{"id":52,"date":"2009-03-02T14:52:52","date_gmt":"2009-03-02T19:52:52","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/sud1479\/?page_id=52"},"modified":"2009-03-02T14:52:54","modified_gmt":"2009-03-02T19:52:54","slug":"los-triangulos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/sud1479\/los-triangulos\/","title":{"rendered":"Los tri\u00e1ngulos"},"content":{"rendered":"<p><strong><span style=\"font-size: large;font-family: Arial\"> <\/span><\/strong><\/p>\n<p align=\"center\"><span style=\"color: #0000ff\">Geometr\u00eda del tri\u00e1ngulo<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-size: small;font-family: Times New Roman\">Si construimos un paralelogramo, u otro pol\u00edgono de m\u00e1s lados, con tiras de cart\u00f3n y alfileres, obten<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang1.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"138\" height=\"144\" align=\"right\" \/>emos estructuras que se deforman presionando. <\/span><\/p>\n<p>\u00a0\u00a0<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>Realizando la operaci\u00f3n con el tri\u00e1ngulo, no conseguiremos modificarlo: es la <strong>rigidez del tri\u00e1ngulo<\/strong> lo que hace que sea utilizado en multitud de estructuras de construcci\u00f3n.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang2.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"162\" height=\"108\" align=\"right\" \/> \u00a0<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>Parece ser que uno de los motivos que impuso el desarrollo de la Geometr\u00eda fue la necesidad de medir la tierra. Como sabr\u00e1s, la palabra Geometr\u00eda procede del griego: <strong><em>Geo<\/em><\/strong>, que significa tierra y <strong><em>metron<\/em><\/strong> que significa medida.<\/p>\n<p>En el antiguo Egipto, cuando suced\u00edan las crecidas veraniegas del Nilo, las lindes de los terrenos se borraban y<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang3.jpg\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"246\" height=\"127\" align=\"right\" \/> era necesario redefinir la separaci\u00f3n entre terrenos. Un instrumento de medida, que utilizaban los agrimensores egipcios, eran unas cuerdas anudadas convenientemente, de tal forma que les fuera f\u00e1cil la construcci\u00f3n de los \u00e1ngulos rectos que formaban las parcelas.\u00a0\u00a0<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>(Construcci\u00f3n de un \u00e1ngulo recto y un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero con una cuerda de 12 nudos)<\/p>\n<p><strong><span style=\"font-size: medium;color: #ff0000;font-family: Arial\">Clasificaci\u00f3n de los tri\u00e1ngulos\u00a0<\/p>\n<p><\/span><\/strong><strong><span style=\"color: #808000;font-family: Arial\">Por sus lados <\/span><\/strong><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang4.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"501\" height=\"136\" \/><\/p>\n<p><strong><span style=\"font-family: Arial\">Propiedad<\/span><\/strong><\/p>\n<p><strong><span style=\"font-family: Arial\">La suma de los \u00e1ngulos de untri\u00e1ngulo vale 180\u00ba<\/span><\/strong><\/p>\n<p><strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang5.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"262\" height=\"139\" align=\"left\" \/><\/strong><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p><strong>A + B + C = 180\u00b0<\/strong><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>De lo anterior se deduce que en todo tri\u00e1ngulo hay, al menos, dos \u00e1ngulos agudos. Este hecho nos permite clasificar los tri\u00e1ngulos en virtud de sus \u00e1ngulos.<\/p>\n<p><strong><span style=\"color: #808000;font-family: Arial\">Por sus \u00e1ngulos<\/span><\/strong><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang6.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"542\" height=\"147\" \/><\/p>\n<p>Entre tus herramientas de dibujo tienes un cartab\u00f3n, que no es m\u00e1s que un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo is\u00f3sceles.<\/p>\n<p>\u00a0Con este instrumento puedes calcular algunas distancias inaccesibles como se muestra en el siguiente dibujo.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/image89.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"229\" height=\"202\" align=\"left\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/image90.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"247\" height=\"174\" \/><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<ul>\n<li>Calcula la altura del techo de tu clase.\u00a0<\/li>\n<li>Estima la altura del instituto.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong><span style=\"font-size: medium;color: #ff0000;font-family: Arial\">Construcci\u00f3n de tri\u00e1ngulos<\/span><\/strong><\/p>\n<p><strong><span style=\"font-size: x-small;color: #808000;font-family: Arial\">Conocidos un lado y sus \u00e1ngulos adyacentes<\/span><\/strong><\/p>\n<p>Construir un tri\u00e1ngulo con un lado de 7 cm y \u00e1ngulos adyacentes de 30\u00b0 y 50\u00b0.<\/p>\n<p>Dibujamos como base un segmento de 7 cm y sobre sus extremos, con la ayuda de un transportador de \u00e1ngulos, dibujamos los \u00e1ngulos se\u00f1alados. Prolongando los lados de los \u00e1ngulos, obtenemos el tercer v\u00e9rtice.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang7.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"235\" height=\"125\" \/><\/p>\n<p><strong><span style=\"font-size: x-small;color: #808000;font-family: Arial\">Conocidos dos lados y el \u00e1ngulo comprendido<\/span><\/strong><\/p>\n<p>Construir un tri\u00e1ngulo de lados 5 cm y 7 cm, siendo el \u00e1ngulo comprendido de 40\u00b0.<\/p>\n<p>Con el transportador dibujamos un \u00e1ngulo de 40\u00b0 y, sobre los lados del \u00e1ngulo se\u00f1alamos sendos segmentos de 5 y 7 cm, respectivamente. Uniendo los extremos de lso segmentos por un tercero, obtenemos el tri\u00e1ngulo.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang8.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"246\" height=\"217\" \/><\/p>\n<p><strong><span style=\"font-size: x-small;color: #808000;font-family: Arial\">Conocidos dos lados y el \u00e1ngulo opuesto a uno de ellos<\/span><\/strong><\/p>\n<p>Construir un tri\u00e1ngulo con dos lados de 7 y 5 cm, y un \u00e1ngulo de 30\u00b0 opuesto al lado peque\u00f1o.<\/p>\n<p>Sobre un extremo del lado mayor dibujamos un \u00e1ngulo de 30\u00b0. Con un comp\u00e1s de radio 5 cm, trazamos un arco desde el otro extremo que corta en dos puntos el lado del \u00e1ngulo. Obtenemos de esta manera dos soluciones al problema: los tri\u00e1ngulos ABC y ABD de la figura adjunta.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang9.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"496\" height=\"219\" \/><\/p>\n<p>Repite el problema anterior con un lado mayor de 15 cm y comenta el resultado.<\/p>\n<ul>\n<li>Haz lo mismo con un primer lado de 2 cm.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong><span style=\"font-size: x-small;color: #808000;font-family: Arial\">Conocidos los tres lados<\/span><\/strong><\/p>\n<p>Construir un tri\u00e1ngulo de lados 3, 5 y 6 cm.<\/p>\n<p>Desde los extremos del lado mayor trazamos dos circunferencias de radios 3 y 5 cm. El punto de corte nos da el tercer v\u00e9rtice.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang10.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"538\" height=\"203\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>\u00bfPuedes construir un tri\u00e1ngulo de lados 3, 5 y 9 cm?<\/li>\n<li>Cu\u00e1l es la condici\u00f3n para que tres segmentos formen un tri\u00e1ngulo?<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong><span style=\"font-size: x-small;font-family: Arial\">Actividades <\/span><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Construye un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero de 4 cm de lado.<\/li>\n<li>Construye un tri\u00e1ngulo con dos lados que midan 3'5 cm y 2'5 cm, de tal manera que ambos determinen un \u00e1ngulo de 45\u00b0.<\/li>\n<li>Construye un tri\u00e1ngulo con un lado de 8 cm y \u00e1ngulos adyacentes de 60\u00b0 y 45\u00b0.<\/li>\n<li>Construye un tri\u00e1ngulo con dos lados de 10 cm y 7 cm, de tal manera que el \u00e1ngulo opuesto al \u00faltimo sea de 30\u00b0.\u00a0<\/li>\n<li>Construye un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo con un cateto de 2'4 cm y la hipotenusa de 5 cm.<\/li>\n<li>Demostrar que si un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo tiene un \u00e1ngulo de 60\u00b0, el cateto adyacente es la mitad de la hipotenusa.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong><span style=\"font-size: medium;color: #ff0000;font-family: Arial\">Puntos notables de un tri\u00e1ngulo<\/span><\/strong><\/p>\n<p><strong><span style=\"color: #808000;font-family: Arial\">Circunferencia circunscrita a un tri\u00e1ngulo<\/span><\/strong><\/p>\n<p>Se llama <strong>mediatriz<\/strong> de un segmento al lugar geom\u00e9trico de los puntos equidistantes de sus extremos.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang11.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"121\" height=\"196\" align=\"right\" \/><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>Para dibujar la mediatriz, se trazan, con igual radio, dos arcos desde cada extremo. La recta que une los dos puntos en los que se cortan dichos arcos es la mediatriz del segmento.<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>Si dibujamos las mediatrices de los lados de un triangulo cualquiera, observamos que se cortan en un punto <strong>C<\/strong>, llamado <strong>circuncentro<\/strong>, que est\u00e1 a igual distancia de los tres v\u00e9rtices (\u00bfpor qu\u00e9?). Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al tri\u00e1ngulo.<\/p>\n<p><strong><\/strong><\/p>\n<p align=\"center\"><strong><span style=\"font-size: x-small;font-family: Arial\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang18.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"421\" height=\"291\" \/><\/span><\/strong><\/p>\n<p align=\"center\"><strong><span style=\"font-size: x-small;font-family: Arial\">\u00a0<\/span><\/strong><\/p>\n<p><strong><span style=\"font-size: x-small;font-family: Arial\">Actividades\u00a0 <\/span><\/strong><\/p>\n<ul><strong><span style=\"font-size: x-small;font-family: Arial\"><\/span><\/strong><span style=\"font-size: small;font-family: Times New Roman\">Dibuja tres puntos no alineados y construye una circunferencia que pase por ellos. <\/span><\/p>\n<li>Comprueba que el circuncentro de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo coincide con el punto medio de la hipotenusa.\u00a0Esta propiedad caracteriza a los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang13.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"219\" height=\"93\" align=\"right\" \/><\/li>\n<li>En la figura adjunta, se ha tomado como hipotenusa de todos los tri\u00e1ngulos un di\u00e1metro de la circunferencia circunscrita a ellos. \u00bfSon todos ellos rect\u00e1ngulos?<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p><strong><span style=\"color: #808000;font-family: Arial\">Circunferencia inscrita en un tri\u00e1ngulo<\/span><\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang3.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"207\" height=\"291\" align=\"right\" \/><\/p>\n<p>Se llama <strong>bisectriz<\/strong> de un \u00e1ngulo al lugar geom\u00e9trico de los puntos equidistantes de sus lados. La bisectriz divide al \u00e1ngulo en dos mitades iguales.<\/p>\n<p>Para dibujar la bisectriz de un \u00e1ngulo cualquiera conocido, se trazan, con igual radio, dos arcos desde A y B. El punto donde se cortan, junto con el v\u00e9rtice O del \u00e1ngulo nos determina la bisectriz.<\/p>\n<p>Las bisectrices de los tres \u00e1ngulos de un tri\u00e1ngulo se cortan en un punto <strong>I<\/strong> que est\u00e1 a igual distancia de los tres lados (\u00bfpor qu\u00e9?). Este punto se llama <strong>incentro<\/strong> y es el centro de la circunferencia inscrita en el tri\u00e1ngulo.<\/p>\n<p><strong><span style=\"font-size: x-small;font-family: Arial\">Actividad<\/span><\/strong><\/p>\n<p><strong><\/strong>Dibuja una circunferencia que sea tangente a las tres rectas.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang14.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"205\" height=\"119\" \/><\/p>\n<p><strong><span style=\"font-family: Arial\"><span style=\"color: #808000\">Alturas de un tri\u00e1ngulo<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<p><strong><\/strong>Se llaman <strong>alturas<\/strong> de un tri\u00e1ngulo a cada uno de los tres segmentos que son perpendiculares a un lado y pasan por el v\u00e9rtice opuesto.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang15.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"480\" height=\"296\" \/><\/p>\n<p>Las tres alturas se cortan en un punto llamado <strong>ortocentro<\/strong>.<\/p>\n<p><strong><span style=\"color: #808000;font-family: Arial\">Medianas de un tri\u00e1ngulo<\/span><\/strong><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang16.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"156\" height=\"129\" align=\"right\" \/><\/p>\n<p>Se llaman <strong>medianas<\/strong> a los segmentos que unen el punto medio de un lado con el v\u00e9rtice opuesto.<\/p>\n<p>Las tres medianas de un tri\u00e1ngulo se cortan en un mismo punto llamado <strong>baricentro<\/strong>.<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>El baricentro tiene la siguientes propiedades:<\/p>\n<blockquote>\n<p>1.- <em>Es el centro de gravedad del tri\u00e1ngulo<\/em>.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Ata una plomada a un alfiler y pincha el tri\u00e1ngulo por cada una de sus esquinas. El hilo define tres rectas que son las medianas.\u00a0<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang17.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"447\" height=\"177\" \/><\/p>\n<p>Si sostenemos desde el baricentro, el tri\u00e1ngulo se mantendr\u00e1 paralelo al suelo (en equilibrio).<\/p>\n<p>2.- <em>La distancia del baricentro a un lado es la mitad de su distancia al v\u00e9rtice opuesto.<\/em>(En la figura anterior,<\/p>\n<p><strong><span style=\"color: #808000;font-family: Arial\">Recta de Euler<\/span><\/strong><\/p>\n<p>En cualquier tri\u00e1ngulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro est\u00e1n contenidos en una misma recta, llamada <strong>recta de Euler<\/strong>.<\/p>\n<p align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang32.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"364\" height=\"303\" \/><\/p>\n<p align=\"left\">Arrastra con el rat\u00f3n los v\u00e9rtices del tri\u00e1ngulo y observar\u00e1s c\u00f3mo se comportan sus puntos notables:<\/p>\n<p align=\"center\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\"><strong><span style=\"font-size: x-small;font-family: Arial\">Actividades<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/parque.jpg\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"347\" height=\"290\" align=\"right\" \/><\/span><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\n<p align=\"left\">Ana, Benito y Celia viven junto al parque. Halla en el plano el lugar en el que han de encontrarse para que recorran lo mismo.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p align=\"left\">Raquel desea construir en su jard\u00edn (triangular) una pista circular lo mayor posible. \u00bfSabr\u00edas ayudarle a situarla?<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/jardin.jpg\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"234\" height=\"156\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>\n<p align=\"left\">La apotema de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero vale 7'2 cm. Calcula el per\u00edmetro del tri\u00e1ngulo.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong><span style=\"font-size: medium;font-family: Arial\"><\/p>\n<p align=\"left\"><span style=\"color: #ff0000\">Relaciones m\u00e9tricas en el tri\u00e1ngulo<\/span><\/p>\n<p><\/span><span style=\"font-family: Arial\"><\/p>\n<p align=\"left\"><span style=\"color: #808000\">Teorema de Pit\u00e1goras<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang34.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"254\" height=\"198\" align=\"left\" \/><\/span><\/p>\n<p><\/span><\/strong><\/p>\n<p align=\"left\">En la figura tienes un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo. Sobre sus lados hemos construido sendos cuadrados y calculado sus \u00e1reas. Se observa que el \u00e1rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa es la suma de las \u00e1reas de los cuadrados sobre los catetos, es decir,<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang19.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"77\" height=\"20\" align=\"middle\" \/><\/p>\n<p align=\"left\">El teorema de Pit\u00e1goras afirma que esta propiedad se cumple en cualquier tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo.<\/p>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\">En todo tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo se verifica que la hipotenusa al cuadrado es igual que la suma de los cuadrados de los catetos<\/p>\n<p><strong><span style=\"font-size: x-small;font-family: Arial\"><\/p>\n<p align=\"left\">Actividad<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang39.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"209\" height=\"140\" align=\"right\" \/><\/p>\n<p><\/span><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\n<p align=\"left\">Dibuja dos cuadrados cualesquiera de distinto tama\u00f1o y copia el contorno del m\u00e1s chico como se muestra en la figura.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\">Dibuja las l\u00edneas AB y BC y recorta por estas las l\u00edneas. Si reordenas los trozos anteriores, comprobamos el teorema de Pit\u00e1goras.<\/p>\n<p align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang21.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"471\" height=\"212\" \/><\/p>\n<p align=\"left\">Veamoslo desde otro punto de vista.<\/p>\n<p align=\"left\">En la figura observamos los cuadrados ABCD y MNPQ, as\u00ed como cuatro tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos iguales.<\/p>\n<p align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang35.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"199\" height=\"196\" \/><\/p>\n<p align=\"left\">Sumando las \u00e1reas de los tri\u00e1ngulos y del cuadrado MNPQ, se obtiene el \u00e1rea de ABCD:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang40.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"144\" height=\"41\" align=\"middle\" \/> . Si desarrollamos el cuadrado de la suma:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang41.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"163\" height=\"41\" align=\"middle\" \/><\/p>\n<p align=\"left\">Simplificando:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang42.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"80\" height=\"24\" align=\"middle\" \/>.<\/p>\n<p align=\"left\">El teorema de Pit\u00e1goras nos permite calcular un lado de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, conocidos los otros dos.<\/p>\n<p align=\"left\">La matem\u00e1tica americana <strong>E. Scott<\/strong> reuni\u00f3 367 demostraciones diferentes del teorema de Pit\u00e1goras.<\/p>\n<p><strong><span style=\"font-size: x-small;font-family: Arial\"><\/p>\n<p align=\"left\">Actividad<\/p>\n<p><\/span><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\n<p align=\"left\">Deduce el teorema de Pit\u00e1goras del siguiente esquema:<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang36.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"507\" height=\"231\" \/><\/p>\n<p align=\"left\">En un tri\u00e1ngulo cualquiera, si <strong>c<\/strong> es el lado m\u00e1s grande, entonces se verifica:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang37.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"463\" height=\"168\" \/><\/p>\n<p><strong><span style=\"font-size: x-small;font-family: Arial\"><\/p>\n<p align=\"left\">Actividades<\/p>\n<p><\/span><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\n<p align=\"left\">Halla la altura del trapecio de la figura<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang38.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"125\" height=\"96\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>\n<p align=\"left\">Halla la diagonal de un rect\u00e1ngulo de 4 m de ancho y 6 m de largo.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"left\">Expresa el lado de un cuadrado en funci\u00f3n de su diagonal. Si la diagonal es 8'2 cm \u00bfcu\u00e1l ser\u00e1 el lado?<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"left\">Hallar la altura de un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles de base 3 cm y altura 5 cm.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"left\">Hallar el lado de un rombo cuyas diagonales miden 7 y 4 cm respectivamente.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"left\">Si el lado de un pent\u00e1gono regular mide 7 cm y el radio de la circunferencia circunscrita es de 6 cm \u00bfcu\u00e1nto medir\u00e1 la apotema?<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"left\">Deduce el \u00e1rea de un hex\u00e1gono regular inscrito en una circunferencia de 3 cm de radio.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong><span style=\"font-family: Arial\"><\/p>\n<p align=\"left\"><span style=\"color: #808000\">Teorema de la altura<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang22.gif\" border=\"1\" alt=\"\" width=\"225\" height=\"150\" align=\"right\" \/><\/span><\/p>\n<p><\/span><\/strong><\/p>\n<p align=\"left\">En la figura tienes tres tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos: AHC, BHC y ABC.<\/p>\n<p align=\"left\">Aplicando el teorema de Pit\u00e1goras en los dos primeros, tenemos:<\/p>\n<p align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang23.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"80\" height=\"20\" align=\"middle\" \/> y <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang24.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"83\" height=\"20\" align=\"middle\" \/><\/p>\n<p align=\"left\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"left\">Si aplicamos el mismo teorema en el tri\u00e1ngulo mayor y sustituimos <strong>c<\/strong> por <strong>m+n<\/strong>, tendremos:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang24.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"116\" height=\"24\" align=\"middle\" \/><\/p>\n<p align=\"left\">Por tanto: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang25.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"216\" height=\"20\" align=\"middle\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang26.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"20\" height=\"16\" align=\"middle\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang27.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"71\" height=\"20\" align=\"middle\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang26.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"20\" height=\"16\" align=\"middle\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang28.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"56\" height=\"20\" align=\"middle\" \/>, que es lo que afirma el teorema de la altura.<\/p>\n<p><strong><span style=\"font-family: Arial\"><\/p>\n<p align=\"left\"><span style=\"color: #808000\">Teorema del cateto<\/span><\/p>\n<p><\/span><\/strong><\/p>\n<p align=\"left\">En el tri\u00e1ngulo AHC de la figura anterior:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang29.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"260\" height=\"24\" align=\"middle\" \/>, es decir:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang30.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"55\" height=\"20\" align=\"middle\" \/><\/p>\n<p align=\"left\">An\u00e1logamente, razonando sobre el tri\u00e1ngulo BHC, se obtiene que<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.juntadeandalucia.es\/averroes\/iesarroyo\/matematicas\/materiales\/3eso\/geometria\/teoriatriangulo\/triang31.gif\" border=\"0\" alt=\"\" width=\"52\" height=\"20\" align=\"middle\" \/>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Geometr\u00eda del tri\u00e1ngulo Si construimos un paralelogramo, u otro pol\u00edgono de m\u00e1s lados, con tiras de cart\u00f3n y alfileres, obtenemos estructuras que se deforman presionando. \u00a0\u00a0 \u00a0 \u00a0 Realizando la operaci\u00f3n con el tri\u00e1ngulo, no conseguiremos modificarlo: es la rigidez del tri\u00e1ngulo lo que hace 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