1.8 Señales Periódicas – frecuencia fundamental – Procesamiento Digital de Señales

[ periodo fundamental ] [ frecuencia fundamental ] [ señal a exponente ]
..

1. Periodo Fundamental de una señal periódica

Referencia: McClellan 3.3 p87

Una señal periódica repite su forma de onda cada intervalo de tamaño T₀. El intervalo T0 se conoce como periodo de x(t) y es la repetición más pequeña del intervalo, también llamada periodo fundamental.

x(t+T_0) = x(t)

Una señal periódica se puede formar como una suma de N+1 componentes con frecuencias armónicas que son múltiplos de la frecuencia Fundamental F₀.

x(t) = A_0 + \sum_{k=1}^{N} A_k \cos (2\pi k F_o t +\varphi_k)

donde f_k es la k^ésima frecuencia del componente: f_k = k F₀

1.2 Ejercicio

Referencia: McClellan Ejemplo 3.8 p87

Determinar la frecuencia fundamental de la señal x(t), siendo:

x(t) = \cos^2(4\pi t)

1.3 Resultados con el algoritmo

Si se plantea el ejercicio como dos señales, el coseno simple y luego el coseno cuadrado, se observa que la frecuencia fundamental del coseno es 2 Hz.
Sin embargo, la frecuencia del coseno cuadrado es 4Hz.

Algoritmo: Espectro – Operaciones en dominio de tiempo y frecuencia

x_senales: 
senal:   cos(4*pi*t)
  espectro:
   freq : [-2.  2.]
   ampl : [1/2 1/2]
   fase : [0 0]
   etiq : ['$\\frac{1}{2}$' '$\\frac{1}{2}$']
   x_expand : cos(4*pi*t)
   freq_max : 2.0
   freq_min : 2.0
   BW : 0.0
senal:   cos(4*pi*t)**2
  espectro:
   freq : [-4.  0.  4.]
   ampl : [1/4 1/2 1/4]
   fase : [0 0 0]
   etiq : ['$\\frac{1}{4}$' '$\\frac{1}{2}$' '$\\frac{1}{4}$']
   x_expand : cos(8*pi*t)/2 + 1/2
   freq_max : 4.0
   freq_min : 4.0
   BW : 0.0

la gráfica es:

bloque de Ingreso:

# INGRESO
x1 = sym.cos(4*pi*t)
x2 = x1**2
# Para espectro de frecuencias y fasores
x_senales = [x1,x2]
x_etiqueta = ['x(t)','(x(t))^2']

[ periodo fundamental ] [ frecuencia fundamental ] [ señal a exponente ]
..

2. Frecuencia fundamental con máximo común divisor

La frecuencia fundamental es el entero F₀ más grande, tal que f_k = k F₀. Se puede obtener con la instrucción de Numpy:

>>> import numpy as np
>>> freq = [12,20,60]
>>> np.gcd.reduce(freq)
4
>>>

de donde se interpreta que la frecuencia fundamental para 12,20 y 60 Hz se pueden crear a partir de 4 Hz.

12 Hz es la 3ra armónica,
20 Hz es la 5ta armónica,
60 Hz es la 15ta armónica.

Recuerde que la operación gcd se realiza con números enteros, en el caso de tener decimales, hay que multiplicar las frecuencias por 10, 100,1000 que conviertan las frecuencias a ser analizadas a números enteros.

[ periodo fundamental ] [ frecuencia fundamental ] [ señal a exponente ]

3. Ejercicio, seno al cubo

Referencia: McClellan 3.4.2 p91

Observe el resultado del ejercicio anterior sobre coseno al cuadrado.
Ahora desarrolle el ejercicio para seno al cubo y observe la frecuencia fundamental F₀.

x(t) = \sin^3(4\pi t)

Elevar a una potencia una función periódica genera otra función periódica con el mismo o menor periodo.

La expansión en exponenciales usando Euler para el ejercicio muestra los componentes para el espectro de frecuencias:

x(t) = \frac{3 j}{8}(-j \sin(4\pi t) + \cos(4 \pi t)) + \frac{-3j}{8}(j \sin(4\pi t) + cos(4\pi t))

+ \frac{-j}{8}(-j \sin(12\pi t) + \cos(12 \pi t)) + \frac{j}{8}(j \sin(12 \pi t) + \cos(12 \pi t))

Las frecuencias resultantes muestran que se tienen la 1ra y 3ra armónicas de la frecuencia fundamental de 2 Hz. Los coeficientes de la expresión en términos k de armónicas son:

a_k	cuando
0	k = 0
-/+ j 3/8	k = ±1
0	k = ±2
± j 1/8	k = ±3

que se pueden observar en el espectro de frecuencias.

x_senales: 
senal:   sin(4*pi*t)
  espectro:
   freq : [-2.  2.]
   ampl : [1/2 1/2]
   fase : [pi/2 -pi/2]
   etiq : ['$\\frac{1}{2}$$ e^j(\\frac{\\pi}{2})$'
 '$\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\frac{\\pi}{2})$']
   x_expand : I*(-I*sin(4*pi*t) + cos(4*pi*t))/2 - I*(I*sin(4*pi*t) + cos(4*pi*t))/2
   freq_max : 2.0
   freq_min : 2.0
   BW : 0.0
senal:   sin(4*pi*t)**3
  espectro:
   freq : [-6. -2.  2.  6.]
   ampl : [1/8 3/8 3/8 1/8]
   fase : [-pi/2 pi/2 -pi/2 pi/2]
   etiq : ['$\\frac{1}{8}$$ e^j(- \\frac{\\pi}{2})$'
 '$\\frac{3}{8}$$ e^j(\\frac{\\pi}{2})$'
 '$\\frac{3}{8}$$ e^j(- \\frac{\\pi}{2})$'
 '$\\frac{1}{8}$$ e^j(\\frac{\\pi}{2})$']
   x_expand : 3*I*(-I*sin(4*pi*t) + cos(4*pi*t))/8 - 3*I*(I*sin(4*pi*t) + cos(4*pi*t))/8 - I*(-I*sin(12*pi*t) + cos(12*pi*t))/8 + I*(I*sin(12*pi*t) + cos(12*pi*t))/8
   freq_max : 6.0
   freq_min : 2.0
   BW : 4.0

se observa que la frecuencia fundamental en ambos casos es 2Hz

gráfica de espectro de frecuencias

[ periodo fundamental ] [ frecuencia fundamental ] [ señal a exponente ]