Categoría: 2da Evaluación

2da Evaluación 2023-2024 PAO I. 29/Agosto/2023

Tema 2 (35 puntos) Una mejor aproximación a un péndulo oscilante con un ángulo θ más amplio y con un coeficiente de amortiguamiento μ se expresa con una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\mu \frac{d\theta}{ dt}-\frac{g}{L}\sin (\theta)$

g = 9.81 m/s²
L = 2 m
θ(0) = π/4 rad
θ’ (0) = 0 rad/s

El péndulo se suelta desde el reposo, desde un ángulo de π/4 respecto al eje vertical. El coeficiente de amortiguamiento μ=0.5 es proporcional a la velocidad angular.

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para θ(t) con tamaño de paso h=0.2

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución entre t=0 a t=10 s, adjunte sus resultados en la evaluación.

d. Realice una observación sobre el movimiento estimado del péndulo a lo largo del tiempo.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: 2Eva_IT2019_T2 Péndulo vertical

Vista general de ecuaciones diferenciales I Capítulo 1, 6min 54s. 3Blue1Brown 31-Marzo-2023.

2da Evaluación 2022-2023 PAO II. 24/Enero/2023

Tema 1. (35 puntos) En el libro titulado “Looking at History Through Mathematics”, Rashevsky propone un modelo que se puede relacionar con el “protestantismo” en el siglo XVI como una reacción y denuncia de abusos impuestos sobre la sociedad de la época.

En un modelo de Rashevsky modificado con la ecuación logística de Verhulst, la población x(t) de individuos en la sociedad para cada año t, con tasas de natalidad b=0.02 y mortalidad d=0.015, cambia según la ecuación:

$\frac{\delta}{\delta t}x(t) = b x(t) - d (x(t))^2$ $x(0)=1$

La cantidad de individuos “protestantes” y(t) en la población se incrementa según la ecuación diferencial compuesta de dos términos.

$\frac{\delta}{\delta t}y(t) = b y(t) - d (y(t))^2 +r b (x(t)-y(t))$ $y(0)=0.01$

El primer término supone que todas familias de padre y madre “protestantes” tienen hijos que también se identifican como tales.

El segundo término supone que una porción r = 0.1 de jóvenes descendientes de los “conformistas” al meditar sobre la situación actual, los hechos y los argumentos de protesta se convierten a “protestantes”.

a.       Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b.       Desarrolle tres iteraciones para x(t), y(t) con tamaño de paso h=0.5.

c.       Usando el algoritmo, aproxime la solución entre t=0 a t=200 años, adjunte sus resultados en la evaluación.

d.       Realice una observación sobre el crecimiento de población y(t) a lo largo del tiempo.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Burden 5.2 Ejercicio 17 p276, Rashevsky, MIT 1968. pp102-110, Protestantismo https://es.wikipedia.org/wiki/Protestantismo. 3Eva_IIT2014_T2 Crecimiento demográfico. http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/3eva_iit2014_t2-crecimiento-demografico/

La Reforma protestante y Lutero. Academia Play. 27 agosto 2019

 

2da Evaluación 2022-2023 PAO I. 30/Agosto/2022

Tema 2. (30 puntos) El circuito de la figura 2a tiene el interruptor en posición cerrada por largo tiempo antes de t=0, con lo que la corriente en el inductor será de 2 Amperios, y(0)=2. Para t<0, el inductor opera como un conductor sin caída de voltaje, el capacitor está cargado a 10V y solo pasaría corriente por la resistencia de 5 Ohm.

En el tiempo t=0, el interruptor se abre de forma instantánea y el circuito cambia al modelo de la figura 2b.

La corriente del inductor y(t) para t≥0 está dada por la ecuación:

$\frac{\delta}{\delta t}y(t) + 2 y(t) + 5 \int_{-\infty}^t y(\tau) \delta \tau = 10 \mu(t)$

En t=0, luego de abrir el interruptor, los voltajes de la fuente y el capacitor son iguales. La corriente inicial sobre el resistor de 2 A genera un voltaje que se compensa con el voltaje del inductor pero en signo opuesto. Lo que implica que y’(0) = -4

$V_{Inductor} = - V_{resistor}$ $y'(0) = -4$

Derive la expresión de corrientes y(t) para obtener una ecuación diferencial ordinaria.

a) Realice el planteamiento del problema usando el método de Runge-Kutta de 2do orden para 2da derivada

b) Desarrolle las expresiones para al menos tres iteraciones usando h=0.01

c) Estime el valor del error.

d) Muestre el resultado con el algoritmo para el intervalo t entre [0,5] segundos

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Lathi B.P. Green R. Linear Systems and Signals, 3rd Edition. ejemplo 4.13 p364

2da Evaluación 2021-2022 PAO II. 25/Enero/2022

Tema 2. (30 puntos) Los embudos cónicos se usan en la industria de bebidas, por ejemplo para el llenado de botellas y tanques de almacenamiento.

Para la sección correspondiente al embudo cónico mostrado en la figura, se tiene como nivel inicial y(0) = 150 mm, diámetro de salida d = 10 mm, la gravedad es 9.8 m/s2, siendo Θ= π/4.

Usando los conceptos de flujo volumétrico q = A V_salida, siendo A el área transversal del embudo, ∆V=q ∆t , la perdida de volumen ∆V=-(πr²)Δy , que tanΘ = y/r , con la fórmula de Bernoulli  $V_{salida} = \sqrt{2gy}$.

Al sustituir en las ecuaciones se tiene:

$- \pi y(t)^2 \Delta y = \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{2g\text{ }y(t)} \Delta t$

Reordenando se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria.

$\frac{\delta y(t)}{\delta t} + \frac{d^2}{4}\sqrt{2 g \text{ }y(t)}\Bigg[\frac{tan \theta}{y(t)} \Bigg]^2 = 0$

a) Plantee el la solución para y(t), usando el método de Runge-Kutta de 2do orden

b) Desarrolle al menos 3 iteraciones del método con sus expresiones completas. Considere h = 0.5

c) usando el algoritmo, encuentre el tiempo en que se vacía el embudo.

Nota: Considere revisar las unidades de medida de cada parámetro

Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), literal b planteamient con el método de 2do orden (10 puntos), literal b, iteraciones (10 puntos). literal c (5 puntos).

Referencias: Zill Dennis, Ecuaciones Diferenciales 9Ed, Ejercicios 1.3.14 p.29. Embudo. Materiales de laboratorio. https://materialeslaboratorio.com/embudo/