{"id":2273,"date":"2017-07-17T00:54:09","date_gmt":"2017-07-17T05:54:09","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=2273"},"modified":"2020-03-18T18:06:25","modified_gmt":"2020-03-18T23:06:25","slug":"cl3-04-matriz-asociada-a-un-transformacion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/cl3-04-matriz-asociada-a-un-transformacion\/","title":{"rendered":"cl3-04. Matriz asociada a un transformaci\u00f3n"},"content":{"rendered":"

<\/code><\/p>\n

\n
Teorema.<\/strong> Sean V<\/span> y W<\/span> dos espacios vectoriales de dimensi\u00f3n n<\/span> y m<\/span>, respectivamente. Sean {B}_{1}<\/span> y {B}_{2}<\/span> sus respectivas bases. Sea T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span> una transformaci\u00f3n lineal; entonces existe una \u00fanica matriz {A}_{T}<\/span> de m\\times n<\/span> tal que: \n\n{{[T(v)]}_{B2}}={{A}_{T}}.{{[v]}_{B1}}<\/span>\n\nLa matriz {A}_{T}<\/span> se denomina matriz de transformaci\u00f3n correspondiente a T o representaci\u00f3n matricial de T, con respecto a las bases {B}_{1}<\/span> y {B}_{2}<\/span>. Se suele representar tambi\u00e9n como {{A}_{{{T}_{B1B2}}}}<\/span> para indicar que tal matriz utiliza trabaja exclusivamente con coordenadas respecto a las bases {B}_{1}<\/span> y {B}_{2}<\/span> en los espacios de partida y de llegada.\n<\/pre>\n
\n
Construcci\u00f3n de una matriz de transformaci\u00f3n.<\/strong> Sean {B}_{1}<\/span> y {B}_{2}<\/span> dos bases respectivas de los espacios V<\/span> y W<\/span>, tales que {{B}_{1}}=\\left\\{ {{v}_{1}},{{v}_{2}},\\cdots {{v}_{n}} \\right\\}<\/span> y {{B}_{2}}=\\left\\{ {{w}_{1}},{{w}_{2}},\\cdots {{w}_{n}} \\right\\}<\/span>. \n\nSi T{:}\\ V\\rightarrow W<\/span> es una transformaci\u00f3n lineal, entonces el procedimiento para calcular la matriz {{A}_{{{T}_{B1B2}}}}<\/span> es el siguiente:\n\n1.- Calcular T({v}_{i})<\/span>, para i=1,2,...n <\/span>\n2.- Determinar el vector de coordenadas de T({v}_{i})<\/span> respecto a la base B2, {{[T({v}_{i})]}_{B2}}<\/span>.\n3.- Construir la matriz {{A}_{{{T}_{B1B2}}}}<\/span> eligiendo a {{[T({v}_{i})]}_{B2}}<\/span> como la {i}-<\/span>\u00e9sima columna de {A}_{T}<\/span>.\n\n\n{{A}_{{{T}_{B1B2}}}} = \\left[ \\begin{array}{rrrr} \\uparrow  & \\uparrow  & {} & \\uparrow \\\\ {{[T({{v}_{1}})]}_{B2}} & {{[T({{v}_{2}})]}_{B2}} & \\cdots  & {{[T({{v}_{n}})]}_{B2}} \\\\ \\downarrow  & \\downarrow  & {} & \\downarrow \\end{array} \\right]<\/span>\n<\/pre>\n
\n
Utilizaci\u00f3n de la matriz de transformaci\u00f3n.<\/strong> \nSi {{[v]}_{B1}}<\/span> son las coordenadas de v \\in V<\/span>, entonces se puede calcular {{[T(v)]}_{B2}}<\/span> mediante la expresi\u00f3n:\n\n{{[T(v)]}_{B2}}={{A}_{T}}.{{[v]}_{B1}}<\/span>, \\forall v\\in V<\/span>.\n<\/pre>\n
\n
Ejemplo<\/strong> \nSea B=\\left\\{ {{e}^{x}},{{e}^{-x}},x{{e}^{x}},{{x}^{2}}{{e}^{x}} \\right\\}<\/span> una base de V=gen(B)<\/span>, T:V\\to V<\/span> una transformaci\u00f3n lineal tal que T(f)=f'(x)<\/span>, determine {{A}_{{{T}_{B}}}}<\/span>.\n<\/pre>\n
Soluci\u00f3n<\/strong> <\/p>\n
1.- Transformar cada vector de la base del espacio de partida, B:<\/p>\n
T({{e}^{x}})={{e}^{x}}<\/span>
\nT({{e}^{-x}})=-{{e}^{-x}}<\/span>
\nT(x{{e}^{x}})={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}<\/span>
\nT({{x}^{2}}{{e}^{x}})=2x{{e}^{x}}+{{x}^{2}}{{e}^{x}}<\/span><\/p>\n
2.- Determinar las coordenadas de tales transformadas, respecto a la base del espacio de llegada, en este caso la misma base B para el mismo espacio V:<\/p>\n
{{\\left[ T({{e}^{x}}) \\right]}_{B}}={{\\left[ {{e}^{x}} \\right]}_{B}}=(1,0,0,0)<\/span>
\n{{\\left[ T({{e}^{-x}}) \\right]}_{B}}={{\\left[ -{{e}^{-x}} \\right]}_{B}}=(0,-1,0,0)<\/span>
\n{{\\left[ T(x{{e}^{x}}) \\right]}_{B}}={{\\left[ {{e}^{x}}+x{{e}^{x}} \\right]}_{B}}=(1,0,1,0)<\/span>
\n{{\\left[ T({{x}^{2}}{{e}^{x}}) \\right]}_{B}}={{\\left[ 2x{{e}^{x}}+{{x}^{2}}{{e}^{x}} \\right]}_{B}}=(0,0,2,1)<\/span><\/p>\n
3.- Construir la matriz con las coordenadas halladas:<\/p>\n
{{A}_{{{T}_{B}}}}=\\left[ \\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{array} \\right]<\/span>.<\/p>\n
Ejemplo<\/strong> \nUtilice la matriz del ejemplo anterior para calcular T({Cosh}(x))<\/span>\n<\/pre>\n
Soluci\u00f3n<\/strong> <\/p>\n
Aunque se puede calcular mediante la regla de correspondencia que T({Cosh}(x))=Senh(x)<\/span>, se requiere en el ejercicio utilizar la matriz de transformaci\u00f3n. La matriz de transformaci\u00f3n opera entre coordenadas, as\u00ed se necesita hallar {{\\left[ {Cosh}(x) \\right]}_{B}}<\/span>:<\/p>\n
Dado que {Cosh}(x)=\\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2}<\/span>, entonces vector de coordenadas es {{\\left[ {Cosh}(x) \\right]}_{B}}=(1\/2,1\/2,0,0)<\/span><\/p>\n
Luego, se tiene que {{[T(v)]}_{B}}={{A}_{{{T}_{B}}}}{{[v]}_{B}}<\/span>, es decir:<\/p>\n{{[T({Cosh}(x))]}_{B}}=\\left[ \\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{array} \\right]\\left( \\begin{array}{r} 1\/2 \\\\ 1\/2 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{array} \\right)=\\left( \\begin{array}{r} 1\/2 \\\\ -1\/2 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{array} \\right)<\/span>\n
Lo que significa que:
\nT({Cosh}(x))=\\frac{1}{2}{{e}^{x}}-\\frac{1}{2}{{e}^{-x}}+0x{{e}^{x}}+0{{x}^{2}}{{e}^{x}}<\/span>
\nEs decir:
\nT({Cosh}(x))=\\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}=Senh(x)<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Teorema. Sean y dos espacios vectoriales de dimensi\u00f3n y , respectivamente. Sean y sus respectivas bases. Sea una transformaci\u00f3n lineal; entonces existe una \u00fanica matriz de tal que: La matriz se denomina matriz de transformaci\u00f3n correspondiente a T o representaci\u00f3n matricial de T, con respecto a las bases y . Se suele representar tambi\u00e9n como … Sigue leyendo cl3-04. Matriz asociada a un transformaci\u00f3n<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":9991,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414634],"tags":[],"class_list":["post-2273","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-2da-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2273","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/users\/9991"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2273"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2273\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7913,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2273\/revisions\/7913"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2273"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2273"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2273"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}