{"id":2253,"date":"2017-07-16T19:02:45","date_gmt":"2017-07-17T00:02:45","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=2253"},"modified":"2020-03-18T18:06:25","modified_gmt":"2020-03-18T23:06:25","slug":"cl3-03-nucleo-e-imagen-de-una-transformacion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/cl3-03-nucleo-e-imagen-de-una-transformacion\/","title":{"rendered":"cl3-03. N\u00facleo e Imagen de una Transformaci\u00f3n"},"content":{"rendered":"

<\/code><\/p>\n

\n

N\u00facleo y Nulidad de una Transformaci\u00f3n.<\/strong><\/p>\n

Definici\u00f3n.<\/strong> Sea T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span> una transformaci\u00f3n lineal, se define el N\u00facleo de T al conjunto de todos los elementos de V cuya transformada es el neutro de W: \n\nNu(T)=\\left\\{ v\\in V\/T(v)={{0}_{w}} \\right\\}<\/span>\n\nAlgunos autores utilizan el t\u00e9rmino Kernel en lugar de N\u00facleo, Ker(T)<\/span>.\n<\/pre>\n
 Sea T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span> una transformaci\u00f3n lineal, el N\u00facleo de T es un subespacio de V\n<\/pre>\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Sea T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span> una transformaci\u00f3n lineal, se define la nulidad de T a la dimensi\u00f3n del respectivo N\u00facleo: \n\n\\upsilon (T)=\\dim(Nu(T))<\/span>\n\nPor lo tanto, 0\\le \\upsilon (T)\\le \\dim(V)<\/span>\n<\/pre>\n
\n
Imagen y Rango de una Transformaci\u00f3n.<\/strong><\/p>\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Sea T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span> una transformaci\u00f3n lineal, se define Imagen de T al conjunto de todos los elementos de W que son la transformada de alg\u00fan vector en el espacio de partida: \n\n{Im}(T)=\\left\\{ w\\in W\/\\text{ }\\exists v\\in V\\text{ }tal\\text{ }que\\text{ }w=T(v) \\right\\}<\/span>\n\nAlgunos autores utilizan el t\u00e9rmino Recorrido en lugar de Imagen, Rec(T)<\/span>.\n<\/pre>\n
 Sea T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span> una transformaci\u00f3n lineal, la Imagen de T es un subespacio de W\n<\/pre>\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Sea T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span> una transformaci\u00f3n lineal, se define rango de T a la dimensi\u00f3n de la respectiva Imagen: \n\n\\rho (T)=\\dim({Im}(T))<\/span>\n\nPor lo tanto, 0\\le \\rho (T)\\le \\dim(W)<\/span>\n<\/pre>\n
\n
Teorema de la Dimensi\u00f3n<\/strong><\/p>\n
Sea T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span> una transformaci\u00f3n lineal, se cumple que: \n\n\\upsilon(T) + \\rho(T)=\\dim(V)<\/span>\n<\/pre>\n
\n
Relaci\u00f3n con la inyectividad y la sobreyectividad de una transformaci\u00f3n<\/strong><\/p>\n
Teorema.<\/strong> Sea T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span> una transformaci\u00f3n lineal, T es inyectiva si y solo si:\n \\upsilon(T) = 0<\/span>\n<\/pre>\n
Teorema.<\/strong> Sea T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span> una transformaci\u00f3n lineal, T es sobreyectiva si y solo si:\n \\rho(T) = \\dim(W)<\/span>\n<\/pre>\n
Teorema.<\/strong> Sean V y W dos espacios vectoriales, se dice que son isomorfos si y solo si \\dim(V) = \\dim(W)<\/span>.\n<\/pre>\n
\n
Ejemplo<\/strong> Sea T:{{P}_{2}}\\to {{R}^{4}}<\/span> una transformaci\u00f3n lineal tal que: \nT(a{{x}^{2}}+bx+c)=(a+b,b+c,a-c,a+2b+c)<\/span>, \ndetermine {Nu}(T)<\/span> e {Im}(T)<\/span>.\n<\/pre>\n
Soluci\u00f3n<\/strong><\/p>\n
Imagen.- Seg\u00fan la definici\u00f3n, se debe hallar todos los vectores w\\in {{R}^{4}}<\/span> tales que T(v)=w<\/span> para alg\u00fan v \\in {P}_{2}<\/span>. Sea
\nv=a{{x}^{2}}+bx+c\\in {{P}_{2}}<\/span> y sea w=({{w}_{1}},{{w}_{2}},{{w}_{3}},{{w}_{4}})<\/span>, entonces se tiene que:<\/p>\n
T(v)=(a+b,b+c,a-c,a+2b+c)=({{w}_{1}},{{w}_{2}},{{w}_{3}},{{w}_{4}})<\/span>,<\/p>\n
lo que implica resolver el siguiente sistema:<\/p>\n
\\left\\{ \\begin{array}{rcl} a+b={{w}_{1}} \\\\ b+c={{w}_{2}} \\\\ a-c={{w}_{3}} \\\\ a+2b+c={{w}_{4}} \\end{array} \\right. <\/span>,<\/p>\n
\\left( \\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & {{w}_{1}} \\\\ 0 & 1 & 1 & {{w}_{2}} \\\\ 1 & 0 & -1 & {{w}_{3}} \\\\ 1 & 2 & 1 & {{w}_{4}} \\end{array} \\right)\\sim ...\\left( \\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & {{w}_{1}} \\\\ 0 & 1 & 1 & {{w}_{2}} \\\\ 0 & 0 & 0 & {{w}_{3}}+{{w}_{2}}-{{w}_{1}} \\\\ 0 & 0 & 0 & {{w}_{4}}-{{w}_{2}}-{{w}_{1}} \\end{array}\\right) <\/span>.<\/p>\n
Las condiciones para que el sistema sea consistente se vuelven las condiciones de la imagen de T:<\/p>\n
{Im}(T)=\\left\\{ {({{w}_{1}},{{w}_{2}},{{w}_{3}},{{w}_{4}})\\in {{R}^{4}}}\/{\\begin{array}{r} & {{w}_{3}}+{{w}_{2}}-{{w}_{1}}=0 \\\\ & \\wedge \\text{  }{{w}_{4}}-{{w}_{2}}-{{w}_{1}}=0 \\end{array}}\\; \\right\\}<\/span>.<\/p>\n
N\u00facleo.- Seg\u00fan la definici\u00f3n, se debe hallar todos los vectores v\\in {{P}_{2}}<\/span> tales que T(v)={0}_{w}<\/span>, entonces se tiene que:<\/p>\n
T(v)=(a+b,b+c,a-c,a+2b+c)=(0,0,0,0)<\/span>,<\/p>\n
lo que implica resolver el siguiente sistema:<\/p>\n
\\left\\{ \\begin{array}{rcl} a+b={0} \\\\ b+c={0} \\\\ a-c={0} \\\\ a+2b+c={0} \\end{array} \\right. <\/span>,<\/p>\n
\\left( \\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end{array} \\right)<\/span>.<\/p>\n
A partir de lo cual, podemos describir el n\u00facleo de T:<\/p>\nNu(T)=\\left\\{ {a{{x}^{2}}+bx+c\\in {{P}_{2}}}\/{\\begin{array}{r} & a+b=0 \\\\ & \\wedge \\text{  }b+c=0 \\end{array}}\\; \\right\\}<\/span>\n<\/span>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
N\u00facleo y Nulidad de una Transformaci\u00f3n. Definici\u00f3n. Sea una transformaci\u00f3n lineal, se define el N\u00facleo de T al conjunto de todos los elementos de V cuya transformada es el neutro de W: Algunos autores utilizan el t\u00e9rmino Kernel en lugar de N\u00facleo, . Sea una transformaci\u00f3n lineal, el N\u00facleo de T es un subespacio de … Sigue leyendo cl3-03. N\u00facleo e Imagen de una Transformaci\u00f3n<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":9991,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414634],"tags":[],"class_list":["post-2253","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-2da-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2253","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/users\/9991"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2253"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2253\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7912,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2253\/revisions\/7912"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2253"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2253"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2253"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}