Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Tema 4. (25 puntos) Enunciar el teorema de convergencia del método iterativo para resolver un sistema de ecuaciones lineales AX=B.
Exponer el método iterativo de Gauss-Seidel para sistemas ecuaciones lineales.
Construir un ejemplo de un sistema de 3×3, cuya diagonal principal sea estrictamente dominante y realizar cuatro iteraciones con el método de Gauss-Seidel, comenzando con el vector cero.
Tema 3. (25 puntos) Calcular la siguiente integral, con el algoritmo de la integral doble de Simpson:
\int_R \int x^2 (\sqrt{9 - y^2}) \delta ADonde R es la región acotada por: x2+y2 =9 .
Usar n=m=4
Tema 2. (25 puntos) Resolver el siguiente problema de valor inicial
(1-x^2)y' - xy = x (1-x^2) 0\leq x \leq \frac{1}{2} y(0)=2Usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden:
a. Escriba el algoritmo para la función específica f(x,y)
b. Escriba la tabla de resultados para h=0.1
Tema 1. (25 puntos) Para aproximar la profundidad de una ladera submarina se han hecho mediciones, las cuales relacionan la profundidad de la ladera, expresada en m, con la distancia respecto a la orilla, expresada en km.
Empleando los datos que se dan a continuación, construya el trazador cúbico natural para aproximar la profundidad de la ladera a 1.5 km respecto a la orilla.
| Distancia a orilla | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Profundidad ladera | 1 | 170 | 235 | 320 |
Escriba el sistema de ecuaciones del cual se obtienen los valores de ci.
distancia = [ 0, 1, 2, 3] profundidad = [ 1, 170, 235, 320]
Referencias:
EEUU vierte arena en playas de Miami Beach erosionadas por el cambio climático | AFP
Tema 4. (25 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial con el método de diferencias finitas, h=0.2
y'' + 2y' -y -2e^x + x - 4 = 0 0 \leq x \leq 1 y(0) = -1, y(1) = e-1Rúbrica: Determinar algoritmo de diferencia centrada (10 puntos), sistema de ecuaciones (10 puntos), solución numérica (5 puntos)
Tema 3. (25 puntos) Aproxime el valor de la siguiente integral con ayuda de la fórmula compuesta de Simpson con n=6
\int_0^1 \frac{\cos (2x)}{x^{1/3}} \delta xRúbrica: Integración del polinomio de grado cuatro (10 puntos), integración del residuo con Simpson (10 puntos), Valor aproximado de la integral (5 puntos)
Tema 2. (25 puntos) Resolver la ecuación diferencial usando el método de Taylor con n=2:
xy'+ 2y = \sin (x) \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} y\Big(\frac{\pi}{2} \Big) = 1a. Establecer el algoritmo correspondiente para la ecuación dada
b. Escribir la tabla de resultados para h = π/10
Rúbrica: Determinación correcta de f(x,y(xi) )(2.5 puntos), establecimiento del algoritmo de Taylor (12.5 puntos), Solución numérica (10 puntos)
Tema 1. (25 puntos) Dado los valores de una función, construir el trazador cúbico fijo.
f(0) = 1,
f(0.25) = 1.14012
f(0.5) = 1.32436
f(0.75) = 1.5585
y con las derivadas, f'(0) = 0.5, f'(0.75) = 1.0585
a. Establecer el sistema para determinar los valores de ci
b. Aproximar f(0.15) y f(0.6)
Rúbrica: Sistema de ecuaciones (7.5 puntos), polinómios cúbicos (10 puntos), aproximación correcta de los puntos (7.5 puntos)
datos = [[0, 1],
[0.25, 1.14012],
[0.5 , 1.32436],
[0.75, 1.5585 ]]
Tema 3. (30 puntos) Para que la siguiente función sea útil en el cálculo de probabilidad, se debe encontrar el valor de k tal que el área bajo f(x) sea igual a 1.
f(x)=\begin{cases} kxe^{-x^2}, & x\geq 0\\ 0, & x\lt 0 \end{cases}Encuentre un valor aproximado de k con el siguiente procedimiento.
a. Separe el integral en dos intervalos [0, 1], [1, ∞]. Mantenga k fuera del integral.
b. Integre en el intervalo [0,1] con la fórmula de Simpson (m=2)
c. Mediante un cambio de variable elimine el límite ∞ en el segundo intervalo e integre aplicando una vez la Cuadratura de Gauss. Recuerde que esta fórmula no requiere evaluar la función en los extremos del intervalo de integración.
d. Obtenga el valor de k igualando a 1 la suma de los dos resultados anteriores
Tema 2. (30 puntos) Dado el sistema de ecuaciones lineales AX=B:
A = [a_{i,j}], B = [b_i] a_{i,j} = \frac{1}{i+j-1}, b_i = i^{2} 1\leq i,j\leq 3a. Determine el nivel de mal condicionamiento de A con la definición:
cond(A) = ||A|| ||A-1||
b. Obtenga el vector solución X e indique si esta solución es confiable.
Use el método de Gauss-Jordan partiendo de la matriz aumentada, A|B|I. Al transformar la matriz A en I, las transformaciones aplicadas simultáneamente al vector B, lo convertirán en la solución. El proceso también afecta a la matriz I que se convierte en A-1 .
Use 4 decimales sin redondear en sus cálculos.