[ espectro_n ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
..
1. Espectro de frecuencias de x[n]
Referencia: McClellan 4.1.4 p129
De forma semejante al Espectro para Operaciones en dominio de tiempo y frecuencia, se aplica el concepto de frecuencias en radiantes. El espectro permitirá analizar las señales alias: alias principal junto a otros alias generados con ±2π en cada frecuencia. Por ejemplo, para:
x1[n] = cos(0.4π n)
Es señal básica con frecuencia en radianes en 0.4π, sería alias principal, con componentes en ±0.4π. En el dominio discreto ‘n‘, las señales alias se forman con cada componente desplazados en 2πk a la derecha y -2πk a la izquierda. Siendo k un número entero. Para k=1.
| Señal / alias principal | otros alias, k=1 |
| ω1[n] = 0.4π | ω3[n] = 0.4π + 2π = 2.4 ω4[n] = 0.4π – 2π = -1.6 |
| ω2[n] = – 0.4π | ω5[n] = -0.4π + 2π = 1.6 ω6[n] = -0.4π – 2π = -2.4 |
el espectro con señales alias para k=1 es:
[ espectro_n ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
2. Algoritmo en Python
El punto de partida es el algoritmo usado en Espectro para Operaciones en dominio de tiempo y frecuencia, donde las operaciones son semejantes y aplicadas al dominio ‘t‘, que deben cambiarse al domino ‘n‘. Se aplica un cambio de variable y una bandera ‘esdiscreta‘ para ajustar el eje de frecuencias a radianes en el análisis de la función cos_spectrum_list(x_senales) del archivo telg1034.py. con lo que se logra obtener básicamente los resultados del espectro ajustados al nuevo dominio
#... for i in range(0,x_conteo,1): unasenal = x_senales[i] # revisa si unasenal es discreta con n esdiscreta = False varindepend = unasenal.free_symbols if (n in varindepend) and not(t in varindepend): unasenal = unasenal.subs(n,t) esdiscreta = True # analiza unasenal con t #...
cuando la señal es discreta, las frecuencias consideran el factor 2π, que se separaba cuando se calculaban en Hz.
if esdiscreta:
freq_k = freq_k*2*pi
x_freq_spectr.append(freq_k)
con lo que el algoritmo se ajusta a la variable y es funcional.
Para la sección gráfica, se puede considerar el factor π como un elemento a simplificar en el vector de frecuencias. Se revisa si existe el factor en el arreglo de frecuencias y se procede a separarlo dentro del algoritmo de espectro para t. Se actualizan los valores en los resultados.
... # revisa factor pi en freq_n unfactor = sym.S.One ; factor_pi = False freqn_conteo = len(freq_n) for i in range(0,freqn_conteo,1): if freq_n[i].has(pi): factor_pi = True if factor_pi: freq_n = np.array(freq_n/pi,dtype=float) unfactor = pi # actualiza espectro de señal con factor pi un_espectro_n['freq_factor'] = unfactor un_espectro_n['freq'] = freq_n ...
2.1 Revisión de señales «alias» en x_senales en algoritmo para espectro
Para tener un marcador de frecuencias alias en las señales analizadas, se compara cada frecuencia del espectro para diferentes valores de k en la operación ±2π, mientras no sobrepase la frecuencia máxima del intervalo de freq.
... # aliasing, Revisa espectro de frecuencias freq_conteo = len(freq_n) freq_alias = np.zeros(freq_conteo,dtype=bool) for i in range (0,freq_conteo,1): unafreq = freq_n[i] k = 1 unalias = unafreq + k*2 while unalias<=freq_max: for j in range(i+1,freq_conteo,1): if abs(unalias - freq_n[j])<tolera: if abs(freq_n[i])>abs(freq_n[j]): freq_alias[i] = True else: freq_alias[j] = True k = k+1 unalias = unafreq + k*2 un_espectro_n['freq_alias'] = freq_alias ...
Se marcan las frecuencias alias en la lista freq_alias para diferenciarlas con otro color en la gráfica de espectro, obteniendo el resultado presentado en el ejercicio.
[ espectro_n ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
2.2 Instrucciones en Python
La señal para el espectro se construye con los componentes alias presentados en la parte teórica. Se analiza solo la señal x4[n] para el espectro.
El parámetro tolera en el bloque de ingreso es la tolerancia para redondear los valores de frecuencia en la gráfica cuando tienen varios dígitos decimales.
# ejercicio 4.4 p130 Espectro de señales senoidales discretas # telg1034 DSP fiec-espol edelros@espol.edu.ec import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import sympy as sym import telg1034 as dsp # variables continuas from telg1034 import t,A,w,f,p,pi,DosPi,I,equivalentes # variables discretas from telg1034 import n # INGRESO # usar np.pi para evitar frecuencia simplificada por sympy x1 = sym.cos(0.4*pi*n) x2 = sym.cos(1.6*np.pi*n) x3 = sym.cos(2.4*np.pi*n) xn = x1+x2+x3 x_etiqueta_n = 'x[n]' fs = 60 # muestreo discreto, freq_sampling fs_veces = 12 # sobremuestreo para x(t) muestrasN = 6 + 1 # para x[n] tolera = 1e-9 # tolerancia a error, números iguales # PROCEDIMIENTO # espectro x[n] # Ref: Blog|Espectro-Operaciones en dominio de tiempo y frecuencia x_term = dsp.x_list_term_Add(xn) Xe_term = dsp.cos_to_euler_one_term(x_term) x_term_expand = dsp.euler_to_cos_list(Xe_term) un_espectro_n = dsp.cos_spectrum_list(x_term) un_espectro_n['x_expand'] = x_term_expand # espectro de cada señal freq_n = un_espectro_n['freq'] ampl_n = un_espectro_n['ampl'] fase_n = un_espectro_n['fase'] etiq_n = np.array(un_espectro_n['etiq']) # revisa factor pi en freq_n unfactor = sym.S.One ; factor_pi = False freqn_conteo = len(freq_n) for i in range(0,freqn_conteo,1): if freq_n[i].has(pi): factor_pi = True if factor_pi: freq_n = np.array(freq_n/pi,dtype=float) unfactor = pi # actualiza espectro de señal con factor pi un_espectro_n['freq_factor'] = unfactor un_espectro_n['freq'] = freq_n # ancho de banda, freq_max y freq_min freq_posi = freq_n[freq_n>0] freq_max = float(max(freq_posi)) freq_min = 0 if len(freq_posi)>0: freq_min = float(min(freq_posi)) freq_centro = (freq_max+freq_min)/2 un_espectro_n['freq_max'] = freq_max un_espectro_n['freq_min'] = freq_min un_espectro_n['BW'] = freq_max-freq_min # aliasing, Revisa espectro de frecuencias freq_conteo = len(freq_n) freq_alias = np.zeros(freq_conteo,dtype=bool) for i in range (0,freq_conteo,1): unafreq = freq_n[i] k = 1 unalias = unafreq + k*2 while unalias<=freq_max: for j in range(i+1,freq_conteo,1): if abs(unalias - freq_n[j])<tolera: if abs(freq_n[i])>abs(freq_n[j]): freq_alias[i] = True else: freq_alias[j] = True k = k+1 unalias = unafreq + k*2 un_espectro_n['freq_alias'] = freq_alias # SALIDA print('senal[n]: ',xn) print(' espectro:') for parametro in un_espectro_n: print(' ',parametro,':',un_espectro_n[parametro])
[ espectro_n ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
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3. Gráfica espectro dominio n
Se añaden la gráfica para el espectro de frecuencias ajustada al dominio n
# GRAFICAS de espectro de frecuencias discretas--------- graf_dx = 0.12 fig_espectro = plt.figure() freq_alias_conteo = np.sum(freq_alias) ampl_max = float(max(ampl_n))*(1+graf_dx*2) freq_max = float(max(un_espectro_n['freq_max'],1))*(1+graf_dx/2) # grafica graf_fasorn = fig_espectro.add_subplot(111) graf_fasorn.set_xlim([-freq_max,freq_max]) graf_fasorn.set_ylim([min([min(ampl_n),0]),ampl_max]) graf_fasorn.grid() graf_fasorn.axhline(0,color='black') graf_fasorn.axvline(0,linestyle='dotted',color='grey') # grafica magnitud freq_noalias = np.invert(freq_alias) graf_fasorn.stem(freq_n[freq_noalias],ampl_n[freq_noalias], linefmt = 'C0--') if freq_alias_conteo>0: # hay alias graf_fasorn.stem(freq_n[freq_alias],ampl_n[freq_alias], linefmt = 'C1--', label='alias') if un_espectro_n['freq_factor'] != sym.S.One: unfactor = r'$'+sym.latex(un_espectro_n['freq_factor'])+'$' freq_etiq = [] for un_num in freq_n: freq_etiq.append(f''+str(round(un_num,4))+unfactor) graf_fasorn.set_xticks(ticks=freq_n,labels=freq_etiq) for k in range(0,len(freq_n),1): # etiquetas de fasor graf_fasorn.annotate(etiq_n[k],xy=(freq_n[k],ampl_n[k]), xytext=(0,5),textcoords='offset points', ha='center') graf_fasorn.set_ylabel(x_etiqueta_n) graf_fasorn.set_xlabel('freq rad') graf_fasorn.legend() texto = '$' + sym.latex(xn)+'$' +' ; fs='+str(fs) graf_fasorn.set_title(texto) plt.show()
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