{"id":2395,"date":"2017-08-13T12:37:25","date_gmt":"2017-08-13T17:37:25","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=2395"},"modified":"2020-03-18T18:06:26","modified_gmt":"2020-03-18T23:06:26","slug":"cl5-01-valores-y-vectores-caracteristicos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/cl5-01-valores-y-vectores-caracteristicos\/","title":{"rendered":"cl5-01. Valores y vectores caracter\u00edsticos"},"content":{"rendered":"

<\/code><\/p>\n

\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Sea (V,\\oplus ,\\odot )<\/span> un espacio vectorial no trivial. Sea T:V\\to V<\/span>; sea v \\in V<\/span>. Se dice que v<\/span> es un vector caracter\u00edstico de T<\/span> si y solo si:\ni)  v\\ne {{\\mathbf{0}}_{V}}<\/span>\nii) T(v)=\\lambda \\odot v<\/span>\nDonde se denomina a \\lambda<\/span> como el valor propio de la transformaci\u00f3n.\n\nSon sin\u00f3nimos: vector propio, vector caracter\u00edstico, eigenvector o autovector. As\u00ed tambi\u00e9n las siguientes expresiones son equivalentes: valor propio, valor caracter\u00edstico, eigenvalor o autovalor.\n<\/pre>\n
\n
Ejemplo.<\/strong> Sea V=C_{[a,b]}^{k}<\/span>, y sea el operador lineal T:V\\to V<\/span>, tal que T[f(x)] = f'(x)<\/span>. Halle ejemplos de valores y vectores propios de T<\/pre>\n
Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n
Se conoce que una funci\u00f3n que es igual a su derivada es f(x)={{e}^{x}}<\/span>, cuya transformada se ajusta a la deficini\u00f3n T(v)=\\lambda \\odot v<\/span>, con \\lambda =1<\/span>.<\/p>\n
Se puede verificar que T[{{e}^{2x}}]=2{{e}^{2x}}<\/span>, por lo cual {e}^{2x}<\/span> es un eigenvector, cuyo eigenvalor es \\lambda =2<\/span>.<\/p>\n
En modo general, f(x)={{e}^{ax}}<\/span> es un vector propio de la transformaci\u00f3n dada, con \\lambda =a<\/span>, pues T[{{e}^{ax}}]=a{{e}^{ax}}<\/span>.<\/p>\n
Otro ejemplo ser\u00edan ciertas funciones constantes. Por ejemplo f(x)=5<\/span>, cuya transformada es un m\u00faltiplo del vector: T[5]=0<\/span>.<\/p>\n
N\u00f3tese que el valor propio s\u00ed puede ser cero, pero el vector propio no puede ser el neutro. En modo general, funciones constantes f(x)=k\\ne 0<\/span>, son vectores propios con \\lambda =0<\/span>, pues T[k]=\\lambda k=0<\/span>.<\/p>\n
\n
M\u00e9todo general para hallar vectores y valores propios de un operador lineal T<\/strong><\/p>\n
Para hallar los valores y vectores caracter\u00edsticos de una transformaci\u00f3n se hace uso de su representaci\u00f3n matricial. En este caso, si {{A}_{T}}<\/span> es la matriz que representa a T<\/span> respecto a una base B<\/span>, se busca que:<\/p>\n
{{A}_{T}}{{[v]}_{B}}=\\lambda {{[v]}_{B}}<\/span>.<\/p>\n
A condici\u00f3n que v\\ne {{\\mathbf{0}}_{V}}<\/span>. Por facilidad de escritura, se expresa la ecuaci\u00f3n como {{A}_{T}}\\mathbf{v}=\\lambda \\mathbf{v}<\/span>. Pasando todos los t\u00e9rminos al lado izquierdo:<\/p>\n \\mathbf{Av}-\\lambda \\mathbf{v}=\\mathbf{0}<\/span>\n
Para poder factorizar el factor com\u00fan \\mathbf{v}<\/span>, es necesario multiplicar la matriz Identidad para aplicar las propiedades de la multiplicaci\u00f3n matricial:<\/p>\n \\mathbf{Av}-\\lambda \\mathbf{Iv}=\\mathbf{0}<\/span>\n
Luego se factoriza, resultando el siguiente sistema homog\u00e9neo:<\/p>\n (\\mathbf{A}-\\lambda \\mathbf{I})\\mathbf{v}=\\mathbf{0}<\/span>\n
Este sistema siempre tiene por lo menos la soluci\u00f3n trivial, pero dado que la definici\u00f3n requiere que el vector v sea distinto del vector neutro, un modo de garantizar esto es lograr que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema sea cero:<\/p>\n\\det (\\mathbf{A}-\\lambda \\mathbf{I})=0<\/span>\n
La soluci\u00f3n a esta \u00faltima ecuaci\u00f3n son los valores caracter\u00edsticos \\lambda<\/span>, de la matriz de transformaci\u00f3n, que son iguales a los valores caracter\u00edsticos de la transformaci\u00f3n. Existen hasta n valores propios, {{\\lambda }_{1}},{{\\lambda }_{2}}...{{\\lambda }_{n}}<\/span>, entre soluciones reales distintas, reales repetidas y complejas conjugadas, de la \u00faltima ecuaci\u00f3n.<\/p>\n
Una vez hallados los valores propios que garantizan que el sistema homog\u00e9neo tenga (infinitas) soluciones no triviales, se los reemplaza en el sistema para obtener el espacio soluci\u00f3n, que equivale a hallar el n\u00facleo Nu(\\mathbf{A}-\\lambda \\mathbf{I})<\/span>. En el n\u00facleo, todos los vectores excepto el neutro son caracter\u00edsticos, pero para simplificar la respuesta, se eligen como vectores caracter\u00edsticos de la matriz a los vectores del conjunto base de Nu(\\mathbf{A}-\\lambda \\mathbf{I})<\/span>.<\/p>\n
Finalmente, se debe recordar que los vectores propios de la matriz son en realidad las coordenadas, con respecto a la base B, de los vectores propios de la transformaci\u00f3n, \\mathbf{v}={{[v]}_{B}}<\/span>, con lo cual se puede obtener los vectores no nulos de V<\/span> que cumplen con T(v)=\\lambda \\odot v<\/span>.<\/p>\n
\n
Enlaces de inter\u00e9s<\/strong><\/p>\n
Clase Online<\/a>\nSocrative Student<\/a>\nPlataforma SIDWeb<\/a>\nReferencias Bibliogr\u00e1ficas<\/a><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Definici\u00f3n. Sea un espacio vectorial no trivial. Sea ; sea . Se dice que es un vector caracter\u00edstico de si y solo si: i) ii) Donde se denomina a como el valor propio de la transformaci\u00f3n. Son sin\u00f3nimos: vector propio, vector caracter\u00edstico, eigenvector o autovector. As\u00ed tambi\u00e9n las siguientes expresiones son equivalentes: valor propio, valor … Sigue leyendo cl5-01. Valores y vectores caracter\u00edsticos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":9991,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1414634],"tags":[],"class_list":["post-2395","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-temas-2da-evaluacion"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2395","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/users\/9991"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2395"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2395\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7917,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2395\/revisions\/7917"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2395"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2395"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2395"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}