{"id":216,"date":"2011-09-19T15:26:01","date_gmt":"2011-09-19T20:26:01","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/tema\/?page_id=216"},"modified":"2011-09-19T15:26:01","modified_gmt":"2011-09-19T20:26:01","slug":"limites","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/tema\/limites\/","title":{"rendered":"Limites"},"content":{"rendered":"

L\u00cdMITES<\/strong><\/p>\n

<\/strong> E<\/strong>l concepto de l\u00edmite es la base fundamental con la que se construye el c\u00e1lculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el l\u00edmite<\/em> es el valor al que tiende una funci\u00f3n cuando la variable independiente tiende a un n\u00famero determinado o al infinito.<\/p>\n

Definici\u00f3n de l\u00edmite<\/strong><\/p>\n

Antes de establecer la definici\u00f3n formal del l\u00edmite de una funci\u00f3n en general vamos a observar qu\u00e9 sucede con una funci\u00f3n particular cuando la variable independiente tiende<\/em> (se aproxima) a un valor determinado.<\/p>\n

Ejemplo:<\/strong><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x<\/em>, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la funci\u00f3n \u00a0f<\/em> (x<\/em>):<\/p>\n\n\n\n\n
x<\/em><\/td>\nf <\/em>(x<\/em>)<\/td>\nCuando x<\/em> se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, \u00a0f<\/em> (x<\/em>) se aproxima, tiende, cada vez m\u00e1s a 3; y cuanto m\u00e1s cerca est\u00e1 x<\/em> de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x<\/em> y 2 es m\u00e1s peque\u00f1a asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre \u00a0f<\/em> (x<\/em>) y 3 se hace cada vez m\u00e1s peque\u00f1a. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la funci\u00f3n se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima tambi\u00e9n a un valor constante.<\/td>\n<\/tr>\n
1.9<\/p>\n

1.99<\/p>\n

1.999<\/p>\n

1.9999<\/p>\n

2.0001<\/p>\n

2.001<\/p>\n

2.01<\/p>\n

2.1<\/td>\n

2.61<\/p>\n

2.9601<\/p>\n

2.996001<\/p>\n

2.99960001<\/p>\n

3.00040001<\/p>\n

3.004001<\/p>\n

3.0401<\/p>\n

3.41<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n\n\n\n
|x<\/em> - 2|<\/td>\n| f<\/em> (x<\/em>) - 3|<\/td>\n<\/tr>\n
|1.9-2| = 0.1<\/p>\n

|1.99-2| = 0.01<\/p>\n

|1.999-2| = 0.001<\/p>\n

|1.9999-2| = 0.0001<\/p>\n

|2.0001-2| = 0.0001<\/p>\n

|2.001-2| = 0.001<\/p>\n

|2.01-2| = 0.01<\/p>\n

|2.1-2| = 0.1<\/td>\n

|2.61-3| = 0.39<\/p>\n

|2.9601-3| = 0.0399<\/p>\n

|2.996001-3| = 0.003999<\/p>\n

|2.99960001-3| = 0.00039999<\/p>\n

|3.00040001-3| = 0.00040001<\/p>\n

|3.004001-3| = 0.004001<\/p>\n

|3.0401-3| = 0.0401<\/p>\n

|3.41-3| = 0.41<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

De lo anterior se deduce intuitivamente que el l\u00edmite de la funci\u00f3n \u00a0f<\/em> (x<\/em>) cuando x<\/em> tiende a 2, es 3.<\/p>\n

Ahora, pasamos a dar la definici\u00f3n formal de l\u00edmite:<\/p>\n\n\n\n
Definici\u00f3n \u00e9psilon-delta<\/strong><\/p>\n

Sea \u00a0f<\/em> una funci\u00f3n definida en alg\u00fan intervalo abierto que contenga a a<\/em>. El l\u00edmite de f <\/em>(x<\/em>) cuando x<\/em> tiende a a<\/em> es L<\/em>, y se escribe <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Nota<\/span>: no es necesario que f<\/em> este definida en a<\/em> para que el l\u00edmite exista<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Teoremas sobre l\u00edmites<\/strong><\/h1>\n

\n
<\/h1>\n

A trav\u00e9s de ejemplos estableceremos, sin demostraci\u00f3n, algunos teoremas importantes que nos permitir\u00e1n hacer el c\u00e1lculo de l\u00edmites de funciones a mano.<\/p>\n

\n
\n

L\u00edmite de una funci\u00f3n constante<\/em><\/strong><\/h1>\n

Sea f(x)=k<\/em>, donde k<\/em> es una constante. A continuaci\u00f3n se muestra el l\u00edmite de f(x)<\/em> cuando xa<\/em>,
\npara a=4<\/em>.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Por la izquierda<\/th>\nPor la derecha<\/th>\n<\/tr>\n
x<\/em><\/th>\nf(x)<\/em><\/th>\nx<\/em><\/th>\nf(x)<\/em><\/th>\n<\/tr>\n
3.75<\/td>\nk<\/em><\/td>\n4.25<\/td>\nk<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
3.9375<\/td>\nk<\/em><\/td>\n4.0625<\/td>\nk<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
3.98437<\/td>\nk<\/em><\/td>\n4.01562<\/td>\nk<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
3.99609<\/td>\nk<\/em><\/td>\n4.00391<\/td>\nk<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
3.99902<\/td>\nk<\/em><\/td>\n4.00098<\/td>\nk<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Habr\u00e1s notado que independientemente del valor del n\u00famero a<\/em> y de la constante k<\/em>, el l\u00edmite es siempre k<\/em>. Por lo tanto proponemos el siguiente teorema:<\/p>\n\n\n\n
\n

Teorema 1: L\u00edmite de una funci\u00f3n constante.<\/strong><\/h2>\n

L\u00edmite de una funci\u00f3n constante. Sea f(x)=k<\/em> (constante), entonces:<\/p>\n\n\n\n\n
L\u00edm f(x) = <\/em><\/td>\nL\u00edm k = <\/em><\/td>\nk<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
xa<\/em><\/td>\nxa<\/em><\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\n
\n

L\u00edmite de f(x)=x cuando xa<\/em><\/strong><\/h1>\n

Sea f(x)=x<\/em>. A continuaci\u00f3n se muestra el l\u00edmite de f(x) <\/em>cuando xa<\/em>, para a=4<\/em>.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Por la izquierda<\/th>\nPor la derecha<\/th>\n<\/tr>\n
x<\/em><\/th>\nf(x)<\/em><\/th>\nx<\/em><\/th>\nf(x)<\/em><\/th>\n<\/tr>\n
3.75<\/td>\n3.75<\/td>\n4.25<\/td>\n4.25<\/td>\n<\/tr>\n
3.9375<\/td>\n3.9375<\/td>\n4.0625<\/td>\n4.0625<\/td>\n<\/tr>\n
3.98437<\/td>\n3.98437<\/td>\n4.01562<\/td>\n4.01562<\/td>\n<\/tr>\n
3.99609<\/td>\n3.99609<\/td>\n4.00391<\/td>\n4.00391<\/td>\n<\/tr>\n
3.99902<\/td>\n3.99902<\/td>\n4.00098<\/td>\n4.00098<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

La tabla anterior sugiere el siguiente teorema:<\/p>\n\n\n\n
\n

Teorema 2: L\u00edmite de f(x)=x.<\/em><\/strong><\/h2>\n

Sea f(x)=x<\/em>. Entonces:<\/p>\n\n\n\n\n
Lim f(x) = <\/em><\/td>\nLim x = <\/em><\/td>\na<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
xa<\/em><\/td>\nxa<\/em><\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\n
\n

L\u00edmite de una funci\u00f3n multiplicada por una constante<\/em><\/strong><\/h1>\n

Sea k<\/em> una constante y f(x)<\/em> una funci\u00f3n cualquiera. En la siguiente tabla evaluaremos dos l\u00edmites: en la columna izquierda evaluaremos Lim k f(x)<\/em> y en la derecha evaluaremos k Lim f(x)<\/em>, ambos cuando x<\/em> tiende a a=-1<\/em>. En este ejemplo, k=2<\/em> y f(x)=3x-2<\/em>.<\/p>\n

Compara los valores de las dos columnas.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
x<\/em><\/th>\n[k f(x)]<\/em><\/th>\nk [f(x)]<\/em><\/th>\n<\/tr>\n
-1.25<\/td>\n-11.5<\/td>\n-11.5<\/td>\n<\/tr>\n
-1.0625<\/td>\n-10.375<\/td>\n-10.375<\/td>\n<\/tr>\n
-1.01563<\/td>\n-10.0937<\/td>\n-10.0937<\/td>\n<\/tr>\n
-1.00391<\/td>\n-10.0234<\/td>\n-10.0234<\/td>\n<\/tr>\n
-1.00098<\/td>\n-10.0059<\/td>\n-10.0059<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Como habr\u00e1s observado, los valores de las dos columnas son iguales. Entonces tenemos el siguiente teorema:<\/p>\n\n\n\n
\n

Teorema 3: L\u00edmite de una funci\u00f3n multiplicada por una constante.<\/strong><\/h2>\n

Sea k<\/em> una constante y f(x)<\/em> una funci\u00f3n dada. Entonces:<\/p>\n\n\n\n\n
Lim k f(x) = <\/em><\/td>\nk <\/em><\/td>\nLim f(x)<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
xa<\/em><\/td>\n<\/td>\nxa<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\n
\n

L\u00edmite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones<\/em><\/strong><\/h1>\n

Sean f(x)<\/em> y g(x)<\/em> dos funciones cuyos l\u00edmites existen cuando xa<\/em>. En la siguiente tabla observaremos los valores de f, g, f+g, f-g, fg y f\/g<\/em> cuando x<\/em> se acerca a un n\u00famero a<\/em>.<\/p>\n

En este ejemplo, f(x)=x2<\/sup>+1, g(x)=x+2, a=2<\/em><\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
f(x)<\/em><\/th>\ng(x)<\/em><\/th>\nf(x)+g(x)<\/em><\/th>\nf(x)-g(x)<\/em><\/th>\nf(x)g(x)<\/em><\/th>\nf(x)\/g(x)<\/em><\/th>\n<\/tr>\n
5.84<\/td>\n4.2<\/td>\n10.04<\/td>\n1.64<\/td>\n24.528<\/td>\n1.39048<\/td>\n<\/tr>\n
5.0804<\/td>\n4.02<\/td>\n9.1004<\/td>\n1.0604<\/td>\n24.4232<\/td>\n1.26378<\/td>\n<\/tr>\n
5.008<\/td>\n4.002<\/td>\n9.01<\/td>\n1.006<\/td>\n20.042<\/td>\n1.25138<\/td>\n<\/tr>\n
5.0008<\/td>\n4.0002<\/td>\n9.001<\/td>\n1.0006<\/td>\n20.0042<\/td>\n1.25014<\/td>\n<\/tr>\n
5.00008<\/td>\n4.00002<\/td>\n9.0001<\/td>\n1.00006<\/td>\n20.0004<\/td>\n1.25001<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Observa bien la tabla. Relaciona los l\u00edmites de f <\/em>y g<\/em> con los l\u00edmites de f+g<\/em> , f-g<\/em>, fg<\/em> y f\/g<\/em>. La tabla sugiere el siguiente teorema:<\/p>\n\n\n\n
\n

Teorema 4: L\u00edmite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones<\/h2>\n

Sup\u00f3ngase que<\/p>\n\n\n\n\n
Lim F(x) = L1<\/em><\/td>\ny <\/em><\/td>\nLim G(x) = L2<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
xa<\/em><\/td>\n<\/td>\nxa<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Entonces:<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
1.<\/td>\nLim[ F(x)+G(x) ] = <\/em><\/td>\nL1 + L2 <\/em><\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\nxa<\/em><\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
2.<\/td>\nLim[ F(x) - G(x) ] = <\/em><\/td>\nL1 - L2<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\nxa<\/em><\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
3.<\/td>\nLim[ F(x) G(x) ] = <\/em><\/td>\nL1 * L2<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\nxa<\/em><\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
4.<\/td>\nLim[ F(x) \/ G(x) ] = <\/em><\/td>\nL1 \/ L2<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\nxa<\/em><\/td>\nsi L2<\/em> no es igual a cero<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\n
\n

El l\u00edmite de una potencia<\/em><\/strong><\/h1>\n

A continuaci\u00f3n calcularemos valores de f(x)=xn<\/sup><\/em> para n<\/em> entero positivo conforme xa<\/em>. En la tabla, a=2<\/em> y n=3<\/em>.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
x<\/th>\nxn<\/sup><\/th>\nan<\/sup><\/th>\n<\/tr>\n
1.75<\/td>\n5.35937<\/td>\n8.0<\/td>\n<\/tr>\n
1.9375<\/td>\n7.27319<\/td>\n8.0<\/td>\n<\/tr>\n
1.98437<\/td>\n7.81396<\/td>\n8.0<\/td>\n<\/tr>\n
1.99609<\/td>\n7.95322<\/td>\n8.0<\/td>\n<\/tr>\n
1.99902<\/td>\n7.98829<\/td>\n8.0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

El resultado anterior sugiere el siguiente teorema:<\/p>\n\n\n\n
\n

Teorema 5: L\u00edmite de una potencia.<\/h2>\n

Sea n<\/em> un entero positivo, entonces:<\/p>\n\n\n\n\n
Lim xn <\/sup>= <\/em><\/td>\nan<\/sup><\/em><\/td>\n<\/tr>\n
xa<\/em><\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Los teoremas 4 y 5 tienen como consecuencia los siguientes dos teoremas:<\/p>\n\n\n\n
\n

Teorema 6: L\u00edmite de un polinomio.<\/strong><\/h2>\n

El l\u00edmite de un polinomio. Sea f(x)<\/em> una funci\u00f3n polinomial, entonces:<\/p>\n\n\n\n\n
Lim f(x) = <\/em><\/td>\nf(a)<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
xa<\/em><\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n\n\n
\n

Teorema 7: L\u00edmite de una funci\u00f3n racional.<\/h2>\n

Sea f(x)=p(x)\/q(x)<\/em> un cociente de polinomios, entonces:<\/p>\n\n\n\n\n
Lim f(x) = <\/em><\/td>\np(a)\/q(a)<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
xa<\/em><\/td>\nsi q(a)<\/em> no es cero.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\n
\n<\/h1>\n

L\u00edmite de una funci\u00f3n que contiene un radical<\/em><\/strong><\/h1>\n

A continuaci\u00f3n calcularemos valores de la ra\u00edz-n<\/em> de x<\/em>, es decir, x(1\/n)<\/sup><\/em> conforme xa<\/em>. Si a>0<\/em> entoces n<\/em> puede ser cualquier entero positivo, pero si a<0<\/em>, n<\/em> debe ser un entero impar. En la tabla, a=3<\/em> y n=2<\/em>.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
x<\/th>\nx(1\/n)<\/sup><\/th>\na(1\/n)<\/sup><\/th>\n<\/tr>\n
2.75<\/td>\n1.65831<\/td>\n1.73205<\/td>\n<\/tr>\n
2.9375<\/td>\n1.71391<\/td>\n1.73205<\/td>\n<\/tr>\n
2.98437<\/td>\n1.72753<\/td>\n1.73205<\/td>\n<\/tr>\n
2.99609<\/td>\n1.73092<\/td>\n1.73205<\/td>\n<\/tr>\n
2.99902<\/td>\n1.73177<\/td>\n1.73205<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Lo anterior sugiere el pr\u00f3ximo teorema.<\/p>\n\n\n\n
\n

Teorema 8: L\u00edmite de una funci\u00f3n que contiene un radical.<\/h2>\n

Si a>0<\/em> y n <\/em>es cualquier entero positivo, o si a<0<\/em> y n<\/em> es un entero positivo impar, entonces:<\/p>\n\n\n\n\n
Lim x(1\/n)<\/sup> = <\/em><\/td>\na(1\/n)<\/sup><\/em><\/td>\n<\/tr>\n
xa<\/em><\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\n
\n<\/h1>\n

El l\u00edmite de una funci\u00f3n compuesta<\/em><\/strong><\/h1>\n

La inmensa mayor\u00eda de las funciones pueden ser vistas como composiciones de funciones m\u00e1s simples. Los teoremas que hemos \"descubierto\" se refieren a un peque\u00f1o grupo de funciones importantes.Trataremos de intuir las propiedades del l\u00edmite de una funci\u00f3n compuesta (fog )(x) = f[g(x)]<\/em>. En la pr\u00f3xima tabla, calcularemos valores de g(x)<\/em> conforme xa<\/em>, y los comparar\u00e1s con el n\u00famero f(L)<\/em>, donde L=Lim g(x)<\/em>. En este ejemplo, f(x) = x1\/2<\/sup>, g(x) = x2<\/sup> + 4, <\/em>y a = 3.<\/em><\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
x<\/th>\ng(x)<\/th>\nf[g(x)]<\/th>\nf(L)<\/th>\n<\/tr>\n
2.75<\/td>\n11.5625<\/td>\n3.40037<\/td>\n3.60555<\/td>\n<\/tr>\n
2.9375<\/td>\n12.6289<\/td>\n3.55372<\/td>\n3.60555<\/td>\n<\/tr>\n
2.98437<\/td>\n12.9065<\/td>\n3.59256<\/td>\n3.60555<\/td>\n<\/tr>\n
2.99609<\/td>\n12.9766<\/td>\n3.6023<\/td>\n3.60555<\/td>\n<\/tr>\n
2.99902<\/td>\n12.9941<\/td>\n3.60474<\/td>\n3.60555<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

La tabla anterior pretende ilustrar que Lim f(g(x))=f(Lim g(x))=f(L)<\/em>. Lo anterior sugiere el siguiente teorema:<\/p>\n\n\n\n
\n

Teorema 9:<\/strong> El l\u00edmite de una funci\u00f3n compuesta.<\/h2>\n

Si f <\/em>y g<\/em> son funciones tales que:<\/p>\n\n\n\n\n
Lim g(x) = L<\/em><\/td>\ny <\/em><\/td>\nLim f(x) = f(L)<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
xa<\/em><\/td>\n<\/td>\nxL<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

entonces,<\/p>\n\n\n\n\n
Lim f [g(x)] = <\/em><\/td>\nf(L)<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
xa<\/em><\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

La definici\u00f3n formal de l\u00edmite<\/strong><\/h1>\n

\n
<\/h1>\n

En esta secci\u00f3n trataremos de ilustrar gr\u00e1ficamente el concepto de l\u00edmite y su definici\u00f3n formal. Analiza la siguiente animaci\u00f3n y observa que sucede con los valores f(x)<\/em> cuando x<\/em> se acerca a un n\u00famero a<\/em>.<\/p>\n

Observa en la animaci\u00f3n anterior que cuanto m\u00e1s cerca est\u00e1 x<\/em> del n\u00famero a=1<\/em>, los valores de la funci\u00f3n est\u00e1n m\u00e1s cerca del n\u00famero L=2<\/em>. De manera equivalente, para que los valores de la funci\u00f3n est\u00e9n cada vez m\u00e1s cerca del n\u00famero L=2<\/em>, es necesario que los valores de x<\/em> est\u00e9n suficientemente<\/strong> cerca del n\u00famero a=1<\/em>.<\/p>\n\n\n\n
\n
Definici\u00f3n formal de L\u00edmite:<\/span><\/dt>\n\n\n\n\n
Lim f(x)=L,<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
xa<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
si para todo\u00a0>0<\/em>, existe un\u00a0>0 <\/em>tal que <\/dd>\n

|f(x)-L|<<\/em> cuando |x-a|<<\/em>.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

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L\u00edmites que no existen<\/em><\/strong><\/h1>\n

A continuaci\u00f3n damos dos ejemplos de un l\u00edmite que no existe.<\/p>\n