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2Eva_2021PAOII_T3 EDP – Línea de transmisión sin pérdidas

2da Evaluación 2021-2022 PAO II. 25/Enero/2022

Tema 3. (40 puntos) En una línea de transmisión eléctrica de longitud 200 m en forma de cable coaxial, que conduce una corriente alterna de alta frecuencia, para el ejercicio se considera la línea “sin pérdida” o sin resistencia equivalente.


El voltaje V en el cable se describe por medio de:

\frac{\partial ^2 V}{\partial x^2} =LC \frac{\partial ^2 V}{\partial t^2}
0 < x < 200
t>0

Donde:
L = 0.1 Faradios/m, es la inductancia por longitud unitaria y
C = 0.3 Henrios/m es la capacitancia por longitud unitaria

Suponga que el voltaje y la corriente también satisfacen:

V(0,t) = V(200,t) = 0
V(x,0) = 110 \sin \frac{\pi x}{200}
\frac{\partial V}{\partial t}(x,0) = 0

Aplique un método numérico para encontrar voltaje o corriente usando Δx = 10, Δt = 0.1 y muestre:

a. la grafica de malla
b. ecuaciones de diferencias divididas a usar
c. encuentre las ecuaciones considerando las condiciones dadas en el problema.
d. determine el valor de λ, agrupando las constantes durante el desarrollo, revise la convergencia del método.
e. Resuelva para tres pasos
f. Estime el error (solo plantear)
g. Aproxime la solución para t=0.2 y t=0.5

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), aplicación de condiciones iniciales (5 puntos), literal e (10 puntos), literal f (5 puntos). literal g, usando algoritmo (5 puntos)

Referencia: Burden 9Ed Ejercicios 12.3.8 p745

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2Eva_2021PAOII_T2 EDO – Embudos cónicos para llenar botellas

2da Evaluación 2021-2022 PAO II. 25/Enero/2022

Tema 2. (30 puntos) Los embudos cónicos se usan en la industria de bebidas, por ejemplo para el llenado de botellas y tanques de almacenamiento.

Para la sección correspondiente al embudo cónico mostrado en la figura, se tiene como nivel inicial y(0) = 150 mm, diámetro de salida d = 10 mm, la gravedad es 9.8 m/s2, siendo Θ= π/4.

Usando los conceptos de flujo volumétrico q = A Vsalida, siendo A el área transversal del embudo, ∆V=q ∆t , la perdida de volumen ∆V=-(πr2)Δy , que tanΘ = y/r , con la fórmula de Bernoulli  V_{salida} = \sqrt{2gy} .

Al sustituir en las ecuaciones se tiene:

- \pi y(t)^2 \Delta y = \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{2g\text{ }y(t)} \Delta t

Reordenando se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria.

\frac{\delta y(t)}{\delta t} + \frac{d^2}{4}\sqrt{2 g \text{ }y(t)}\Bigg[\frac{tan \theta}{y(t)} \Bigg]^2 = 0

a) Plantee el la solución para y(t), usando el método de Runge-Kutta de 2do orden

b) Desarrolle al menos 3 iteraciones del método con sus expresiones completas. Considere h = 0.5

c) usando el algoritmo, encuentre el tiempo en que se vacía el embudo.

Nota: Considere revisar las unidades de medida de cada parámetro

Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), literal b planteamient con el método de 2do orden (10 puntos), literal b, iteraciones (10 puntos). literal c (5 puntos).

Referencias: Zill Dennis, Ecuaciones Diferenciales 9Ed, Ejercicios 1.3.14 p.29. Embudo. Materiales de laboratorio. https://materialeslaboratorio.com/embudo/

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2Eva_2021PAOII_T1 Promedio de precipitación de lluvia en área

2da Evaluación 2021-2022 PAO II. 25/Enero/2022

Tema 1 (30 puntos) Un mapa asociado al clima muestra los resultados de precipitación que dejó a su paso el Huracán Karl en el año 2010.

Se registró entre 4 a 8 pulgadas de lluvia. El área en observación tiene una extensión de 300 millas de este a oeste y 250 millas de norte a sur.

f(xi,yj)
i \ j 1 2 3 4 5 6
1 0.02 0.36 0.82 0.65 1.7 1.52
2 3.15 3.57 6.25 5 3.88 1.8
3 0.98 0.98 2.4 1.83 0.04 0.01
4 0.4 0.04 0.03 0.03 0.01 0.08

Para las mediciones, se divide el área del mapa en 6 tramos para el eje x, 4 tramos para el eje y, con lo que se encuentran los valores presentados en la tabla.

a) Determine los valores para Δx, Δy.

b) Estime al promedio de precipitación lluviosa en toda el área para los datos registrados para dos días, usando la forma compuesta de Simpson.

f_{promedio} = \frac{1}{A_R} \int \int_R f(x,y) \delta x \delta y

c) Calcule el error del integral

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b, con expresiones detalladas para cada eje (20 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Stewart. Calculus Example 15.1.10: Calculating Average Storm Rainfall.

A = [[0.02, 0.36, 0.82, 0.65, 1.7 , 1.52],
     [3.15, 3.57, 6.25, 5.  , 3.88, 1.8 ],
     [0.98, 0.98, 2.4 , 1.83, 0.04, 0.01],
     [0.4 , 0.04, 0.03, 0.03, 0.01, 0.08]]
base = 300
altura = 250
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2Eva_2021PAOI_T3 EDP Elíptica con valores en la frontera f(x) g(y)

2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

Tema 3 (40 puntos) Considere la siguiente ecuación diferencial parcial con valores en la frontera (PVF):

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 0 \lt x \lt \frac{1}{2}, 0 \lt y\lt \frac{1}{2} u(x,0)=0, 0 \leq x \leq \frac{1}{2} u(0,y)=0 , 0\leq y \leq \frac{1}{2} u\Big(x,\frac{1}{2} \Big) = 200 x , 0 \leq x \leq \frac{1}{2} u\Big(\frac{1}{2} ,y \Big) = 200 y , 0 \leq y \leq \frac{1}{2}

Use el método de diferencias finitas para aproximar la solución del PVF anterior tomando como tamaño de paso

h=k=\frac{1}{6}

Recuerde: presentar la malla, etiquetando cada eje con valores referenciales de los puntos seleccionados, presentar el planteamiento completo del ejercicio, usar expresiones completas en el desarrollo de cada uno de los pasos.

Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (10), construcción del sistema lineal (20), resolución del sistema (5 puntos).

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2Eva_2021PAOI_T2 EDO para cultivo de peces

2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

Tema 2 (30 puntos) “La tilapia es un pescado que muestra crecimiento en su consumo” y producción en el país.

La actual situación comercial es estable y sin bajas en el precio.

“Santo Domingo es una provincia con una buena cantidad de piscinas para su cultivo. Aunque lo comercializan al fresco, ya que no tienen el equipo para empacar para exportación.”

Suponga una piscina de cultivo donde no existen depredadores y con alimento suficiente para que los peces no luchen por la comida.

Los peces se capturan a intervalos periódicos descritos por la función h(t) mostrada, con a=0.9 y b=0.75, constantes a > b y t>0 el tiempo en años.

h(t) = a + b \sin (2 \pi t)

Se supone que los peces crecen con un ritmo proporcional a su población, entonces la ecuación diferencial dy/dt modela la población de tilapias en el tiempo y r=1 la tasa neta de crecimiento sin captura. Suponga y(0) =1

\frac{\delta y(t)}{\delta t} = r y(t)-h(t)

a) Realice el planteamiento de la solución usando Runge-Kutta 4to orden, para n=12 meses o tramos.

b) Aproxime considerando h=1/12 y realice 2 pasos usando Runge-Kutta de 2do orden, escriba las expresiones completas para los cálculos.

c) Usando el algoritmo, determine si el negocio de cultivo de tilapia con la estrategia de captura h(t) es sostenible en el tiempo. Recomiende y justifique sus conclusiones observando el comportamiento para al menos 2 años (24 meses).

Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), uso del método de 4to orden (10 puntos), iteraciones con método de segundo orden (10 puntos). literal c (5 puntos)

Referencia: El consumo de la tilapia, más económica que la carne, crece en Ecuador. Eluniverso.com. Septiembre 5,2018. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/09/05/nota/6938243/consumo-tilapia-mas-economica-que-carne-crece-ecuador/
Como empezar un Cultivo de Peces – Piscicultura – TvAgro por Juan Gonzalo Angel. https://www.youtube.com/watch?v=97qIOpSpXCs

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2Eva_2021PAOI_T1 Masa transportada por tubo

2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

Tema 1 (30 puntos) La cantidad de masa transportada, M, por un tubo durante cierto periodo de tiempo se calcula con:

M = \int_{t_1}^{t_2} Q(t)c(t) dt

Donde:
M = masa (mg)
t1 = tiempo inicial (min)
t2 = tiempo final (min)
Q(t) = tasa de flujo (m3/min)
c(t) = concentración (mg/m3)

Las representaciones funcionales siguientes definen las variaciones temporales en el flujo y la concentración:

Q(t)=9+4 \cos ^2 (0.4t) c(t)=5e^{-0.5t}+2 e^{-0.15 t}

a) Determine la masa transportada entre t1 = 2 min y t2 = 8 min, usando integración numérica de Simpson 1/3 con al menos 6 tramos.

b) Estime la cota de error para el literal anterior.

c) Recomiende y justifique cómo mejorar el resultado de lo calculado de forma numérica.

Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), iteración con expresiones completas (10 puntos), tamaño de paso (5 puntos), cota error (5 puntos), literal c (5 puntos)

Referencia: Chapra ejercicio 22.14 p667. ¿Cómo funciona una refinería? https://youtu.be/tFJ064TLW4E
¿Cómo lo hacen? – Extracción de petróleo – DiscoveryMAX en Español https://youtu.be/ua8u3iSFqsc

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2Eva_IIT2019_T4 Integrar con Cuadratura de Gauss

2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

Tema 3. (25 Puntos) Considere la función f con regla de correspondencia:

f(x) = x ln(x)

Se desea aproximar el valor del integral I en el intervalo [1,4]

I = \int_a^b f(x) dx

a) Use el método de Cuadratura de Gauss con 2 términos para aproximar el valor de I en el intervalo [1,4]

Usando el método compuesto de Simpson:

I = I_s - \frac{(b-a)}{180}h^4 f^{(4)} (\xi) ; \xi \in[a,b]

Donde Is es el valor aproximado de I y h la longitud de cada intervalo.

b) Determine el mínimo número de subintervalos que permita alcanzar una tolerancia de 0.0001. NO considere errores de redondeo.

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (15 puntos)

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2Eva_IIT2019_T3 EDP elíptica, placa en (1,1)

2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

Tema 3. (30 Puntos) Para la ecuación diferencial parcial elíptica mostrada:

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}

1 <  x < 2
1 <  y < 2

Y con las siguientes condicines de frontera:

u(x,1)= x \ln (x), u(x,2) = x \ln (4x^{2}),1 \lt x \lt 2 u(1,y)= y \ln(y), u(2,y) = 2y \ln (2y), 1 \lt y \lt 2

Considere los valores hx=hy=0.25

Realice la aproximación numérica para la solución.

Para resolver el sistema de ecuaciones utilice el método de Gauss-Seidel para dos iteraciones.

Rúbrica: Plantear la malla (5 puntos), calcular los bordes (3 puntos), plantear las segundas derivadas (7 puntos), plantear las ecuaciones  (10 puntos), aproximar la solución  (5 puntos)

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2Eva_IIT2019_T2 EDO, problema de valor inicial

2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

Tema 2. (25 Puntos) Considere el problema de valor inicial:

y'(t) = f(t,y) = \frac{y}{2t^3}

0 ≤ t ≤ 1
y(0.5) = 1.5

a) Escriba la ecuación recursiva que permite aplicar el método de Taylor de orden de error p=2

b) Aproxime el valor de la solución para t= 0.6, 0.7, 0.8 usando el método de Runge-Kutta de orden 2.

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b, tres iteraciones (15 puntos)

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2Eva_IIT2019_T1 Canteras y urbanizaciones

2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

Tema 1. (20 Puntos) En el conflicto presentado entre las urbanizaciones y canteras en vía a la costa, se menciona que se ha afectado al ecosistema al disminuir la vegetación en la zona.

Una forma de observar el cambio en la zona es medir el área ocupada por cada actor.

Para la observación considere que la superficie ocupada por las urbanizaciones y canteras se describe con los siguientes datos de frontera:

Canteras– frontera superior
xi 55 85 195 305 390 780 1170
f(xi) 752 825 886 1130 1086 1391 1219
Canteras- frontera inferior
xi 55 … 705 705 850 850 1010 1170
f(xi) 260 … 260 550 741 855 855 1055
Urbanización – frontera superior
xi 720 800 890 890 1170 1220
g(xi) 527 630 630 760 760 533
Urbanización – frontera inferior
xi 720 … 1220
g(xi) 0 … 0

Nota: Observe que los tamaños de paso no son todos regulares

Usando el método del trapecio, determine:

a) El área de operación de la cantera

b) El área ocupada por la urbanización

c) ¿Se puede mejorar la precición del cálculo de las áreas, sin quitar o aumentar datos? Justifique su respuesta e indique cómo y dónde.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b(5 puntos), literal c: cómo (5 puntos), dónde(5 puntos)

Referencia: Google Maps Enero 2019.
Dos bosques cercados por el crecimiento de Guayaquil. 27- Julio-2014.
https://www.eluniverso.com/noticias/2014/07/27/nota/3282036/dos-bosques-cercados-urbe-que-crece
La remediación ambiental en vía a la costa tomará giro legal. 02-Enero-2020.
https://www.expreso.ec/guayaquil/remediacion-ambiental-via-costa-tomara-giro-legal-2518.html