{"id":843,"date":"2017-05-08T14:09:52","date_gmt":"2017-05-08T19:09:52","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1003\/?p=843"},"modified":"2020-03-18T17:58:45","modified_gmt":"2020-03-18T22:58:45","slug":"cl1-01-matrices-y-determinantes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1049\/cl1-01-matrices-y-determinantes\/","title":{"rendered":"cl1-01. Matrices y Determinantes"},"content":{"rendered":"
\n

Propiedades de la suma de matrices<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n\n\n
Conmutatividad:
\n\\forall\\ A,B\\in M_{m\\times n} \\text{ }A+B=B+A<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
Asociatividad:
\n\\forall\\ A,B,C\\in {{M}_{m\\times n}}\\text{ }(A+B)+C=A+(B+C)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
Existencia de la matriz neutro-aditivo:
\n\\exists\\ \\text{ }{{\\mathbf{0}}_{m\\times n}}\\text{ }\\forall A\\in {{M}_{m\\times n}}\\text{ }A+\\mathbf{0}=A<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
Existencia de la matriz inverso-aditivo:
\n\\forall\\ A\\in {{M}_{m\\times n}}\\text{ }\\exists \\text{ }A_{m\\times n}^{*}\\text{ }A+{{A}^{*}}=\\mathbf{0}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Propiedades del producto de matrices<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n\n
Asociatividad:
\n\\forall\\ A\\in {{M}_{m\\times n}}\\text{ }\\forall B\\in {{M}_{n\\times p}}\\text{ }\\forall C\\in {{M}_{p\\times q}}\\text{ }(AB)C=A(BC)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
Distribuci\u00f3n por la derecha:
\n\\forall\\ A,B\\in {{M}_{m\\times n}}\\text{ }\\forall C\\in {{M}_{n\\times p}}\\text{ }(A+B)C=AC+BC <\/span><\/td>\n<\/tr>\n
Distribuci\u00f3n por la izquierda:
\n\\forall\\ A\\in {{M}_{m\\times n}}\\text{ }\\forall B,C\\in {{M}_{n\\times p}}\\text{ }A(B+C)=AB+AC<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Propiedades del producto de un escalar por una matriz<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n\n\n
Distribuci\u00f3n respecto a la suma de matrices:
\n\\forall\\ k\\in \\mathbb{R}\\text{ }\\forall A,B\\in {{M}_{m\\times n}}\\text{ }k(A+B)=kA+kB<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
Distribuci\u00f3n respecto a la suma de escalares:
\n\\forall\\ {{k}_{1}},{{k}_{2}}\\in \\mathbb{R}\\text{ }\\forall A\\in {{M}_{m\\times n}}\\text{ }({{k}_{1}}+{{k}_{2}})A={{k}_{1}}A+{{k}_{2}}A<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
(Pseudo) Asociatividad:
\n\\forall\\ {{k}_{1}},{{k}_{2}}\\in \\mathbb{R}\\text{ }\\forall A\\in {{M}_{m\\times n}}\\text{ }({{k}_{1}}.{{k}_{2}})A={{k}_{1}}({{k}_{2}}A)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
(Pseudo) Asociatividad:
\n\\forall\\ k\\in \\mathbb{R}\\text{ }\\forall A\\in {{M}_{m\\times n}}\\forall B\\in {{M}_{n\\times p}}\\text{ }k(AB)=(kA)B=A(kB)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Propiedades de la transposici\u00f3n de matrices<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n\n
\\forall\\ A\\in {{M}_{m\\times n}}\\text{ }{{\\left( {{A}^{T}} \\right)}^{T}}=A<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
\\forall\\ A,B\\in {{M}_{m\\times n}}\\text{ }{{\\left( A+B \\right)}^{T}}={{A}^{T}}+{{B}^{T}}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
Si el producto AB est\u00e1 definido, se cumple que
\n {{(AB)}^{T}}={{B}^{T}}{{A}^{T}}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Propiedades de la traza de una matriz<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n\n\n
\\forall\\ A,B\\in {{M}_{n\\times n}}\\text{ }tr\\left( A+B \\right)=tr(A)+tr(B)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
\\forall\\ A,B\\in {{M}_{n\\times n}}\\text{ }tr\\left( AB \\right)=tr(BA)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
\\forall\\ k\\in \\mathbb{R}\\text{ }\\forall A\\in {{M}_{n\\times n}}\\text{ }tr(kA)=k.tr(A)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
\\forall\\ A\\in {{M}_{n\\times n}}\\text{ }tr\\left( A \\right)=tr({{A}^{T}})<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Propiedades de la inversa de una matriz<\/strong><\/p>\n

Si A,B\\in {{M}_{n\\times n}}<\/span> son invertibles, entonces se cumple que:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
AB<\/span> es invertible y {{\\left( AB \\right)}^{-1}}={{B}^{-1}}{{A}^{-1}}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
{{\\left( {{A}^{-1}} \\right)}^{-1}}=A<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
{{A}^{n}}<\/span> es invertible y {{\\left( {{A}^{n}} \\right)}^{-1}}={{\\left( {{A}^{-1}} \\right)}^{n}}<\/span>, donde n es un n\u00famero entero.<\/td>\n<\/tr>\n
{{A}^{T}}<\/span> es invertible y {{\\left( {{A}^{T}} \\right)}^{-1}}={{\\left( {{A}^{-1}} \\right)}^{T}}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
Si k\\in \\mathbb{R}<\/span> y k\\ne 0<\/span>, entonces {{\\left( kA \\right)}^{-1}}=\\frac{1}{k}\\left( {{A}^{-1}} \\right)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Propiedades del determinante de una matriz<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n\n\n
\\forall\\ A,B\\in {{M}_{n\\times n}}\\text{ }\\det (AB)=\\det (A)\\det (B)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
\\forall\\ A\\in {{M}_{n\\times n}}\\text{ }\\det (A)=\\det ({{A}^{T}})<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
Si A\\in {{M}_{n\\times n}}<\/span> es invertible, entonces \\det ({{A}^{-1}})=\\frac{1}{\\det (A)}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
\\forall\\ A\\in {{M}_{n\\times n}}\\text{ }\\forall k\\in \\mathbb{R}\\text{ }\\det (kA)={{k}^{n}}\\det (A)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Operaciones de rengl\u00f3n (o de columna)<\/b><\/p>\n

Sea A una matriz {{M}_{m\\times n}}<\/span>, donde {{f}_{i}}<\/span> denota la i-\u00e9sima fila de la matriz (tambi\u00e9n, {{c}_{i}}<\/span> la i-\u00e9sima columna) de la misma; con esta notaci\u00f3n, describiremos las operaciones de rengl\u00f3n como sigue:<\/p>\n