2da Evaluación – Página 6 – Métodos numéricos

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2Eva_IIT2014_T3 EDP Hiperbólica, Presión en tubo musical

2da Evaluación II Término 2014-2015. 23/Febrero/2015. ICM00158

Tema 3. En un tubo de órgano musical, la presión del aire p(x,t) se rige por la ecuación de onda

\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}

0 \lt x \lt L, 0\lt t

Donde L es la longitud del tubo y c es una constante física.

Si el tubo se encuentra abierto, las condiciones de frontera estarán dadas por:

p(0,t) = p0
p(L,t) = p0

Si el tubo está cerrado en el extremo donde x=L, las condiciones de frontera serán:

p(0,t) = p0

$\frac{\partial p(l,t)}{\partial x} = 0$

Suponga que c=1, L=1 y que las condiciones iniciales son

p(x,0) = p0 cos(2πx)

$\frac{\partial p(x,0)}{\partial t} = 0$

$0 \leq x \leq L$

a. Aproxime la presión de un tubo abierto usando las diferencias finitas con p0 = 0.9 en x = 1/2 para t = 0.5 y t = 1,

b. Modifique el procedimiento del literal a para el problema del tubo de órgano cerrado con p0 = 0.9 y luego aproxime p(0.5 , 0.5) y p(0.5 , 1) usando h = 0.1 y k = 0.1

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2Eva_IIT2014_T2 Carga uniforme en viga

2da Evaluación II Término 2014-2015. 23/Febrero/2015. ICM00158

Tema 2. La ecuación diferencial básica de la curva elástica para una viga con carga uniforme (ver figura) está dada por

EI \frac{\delta ^2 y}{\delta x^2} = \frac{wLx}{2} - \frac{wx^2}{2}

Donde E = módulo de elasticidad, I = momento de inercia

Resuelva para la deflexión de la viga con el método de disparo con Runge-Kutta de 2do orden y (Δx = 2.5 ft).

Aplique los siguientes valores de parámetros:
E = 30.000 ksi
I = 800 in⁴w = 1 kip/in
L = 10 ft.

Referencia: Chapra 5Ed Cap28 Ejercicio 28.23 p849 pdf873.

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2Eva_IIT2014_T1 Coeficiente Gini

2da Evaluación II Término 2014-2015. 23/Febrero/2015. ICM00158

Tema 1. El coeficiente de Gini⁽¹⁾ se calcula como una proporción de las áreas en el diagrama de la curva de Lorenz.

Si el área entre la línea de perfecta igualdad y la curva de Lorenz es a, y el área por debajo de la curva de Lorenz es b, entonces el coeficiente de Gini es a/(a+b).

X: Proporción acumulada de la Población,
Y: Proporción acumulada de los Ingresos

Los siguientes datos corresponden a los ingresos, anuales ordenados, de 10 personas representativas en una sociedad:

ingresos = [2500, 4500, 6000, 8000, 14000, 25000, 30000, 45000, 60000, 90000]

acumule los datos de menor a mayor y estime el coeficiente de Gini para dicha sociedad utilizando la técnica de integración de Simpson 1/3 y aproxime la cota del error.

Referencia: (1) «Gini coefficient». Publicado bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons – http: //commons.wikimedia.org/wiki/File:Gini_coefficient.svg#mediaviewer/File:Gini_coefficient.svg.

En documental, El coeficiente Gini, a partir del minuto 5:00, durante al menos 8:12

País de desigualdad (1/3) | DW Documental

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2Eva_IT2012_T3_MN EDO Taylor 2 Contaminación de estanque

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (30 puntos) Suponga un estanque de cierto tamaño con agua, la cual está siendo contaminada por una corriente que ingresa constantemente.

En la siguiente ecuación s representa la cantidad de contaminación en el tiempo t:

s'- \frac{26s}{200-t} - \frac{5}{2} = 0

0\leq t \lt 2.00

Con la condición inicial s(0) = 0, la cual significa que inicialmente el agua está limpia.

Determine la cantidad de contaminación s(t) para

t =  [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]

usando la fórmula de Euler, es decir los dos primeros términos de la Serie de Taylor.

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2Eva_IT2012_T2_MN Altura del cable teleférico

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. (30 puntos) Utilice los datos del tema anterior para encontrar el valor aproximado de la altura del cable teleférico cuando x = 0.4. Use el polinomio de diferencias finitas de grado 3 y estime el error en la interpolación.

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2Eva_IT2012_T1_MN Longitud de teleférico

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. (40 puntos)

La trayectoria de un teleférico está definida por una curva que tiene los puntos (x, f(x)) segun la tabla que se muestra a continuación:

x    = [0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00]
f(x) = [25.0, 22.0, 32.0, 51.0, 75.0]

Para calcular la longitud de dicha curva se debe usar la integral:

L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} \delta x

a. Aproxime el valor de la derivada f‘(x) en todos los puntos de la tabla con fórmulas de orden 2.

b. Aproxime el valor de la longitud del cable del teleférico entre 0 y 1 con la fórmula de Simpson

c. Aproxime el error de la longitud calculada.

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2Eva_IT2012_T3 EDP elíptica, placa rectangular

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM00158

Tema 3. (20 puntos) Aproxime la solución de la ecuación diferencial parcial:

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = (x^2 + y^2) e^{xy}

0\lt x \lt 1, 0\lt y \lt 0.5

Con las condiciones de frontera:

u(0,y) = 1, u(1,y) = e^y , 0 \leq y \leq 0.5

u(x,0) = 1, u(x,0.5) = \sqrt{e^x} , 0 \leq x \leq 1

Usando un tamaño de paso h_x = h_y = 0.25

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2Eva_IT2012_T2 Modelo de clima

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM00158

Tema 2. (20 puntos) El meteorólogo Edward Lorenz propuso inicialmente el siguiente sistema para predecir el comportamiento del clima:

\begin{cases} x'(t) = \alpha (y(t) - x(t)) \\ y'(t) = \rho x(t) - y(t) - x(t) z(t) \\ z'(t) = -\beta z(t) + x(t) y(t) \end{cases}

Para su estudio eligió los parámetros α = 10, β = 8/3 , ρ=28 con las condiciones iniciales x(0) = 10, y(0) = 7, z(0) = 7

Use el método de Runge-Kutta clásico de cuarto orden con h = 0.25 para calcular la solución cuando t=1

Referencia: Chapra 28.2 p833 pdf857

https://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_system

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2Eva_IT2012_T1 Longitud de teleférico

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM00158

Tema 1. (20 puntos)

La trayectoria de un teleférico está definida por una curva que tiene los puntos (x, f(x)) segun la tabla que se muestra a continuación:

x    = [ 0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00]
f(x) = [25.00,   22,   45,   62,   75  ]

Para calcular la longitud de dicha curva se debe usar la integral:

\int_0^1 \sqrt{1+[f'(x)]^2} \delta x

a. Aproxime el valor de f'(x) pra cada uno de los valores de x de la tabla

b. Aproxime el valor de la longitud del cable usando el método de Simpson

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2Eva_IIT2011_T3_MN Trazador cúbico

2da Evaluación II Término 2011-2012. 31/Enero/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (40 puntos) Dados los puntos

(x,y): (2,3), (4,4), (5,6), (6,7), (8,5)

Use el trazador cúbico natural para determinar el valor de y cuando x=3.

Use el método iterativo de Gauss-Seidel para resolver el sistema de ecuaciones que se produce al aplicar la formulación del trazador cúbico.

Comience con un vector solución nulo e itere hasta obtener tres decimales exactos.

xi = [ 2, 4, 5, 6, 8]
yi = [ 3, 4, 6, 7, 5]