IDFT: [ periodicidad ] [ convolución ]
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1. Periódicidad
Referencia: McClellan 8.3.1 p319
La sumatoria de IDFT también tiene propiedad e periodicidad. Considera evaluar una función en n+N, con n en el intervalo 0≤n≤N-1:
x[n+N] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j(2\pi /N)k(n+N)} = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j(2\pi /N)k(n)} \cancel{e^{j(2\pi /N)k(N)} }un factor exponencial se convierte en 1, quedando
= \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j(2\pi /N)k(n)} = x[n]1. 1 Ejemplo: IDFT de impulso desplazado
Para una señal de L=N=10 puntos x[n]=δ[n-14] tendrá una DFT:
X[k] = e^{-j(0.2\pi (14)k}El resultado de la IDFT tendrá un valor diferente de cero en n=4.
con el algoritmo para no.fft.ifft() se pueden obtener los valores para
N: 10 X[k]: [ 1. +0.00000000e+00j -0.80901699-5.87785252e-01j 0.30901699+9.51056516e-01j 0.30901699-9.51056516e-01j -0.80901699+5.87785252e-01j 1. +1.71450552e-15j -0.80901699-5.87785252e-01j 0.30901699+9.51056516e-01j 0.30901699-9.51056516e-01j -0.80901699+5.87785252e-01j] Re(x[n]): [-4.88498131e-16 -7.98670570e-16 -9.76996262e-16 -9.51130884e-16 1.00000000e+00 9.49240686e-16 9.76996262e-16 8.05446317e-16 5.32907052e-16 -4.88554849e-18] Im(x[n]): [-7.16727868e-16 -3.76270034e-16 2.39540920e-17 4.01492493e-16 2.23107982e-15 3.94763191e-16 4.54309871e-17 -3.94454259e-16 -7.26484270e-16 -8.82784150e-16]
considerando como bloque de ingreso:
# INGRESO X_k = lambda k: np.exp(-1j*0.2*np.pi*14*k) N = 10 # Tramos en intervalo k0 = 0 # inicio de gráfica
IDFT: [ periodicidad ] [ convolución ]
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2. Propiedad de la Convolución
La convolución en el domino del tiempo se puede desarrollar como una multiplicación en el dominio de la frecuencia.
y[n] = h[n] * x[n] \leftrightarrow Y(e^{j \omega} )= H(e^{j \omega}) X(e^{j \omega})Siendo la DFT una versión discreta de tamaño finito, de la DTFT contínua:
y[n] = \sum_{m=0}^{M-1} h[m] x[n-m]donde se supone que h[n]= 0 fuera del intervalo n= 0, 1, ... , M-1,
x[n]=0 fuera del intervalo n= 0, 1, ... , L-1
h[n] es una secuencia d M puntos y x[n] es una secuencia de L puntos.
obteniendo y[n]
y[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} Y[k] e^{j(2 \pi /N)kn}2. 1 Ejemplo: Convolución de pulsos
Suponga una señal h[n] compuesta de 16 puntos de los que 6 se encuentran en valor 1 y el resto en cero. La señal x[n] es una señal de pulsos de tamaño 16 puntos, 10 en estado uno, el resto en cero. Considerando que Y[k] = H[k] X[k], use np.fft.fft y np.fft.ifft para mostrar la convolución resultante en el dominio del tiempo.
![ifft convolucion rect X[k] H[k] rect](http://blog.espol.edu.ec/telg1034/files/2024/12/ifft_convolucion_rect_X_H_01.png)
k0x: 0 ; i: 8 freq_Hz: 0.0 ; Xk[k0x]: (10+0j) [ i, freq[ki],|X[k]| ,X[k]] [0, 0.0, 10.0, (10+0j)] [1, 0.2, 4.735650251450756, (-0.9238795325112867-4.6446560597607585j)] [2, 0.4, 1.8477590650225735, (1.7071067811865475-0.7071067811865476j)] [3, 0.6000000000000001, 0.688811980233627, (-0.38268343236508984-0.5727262301542022j)] k0h: 0 ; i: 8 freq_Hz: 0.0 ; Hk[k0h]: (6+0j) [ i, freq[ki],|H[k]| ,H[k]] [0, 0.0, 6.0, (6+0j)] [1, 0.2, 4.735650251450756, (2.630986313697834-3.937549278574211j)] [2, 0.4, 1.8477590650225735, (-0.7071067811865476-1.7071067811865475j)] [3, 0.6000000000000001, 0.688811980233627, (0.6755766511785423+0.1343805510323453j)]
Algoritmo en Python
# ejemplo 8.3.3 p324 DFT convolucion # telg1034 DSP fiec-espol edelros@espol.edu.ec import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO L = 16 # Tramos en un periodo # señal es rectangular periódico rect[n] f0 = 0.2 # frecuencia fundamental de señal ancho = (10/16)*(1/f0) # ancho del impulso rectangular xt = lambda t: np.heaviside(t,1)-np.heaviside(t-ancho,1) # señal H es rectangular periódico rect[n] f0 = 0.2 # frecuencia fundamental de señal anchoh = (6/16)*(1/f0) # ancho del impulso rectangular ht = lambda t: np.heaviside(t,1)-np.heaviside(t-anchoh,1) # para DFT N = 1*L # N par mayor que L, tramos DFT # PROCEDIMIENTO # muestreo de señal x[n] t0 = 0 ; tn = 1/f0 # intervalo [t0,tn] dt = (tn-t0)/L ti = np.arange(t0,tn,dt) xn = xt(ti) hn = ht(ti) # verificar que L<=N if L<=N: # DFT transformada rapida de Fourier Xk = np.fft.fft(xn,n=N) Xkmagn = np.abs(Xk) # para gráfica Xkfase = np.angle(Xk) k0x = np.argmax(Xk) # Pico |X[k]| # DFT transformada rapida de Fourier Hk = np.fft.fft(hn,n=N) Hkmagn = np.abs(Hk) # para gráfica Hkfase = np.angle(Hk) k0h = np.argmax(Hk) # Pico |X[k]| freq_Hz = np.fft.fftfreq(N,dt) # frecuencias en Hz mitad = int(N/2) # Convolucion en dominio de frecuencia Yk = Hk*Xk yn = np.fft.ifft(Yk,n=N) yn_re = np.real(yn) yn_im = np.imag(yn) # SALIDA if N>=L: print('k0x:',k0x,'; i:',mitad+k0x) print('freq_Hz:',freq_Hz[k0x], '; Xk[k0x]:',Xk[k0x]) print('[ i, freq[ki],|X[k]| ,X[k]]') kmin = k0x-4 ; kmax = k0x+4 if kmin<0: kmin = 0 if kmax>N: kmax = N for i in range(kmin,kmax,1): print([i,freq_Hz[i],Xkmagn[i],Xk[i]]) print() print('k0h:',k0h,'; i:',mitad+k0h) print('freq_Hz:',freq_Hz[k0h], '; Hk[k0h]:',Hk[k0h]) print('[ i, freq[ki],|H[k]| ,H[k]]') kmin = k0h-4 ; kmax = k0h+4 if kmin<0: kmin = 0 if kmax>N: kmax = N for i in range(kmin,kmax,1): print([i,freq_Hz[i],Hkmagn[i],Hk[i]]) else: print('Revisar: L debe ser menor o igual a N') print('L:',L,'; N:',N) # GRAFICA if N>=L: LN_texto= ', L='+str(L)+', N='+str(N) #zp_texto = 'zero padding:'+str(N-L) plt.subplot(311) plt.stem(np.real(xn),label='Re(x[n])', markerfmt ='C2.',linefmt='C2-') plt.stem(L,0,markerfmt ='C3.') plt.xlabel('ti (s)') plt.title('Convolución entre x[n],H[n]'+LN_texto) plt.legend() plt.subplot(312) plt.stem(np.real(hn),label='Re(h[n])', markerfmt ='C1.',linefmt='C1-') plt.stem(L,0,markerfmt ='C1.') plt.xlabel('ti (s)') plt.legend() plt.subplot(313) plt.stem(np.real(yn),label='Re(y[n])', markerfmt ='C0.',linefmt='C0-') plt.stem(L,0,markerfmt ='C0.') plt.xlabel('ti (s)') plt.legend() plt.tight_layout() plt.show()