}<\/span>. Entonces H+W=gen\\left\\{P\\cup Q\\right\\}<\/span>.<\/pre>\n
Teorema.<\/strong> Sean H<\/span> y W<\/span> subespacios vectoriales de un espacio vectorial V<\/span> de dimensi\u00f3n finita. Entoncesdim(H+W)=dim(H)+dim(W)-dim(H\\cap W)<\/span><\/pre>\n
\u00a0<\/p>\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Sean H<\/span> y W<\/span> subespacios vectoriales de un espacio vectorial V<\/span>. La suma H+W<\/span> se denomina suma directa<\/strong> de H<\/span> y W<\/span>, denotada como H\\oplus W<\/span>, si cada vector en el espacio H+W<\/span> tiene una \u00fanica representaci\u00f3n como la suma de un vector en H<\/span> y un vector en W<\/span>.<\/pre>\n
Teorema.<\/strong> Sean H<\/span> y W<\/span> subespacios vectoriales de un espacio vectorial V<\/span>. Entonces H+W=H\\oplus W<\/span> si y solo si H\\cap W=\\left\\{0_V\\right\\}<\/span>.<\/pre>\n
\u00a0<\/p>\n
Ejemplo.<\/strong> Sean H<\/span> y W<\/span> subespacios de \\mathbb{R^3}<\/span> dado por\\begin{array}{rcl}H&=&gen\\left\\{(-1,1,3)\\right\\} \\\\ W&=&\\left\\{(x,y,z)\/2x-y+3z=0\\right\\}\\end{array}<\/span> Determine
\na)<\/span> El subespacio de la intersecci\u00f3n entre H<\/span> y W<\/span>.\nb)<\/span> Muestre que H\\cup W<\/span> no es un subespacio de \\mathbb{R^3}<\/span>.\nc)<\/span> Que P=\\left\\{p\\in \\mathbb{R^3} \/ p=h+w\\ {;}\\ h\\in H\\ y\\ w\\in W\\right\\}<\/span> es \\mathbb{R^3}<\/span>.\n<\/pre>\n
Soluci\u00f3n.<\/strong><\/p>\n
Literal a.<\/strong> Sean \\scriptsize{H=\\left\\{ \\left(\\begin{array}{r}-a\\\\a\\\\3a \\end{array}\\right) {\/}\\ \\forall\\ a\\in \\mathbb{R} \\right\\}}<\/span> y \\scriptsize{W=\\left\\{ \\left(\\begin{array}{r}x\\\\2x+3z\\\\z \\end{array}\\right) {\/}\\ \\forall\\ x,z\\in \\mathbb{R} \\right\\}}<\/span> entoncesH\\cap W \\Longrightarrow \\left(\\begin{array}{r} -a\\\\a\\\\3a \\end{array} \\right) = \\left(\\begin{array}{r}x\\\\2x+3z\\\\z \\end{array}\\right) \\Longrightarrow a=x=z=0<\/span>Por consiguiente<\/em>, \\scriptsize{H\\cap W=\\left\\{ \\left(\\begin{array}{r} 0\\\\0\\\\0 \\end{array}\\right) \\right\\}}<\/span>, neutro del espacio vectorial en \\mathbb{R^3}<\/span>.<\/p>\n
Literal b.<\/strong> Si H\\cup W<\/span> es subespacio de \\mathbb{R^3}<\/span>, entonces debe cumplir con los dos axiomas de cerradura; adem\u00e1s, la uni\u00f3n de dos subespacios se denota tambi\u00e9n como la suma de estos, es decirH\\cup W = \\left(\\begin{array}{r} -a\\\\a\\\\3a \\end{array} \\right) \\oplus \\left(\\begin{array}{r}x\\\\2x+3z\\\\z \\end{array}\\right)<\/span> de dondeH\\cup W=\\left\\{ \\left(\\begin{array}{r}x-a\\\\a+2x+3z\\\\3a+z \\end{array}\\right) {\/}\\ x,z,a\\in \\mathbb{R} \\right\\}<\/span>Entonces, \\forall\\ h,w \\in U\\ :\\ h\\oplus w \\in U<\/span>. Si U<\/span> es H\\cup W<\/span> se tiene que el vector suma que pertenece a U<\/span> debe pertenecer a H<\/span> o W<\/span>, de donde\\scriptsize{\\left(\\begin{array}{r} x_1 - a_1 \\\\a_1 + 2x_1 + 3z_1 \\\\3a_1 + z_1\\end{array} \\right) \\oplus \\left(\\begin{array}{r}x_2 - a_2 \\\\a_2 + 2x_2 + 3z_2\\\\3a_2 + z_2 \\end{array}\\right) = \\left(\\begin{array}{r} (x_1 - a_1) + (x_2 - a_2) \\\\ (a_1+a_2) + 2(x_1+x_2) + 3(z_1 + z_2)\\\\3(a_1+a_2) + (z_1+z_2) \\end{array}\\right) }<\/span>N\u00f3tese que el vector suma no pertenece<\/em> ni a H<\/span> ni a W<\/span>.<\/p>\n
Por consiguiente<\/em>, es este caso, la uni\u00f3n de estos subespacios no constituye<\/em> un subespacio vectorial de \\mathbb{R^3}<\/span>.<\/p>\n
Literal c.<\/strong> Si P=\\mathbb{R^3}<\/span> (lo que se debe demostrar), entonces cualquier vector de \\mathbb{R^3}<\/span> pertenece P<\/span>; es decir, que todo vector de \\mathbb{R^3}<\/span> puede ser expresado en funci\u00f3n de los vectores de P<\/span>.<\/p>\n
Si p=h+w<\/span>,  h=\\small{\\left(\\begin{array}{r} -a\\\\a\\\\3a \\end{array} \\right)}<\/span> y w=\\small{\\left(\\begin{array}{r}x\\\\2x+3z\\\\z \\end{array}\\right)} <\/span> entoncesh+w=\\left(\\begin{array}{r} -a\\\\a\\\\3a \\end{array} \\right) + \\left(\\begin{array}{r}x\\\\2x+3z\\\\z \\end{array}\\right) = \\left(\\begin{array}{r}x-a\\\\2x+3z+a\\\\z+3a \\end{array}\\right)<\/span>y, por lo tanto, cualquier vector de \\mathbb{R^3}<\/span> puede ser expresado como una combinaci\u00f3n lineal, tal que\\small{x \\left(\\begin{array}{r} 1 \\\\ 2 \\\\ 0 \\end{array}\\right) + z \\left(\\begin{array}{r} 0 \\\\ 3 \\\\ 1 \\end{array}\\right) + a \\left(\\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \\\\ 3 \\end{array}\\right) \\quad {,} \\quad \\left\\{\\left(\\begin{array}{r} 1 \\\\ 2 \\\\ 0 \\end{array}\\right) , \\left(\\begin{array}{r} 0 \\\\ 3 \\\\ 1 \\end{array}\\right) , \\left(\\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \\\\ 3 \\end{array}\\right) \\right\\}}<\/span>A continuaci\u00f3n, se toma un vector t\u00edpico de \\mathbb{R^3}<\/span> para verificar que puede (el  vector t\u00edpico) ser expresado en funci\u00f3n de \u00e9stos tres vectores, as\u00ed se tiene que \\alpha_1 \\left(\\begin{array}{r} 1 \\\\ 2 \\\\ 0 \\end{array}\\right) + \\alpha_2 \\left(\\begin{array}{r} 0 \\\\ 3 \\\\ 1 \\end{array}\\right) + \\alpha_3 \\left(\\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \\\\ 3 \\end{array}\\right) = \\left(\\begin{array}{r} i \\\\ j \\\\ k \\end{array}\\right)<\/span>Al resolver el sistema de ecuaciones lineales asociado se obtiene que\\alpha_1=\\frac{9i+k-j}{9} \\quad{,}\\quad \\alpha_2=\\frac{j-2k}{3} \\quad{,}\\quad \\alpha_3=\\frac{k-j}{9}<\/span>Por consiguiente<\/em>, cualquier vector de \\mathbb{R^3}<\/span> pertenece a P<\/span> y P=\\mathbb{R^3}<\/span>.<\/p>\n
\n
Enlaces de inter\u00e9s<\/strong><\/p>\n
Clase Online<\/a>\nPlataforma SIDWeb<\/a>\nReferencias Bibliogr\u00e1ficas<\/a><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Definici\u00f3n. Sean y subespacios vectoriales de un espacio vectorial . Se definen las siguientes operaciones entre subespacios: Teorema. Sean y subespacios vectoriales de un espacio vectorial . Entonces y tambi\u00e9n son subespacios vectoriales de . Observaci\u00f3n.\u00a0La operaci\u00f3n de uni\u00f3n entre subespacios vectoriales de \u00a0no\u00a0necesariamente va a dar como resultado otro subespacio vectorial de , a … Sigue leyendo cl2-07. Operaciones entre Subespacios<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":609,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414633],"tags":[],"class_list":["post-1334","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-1ra-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1334","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/users\/609"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1334"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1334\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1334"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1334"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1334"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}