{"id":6090,"date":"2019-02-01T11:21:32","date_gmt":"2019-02-01T16:21:32","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=6090"},"modified":"2019-02-01T11:21:32","modified_gmt":"2019-02-01T16:21:32","slug":"2018-2019-termino-2-e2-tema-5","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/2018-2019-termino-2-e2-tema-5\/","title":{"rendered":"Tema 5"},"content":{"rendered":"
\r\n
\r\n Examen | 2018-2019 | T\u00e9rmino 2 | Segunda Evaluaci\u00f3n | Tema 5\r\n <\/div>\r\n <\/div>\n
\n

Considere el siguiente teorema: Si V<\/span> y U<\/span> son dos espacios vectoriales sobre un campo \\mathbb{K}<\/span>, V<\/span> de dimensi\u00f3n finita y L:V\\longrightarrow U<\/span> una transformaci\u00f3n lineal, entoncesRango\\,(L)+Nulidad\\,(L)=dim\\,(V)<\/span>
\nA continuaci\u00f3n, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostraci\u00f3n de este teorema para el caso en que k=Nulidad\\,(L)<dim\\,(V)=n<\/span>. En cada c\u00edrculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostraci\u00f3n sea expresada de manera correcta.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
\\bigcirc<\/span><\/td>\nSi u\\in Im\\,(L)<\/span>, entonces existe un vector v\\in V<\/span> tal que L(v)=u<\/span> y v=\\alpha_1 v_1+\\alpha_2 v_2+...+\\alpha_n v_n<\/span> con \\alpha_1,\\alpha_2,...,\\alpha_n \\in \\mathbb{K}<\/span>.<\/td>\n<\/tr>\n
\\bigcirc<\/span><\/td>\nSe obtiene entonces que
\n{Rango\\,(L)+Nulidad\\,(L)=(n-k)+k=n=dim\\,(V)}<\/span>.<\/td>\n<\/tr>\n
\\bigcirc<\/span><\/td>\nSea B_1=\\{v_1,v_2,...,v_k\\}<\/span> una base para el Ker\\,(L)<\/span>.<\/td>\n<\/tr>\n
\\bigcirc<\/span><\/td>\nT<\/span> debe ser inyectiva.<\/td>\n<\/tr>\n
\\bigcirc<\/span><\/td>\nExisten entonces c_1,c_2,...,c_k\\in \\mathbb{K}<\/span> tales que \\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\\gamma_{n}v_{n}=c_1 v_1+c_2 v_2 +...+c_k v_k<\/span>, de donde c_1 v_1 + c_2 v_2 +...+c_k v_k -\\gamma_{k+1}v_{k+1}-...-\\gamma_{n}v_{n}=0_V<\/span>.<\/td>\n<\/tr>\n
\\bigcirc<\/span><\/td>\nSe pueden elegir vectores v_{k+1},v_{k+2},...,v_{n}<\/span> tales que B=\\{v_1,v_2,...,v_n\\}<\/span> sea una base para V<\/span>.<\/td>\n<\/tr>\n
\\bigcirc<\/span><\/td>\nSe tiene entonces que c_1=c_2=...=c_k=\\gamma_{k+1}=...=\\gamma_n=0<\/span> por lo tanto \\{ L(v_{k+1}),...,L(v_n) \\}<\/span> es linealmente independiente y base de Im(L)<\/span>.<\/td>\n<\/tr>\n
\\bigcirc<\/span><\/td>\nSi \\gamma_{k+1}L(v_{k+1})+...+\\gamma_{n}L(v_{n})=0_U<\/span> se tiene que L(\\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\\gamma_{n}v_n)=0_U<\/span>, esto es \\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\\gamma_{n}v_n\\in Ker(L)<\/span>.<\/td>\n<\/tr>\n
\\bigcirc<\/span><\/td>\nLuego, u=\\alpha_{k+1}L(v_{k+1})+...+\\alpha_n L(v_n)<\/span>, por lo tanto \\{ L(v_{k+1}),...,L(v_n) \\}<\/span> genera a Im(L)<\/span>.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Considere el siguiente teorema: Si y son dos espacios vectoriales sobre un campo , de dimensi\u00f3n finita y una transformaci\u00f3n lineal, entonces A continuaci\u00f3n, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostraci\u00f3n de este teorema para el caso en que . En cada c\u00edrculo en blanco indique el orden que corresponda … Sigue leyendo Tema 5<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":609,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[1427525],"tags":[],"class_list":["post-6090","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-segunda-evaluacion-termino-2-2018-2019"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6090","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/users\/609"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6090"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6090\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6090"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6090"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6090"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}