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Regla del Trapecio
Referencia: Chapra 21.1 p621 Burden 4.3 p142, Rodríguez 7.1.1 p27
La integración numérica con la regla del trapecio usa un polinomio de primer grado como aproximación de f(x) entre los extremos a y b del intervalo.
Es la primera de las formulas cerradas de Newton-Cotes.
I = \int_a^b f(x) dx \cong \int_a^b f_1 (x) dxusando el rango entre [a,b] el polinomio se aproxima con una línea recta:
f_1 (x) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)el área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b.
El resultado del integral es la regla del trapecio:
I = (b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}que se interpreta como la multiplicación entre la base y altura promedio de un trapecio. También se llega al resultando sumando las áreas de sus componentes: rectángulo y triángulo.
El error de truncamiento se encuentra como el integral del término que le sigue al polinomio de Taylor en la aproximación, es decir el de grado 2, que al integrarlo tiene un orden de h3. (Rodríguez p275)
error_{truncar} = -\frac{h^3}{12}f''(z)a < z < b
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Ejemplo de Integración con el método del trapecio
Para integrar la función en el intervalo [1,3] con 4, 16, 32 ,64 y 128 tramos,
f(x)= \sqrt {(x)} \sin(x)
Tramos = 4
La base de los trapecios (xi-xi+1), si esta base tiene valores equidistantes se sustituye por la variable h .
base =\frac{b-a}{tramos}=\frac{3-1}{4}= 0.5 = hpara cada tramo, el área de un trapecio es:
A_i = base\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}por lo que cada trapecio en cada sub-intervalo tendrá un área de:
A_1 = (0.5)\frac{f(1)+f(1.5)}{2} A_2 = (0.5)\frac{f(1.5)+f(2)}{2} A_3 = (0.5)\frac{f(2)+f(2.5)}{2} A_4 = (0.5)\frac{f(2.5)+f(3)}{2}y el integral de todo el intervalo es la suma de todos los trapecios.
Integral = A_1+ A_2+ A_3+A_4si se quiere tomar el factor común entre las sumas de áreas de cada tramo, también se tiene la forma de la ecuación con un h equidistante entre cada tramo del intervalo.
Integral = \frac{0.5}{2}\Big(f(1)+2f(1.5) +2f(2)+2f(2.5)+f(3)\Big)Interpretando la fórmula, el integral es la suma de:
- una vez la función evaluada en cada extremo,
- mas dos veces cada valor de la función evaluada en los puntos intermedios.
- El resultado de la suma se multiplica por h/2.
En caso que los puntos no sean equidistantes la simplificación NO procede, y se sumaran las áreas de los trapecios de cada tramo.
Siguiendo el procedimiento, para cada cantidad de tramos en el intervalo, los resultados serán:
tramos: 4 Integral: 1.99841708623
tramos: 16 Integral: 2.05019783717
tramos: 32 Integral: 2.05277225085
tramos: 64 Integral: 2.05341563776
tramos: 128 Integral: 2.05357647096
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Algoritmo en Python – Regla o Método del trapecio
Algoritmo con fórmula simplificada para varios tramos, con puntos de muestras equidistantes h.
# Integración: Regla de los trapecios # Usando una función fx() import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO fx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x) # intervalo de integración a = 1 b = 3 tramos = 4 # PROCEDIMIENTO # Regla del Trapecio # Usando tramos equidistantes en intervalo h = (b-a)/tramos xi = a suma = fx(xi) for i in range(0,tramos-1,1): xi = xi + h suma = suma + 2*fx(xi) suma = suma + fx(b) area = h*(suma/2) # SALIDA print('tramos: ', tramos) print('Integral: ', area)
La gráfica como ayuda didáctica, si la cantidad de tramos sea «poca», muestra los trapecios, si aumenta la cantidad de tramos, no es necesario poner líneas verticales en blanco para separar los trapecios:
# GRAFICA # Puntos de muestra muestras = tramos + 1 xi = np.linspace(a,b,muestras) fi = fx(xi) # Linea suave muestraslinea = tramos*10 + 1 xk = np.linspace(a,b,muestraslinea) fk = fx(xk) # Graficando plt.plot(xk,fk, label ='f(x)') plt.plot(xi,fi, marker='o', color='orange', label ='muestras') plt.xlabel('x') plt.ylabel('f(x)') plt.title('Integral: Regla de Trapecios') plt.legend() # Trapecios plt.fill_between(xi,0,fi, color='g') for i in range(0,muestras,1): plt.axvline(xi[i], color='w') plt.show()
Para rellenar el área bajo la curva se usa la instrucción plt.fill_between(xi,0,fi, color=’g’). La división de los trapecios con una línea blanca (white) se realiza con la instrucción plt.axvline(xi[i], color=’w’).
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Algoritmo como función de Python
Caso: f(x) es una expresión matemática
A partir del ejercicio anterior, se resume en una función de Python si la entrada f(x) es una expresión matemática:
def integratrapecio(fx,a,b,tramos): h = (b-a)/tramos xi = a suma = fx(xi) for i in range(0,tramos-1,1): xi = xi + h suma = suma + 2*fx(xi) suma = suma + fx(b) area = h*(suma/2) return(area)
Caso: x[i], f[i] son muestras
Algoritmo usando las muestras y para tramos que pueden tener distancias arbitrarias. En este caso se usa la formula del área del trapecio para cada tramo.
Usado para ejercicios donde los datos proporcionados son muestras. Se adapta el bloque de ingreso y el procedimiento inicia desde «Regla de Trapecio». La cantidad de tramos será el numero de muestras menos uno tramos = len(xi) - 1
# Integración: Regla de los trapecios # Usando una muestras xi,fi import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def integratrapecio_fi(xi,fi): ''' sobre muestras de fi para cada xi integral con método de trapecio ''' n = len(xi) suma = 0 for i in range(0,n-1,1): dx = xi[i+1]-xi[i] untrapecio = dx*(fi[i+1]+fi[i])/2 suma = suma + untrapecio return(suma) # PROGRAMA ----------------- # INGRESO xi = [1. , 1.5, 2. , 2.5, 3. ] fi = [0.84147098, 1.22167687, 1.28594075, 0.94626755, 0.24442702] # PROCEDIMIENTO Area = integratrapecio_fi(xi,fi) # SALIDA print('tramos: ',len(xi)-1) print('Integral con trapecio: ',Area)
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