Publicado en

2Eva_IT2017_T2 EDO valor de frontera

2da Evaluación I Término 2017-2018. 28/Agosto/2017. MATG1013

Tema 2. (40 puntos)

a) Usando un polinomio de grado dos obtenga una fórmula central para la primera derivada y otra para la segunda derivada (la tabla tiene al menos 3 nodos, xi-1, xi, xi+1 )

b) Use el método de diferencias finitas para aproximar la solución al siguiente problema con valor de frontera:

y'' = -3y'+2y+2x+3

0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 2
y(1) = 1
use h = 0.25

c) Estime el error

Rúbrica: Plantear un polinomio hasta 5 puntos, deducir la fórmula de la primera derivada hasta 5 puntos, deducir la fórmula de la segunda derivada hasta 5 puntos, plantear el error en las fórmulas hasta 5 puntos. Indicar los nodos en el intervalo hasta 5 puntos, plantear la ecuación en el nodo i hasta 5 puntos, resolver el sistema hasta 5 puntos y estimar el error hasta 5 puntos.

Publicado en

2Eva_IT2017_T1 Sistema Masa Resorte

2da Evaluación I Término 2017-2018. 28/Agosto/2017. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) El movimiento de un sistema acoplado masa-resorte está descrito por la ecuación diferencial ordinaria que sigue:

m\frac{\delta ^2x}{\delta t^2} + c\frac{\delta x}{\delta t} + kx =0

Donde:

x = el desplazamiento desde la posición de equilibrio (m),
t = tiempo (s),
m = 20 kg masa,
c = 5 (N s/m) coeficiente de amortiguamiento (sub_amortiguado) y
k = 20 (N/m) constante del resorte

La velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial es 1 m.

a) Resuelva esta ecuación con un método numérico para 0<= t <= 15 s, (solo planteo)

b) Realice 3 iteraciones con h=0.1 s

c) Estime el error acumulado en la tercera iteración.

Rúbrica: Plantear el sistema 5 hasta puntos, Plantear el modelo del método numérico hasta 10 puntos, Realizar 3 iteraciones hasta 10 puntos y estimar el error hasta 5 puntos.

 

Publicado en

2Eva_IIT2016_T3_MN EDO Taylor 2, Tanque de agua

2da Evaluación II Término 2016-2017. 14/Febrero/2017. ICM02188 Métodos Numérico

Tema 3.  Si se drena agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el líquido fluirá rápido cuando el tanque está lleno y disminuye el flujo a medida que se drene.

Como se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es:

\frac{dy}{dt} = -k \sqrt{y}

Donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del área de la sección transversal del tanque y agujero del drenaje. La profundidad del agua del agua se mide en metros y el tiempo t en minutos.

Si k=0.06,

a) Determine en que tiempo la altura del nivel del agua llega a la mitad del nivel inicial que es 3 m. (Solo formule el método de Taylor de orden 2)

b) Realice 3 pasos con h=0.5 min

Publicado en

2Eva_IIT2016_T2_MN Volumen cacao seco

2da Evaluación II Término 2016-2017. 14/Febrero/2017. ICM02188 Métodos Numérico

Tema 2.  En una bodega de 4 m x 6m, hay una montaña de cacao seco listo para empaque.

La tabla indica la altura en metros de la montaña sobre el nodo en el plano medido al centímetro más cercano.

f(x,y) x=0 x=1 x=2 x=3 x=4
y=0 0.38 0.62 0.38 0.08 0.01
y=1.5 1.31 2.16 1.31 0.29 0.02
y=3 1.02 1.68 1.02 0.23 0.02
y=4.5 0.18 0.29 0.18 0.04 0.00
y=6 0.01 0.01 0.01 0.00 0.00

Use el método de Simpson 1/3 en ambas direcciones para aproximar el volumen V:

V = \int_0^4 \int_0^6 f(x,y)dydx

a) Realice la formulación del método indicando los puntos de la cuadrícula.

b) Estime la cota del error propagado y error total

Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), selección de método minimizando cotas de error (5 puntos), integración en un eje (5 puntos), integración en el otro eje (5 puntos), Estimación de errores (5 puntos)

x = [ 0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0]
y = [ 0.0, 1.5, 3.0, 4.5, 6.0]

fxy  = [[0.38, 0.62, 0.38, 0.08, 0.01],
        [1.31, 2.16, 1.31, 0.29, 0.02],
        [1.02, 1.68, 1.02, 0.23, 0.02],
        [0.18, 0.29, 0.18, 0.04, 0.00],
        [0.01, 0.01, 0.01, 0.00, 0.00]]
Publicado en

2Eva_IIT2016_T1_MN Coeficiente Gini

2da Evaluación II Término 2016-2017. 14/Febrero/2017. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1.  El coeficiente de Gini es una medida para medir la desigualdad.

G=\frac{a}{a+b}

Donde b es el área bajo la curva de Lorentz (Porcentaje de ingresos de las personas que menos ganan f(x) versus porcentaje de la población x, a + b = 0.5

Suponga que una población tiene los siguientes ingresos:

Datos de Población
segmento  (%) 20 20 20 20 20
Ingresos ($) 10000 20000 25000 30000 85000

a) Calcule los porcentajes acumulados y construya la función f(x) en función de x
(Curva de Lorentz)

b) Aproxime b = \int_0^1 f(x) dx mediante el método del trapecio,

c) Estime el error

segmento = [  20, 20,  20, 20, 20]
ingresos = [ 10000, 20000, 25000, 30000, 85000]

Referencia: El coeficiente Gini, a partir del minuto 5:00, durante al menos 9:00

País de desigualdad (1/3) | DW Documental

Publicado en

2Eva_IT2015_T3 EDP parabólica

2da Evaluación I Término 2015-2016. 8/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 3. (30 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial parabólica

\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{4}{\pi ^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 0 0 \lt\ x \lt 4, 0\lt t u(0,t) = u(4,t) = 0, 0\lt t u(x,0) = \sin \Big( \frac{\pi}{4}x \Big) \Big( 1 + 2 \cos \Big( \frac{\pi}{4}x\Big)\Big) 0 \leq x \leq 4

a) Use n=20 en el sentido de x; y m=10, obtenga el modelo (solo planteado).

b) Aproxime la solución con n=4, hasta 2Δt, y

c) estime el error en el punto P(x1, t1)

Publicado en

2Eva_IT2015_T1 Fibra óptica entre montañas

2da Evaluación I Término 2015-2016. 8/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 1. (20 puntos) Para una fibra óptica que para por montañas se tienen las medidas de distancia vertical en función de la distancia horizontal y se muestra en la figura y la tabla.

distancias en metros
 horizontal x  vertical y
0 0
100 25
200 38
300 45
400 20

a. Encuentre y’ en los puntos de la tabla usando una aproximación de O(h2)

b. Usando La regla de Simpson 1/3 aproxime la longitud del cable y estime el error.

x = [ 0, 100, 200, 300, 400]
y = [ 0,  25,  38,  45,  20]
Publicado en

2Eva_IT2015_T2 Deflexión de mástil

2da Evaluación I Término 2015-2016. 8/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 2. (30 puntos) La ecuación siguiente se utiliza para modelar la deflexión del mástil de un bote expuesto a la fuerza del viento:

\frac{\delta ^2 y}{\delta x^2} = \frac{f}{2EI} (L-x)^2

Donde:
f = fuerza,
E = módulo de elasticidad,
L = longitud del mástil
I = momento de inercia.

Calcule la deflexión si y = 0 y \frac{\delta y}{\delta x} = 0 en x = 0.

Para sus cálculos considere f=60, L =30, E = 1.25×108 e I = 0.05.

a. Encuentre el sistema de ecuaciones diferenciales equivalente a dicha ecuación.

b. Aproxime usando Runge-Kutta 4to orden, para n=30 sub-intervalos. (solo expresado)

c. Aproxime considerando h=2 y realice 2 pasos usando Runge-Kutta de 2do orden.

Referencias: Chapra 24.2 p284 pdf121