Curso con Python – MATG1052-FCNM-ESPOL
Tema 3. (40 puntos)
0 ≤ x ≤ 2
y(0) = 0
y(2) = -4
a. Use las fórmulas en diferencias finitas para aproximar las soluciones en los nodos indicados con h = 0.25
b. Estime el error
c. Con los puntos calculados, construya el trazador cúbico natural
Rúbrica: Plantear malla (5 puntos), plantear método (5 puntos), desarrollo de la ecuación (10 puntos), planteo del error (5 puntos), obtención del trazador (10 puntos)
Tema 2. (30 puntos) En un tanque cilíndrico vertical, al abrir una válvula en la base el agua fluirá rápidamente cuando el tanque esté lleno; conforme el tanque se vacía irá fluyendo más lentamente.
Si la rapidez a la que disminuye el nivel del agua es:
Donde k es una constante que depende del área de la sección transversal del tanque y del orificio de salida.
La profundidad el agua «y» se mide en pies; y el tiempo t en minutos.
Si k=0.5 e inicialmente el nivel del fluido es de 9 pies. ¿Cuál es el tiempo mínimo para que la altura del taque sea inferior a 6 pies?
a. Utilice el método de Taylor de segundo orden para resolver este problema con h= 0.5 minutos
b. Estime el error en cada paso.
Rúbrica: Plantear el método (5 puntos), desarrollo de la ecuación (10 puntos), valor numérico (5 puntos), planteo del error(5 puntos), valor del error (5 puntos)
Tema 1. (30 puntos) Aproxime el resultado de la integral doble:
a. Use el método de cuadratura de Gauss de dos términos en cada eje
b. Determine el error al comparar el resultado numérico con el valor exacto.
Rúbrica: Plantear el método (5 puntos), desarrollo (10 puntos), plantear el error (10 puntos), valor del error (5 puntos)
Tema 3. (30 puntos) La temperatura u(x,t) de una varilla larga y delgada, de sección transversal constante y de un material conductor homogéneo está regida por la ecuación unidimensional de calor. Si se genera calor en el material (por ejemplo, debido a la resistencia de la corriente), la ecuación se convierte en:
| Donde: | Suponga que: |
| L es la longitud, | L = 1.5 cm |
| ρ es la densidad, | ρ = 10.6 g/cm3 |
| C es el calor específico | C = 0.056 cal/g deg |
| K es la difusividad térmica de la varilla | K = 1.04 cal/cm deg s |
| La función r = r(x,t,u) representa el calor generado por unidad de volumen. | r(x,t,u) = 5 cal/g deg |
Si los extremos de la varilla se mantienen a 0°C, entonces
Suponga que la distribución inicial de la temperatura está dada por:
Aproxime la distribución de la temperatura con h=0.25, k=0.025 para t=3k
Referencia: Burden 9ed Chapter 12 exercise 18 p738
Tema 2. (40 puntos) Un estanque se drena a través de un tubo como se observa en la figura.
Con suposiciones simplificadoras, la ecuación diferencial siguiente describe cómo cambia la profundidad con el tiempo:
Donde:
h = profundidad (m),
t = tiempo (s),
d = diámetro del tubo (m),
A(h) = área de la superficie del estanque como función de la profundidad (m2),
g = constante gravitacional (9,81 m/s2) y
e es la profundidad de salida del tubo por debajo del fondo del estanque (m).
Con base en la tabla siguiente de área-profundidad, resuelva esta ecuación diferencial para determinar cuánto tiempo tomaría que el estanque se vacie, dado que h(0) = 6 m, d = 0.25 m, e = 0.3 m.
| h | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A(h) | 1.17 | 0.97 | 0.67 | 0.45 | 0.32 | 0.18 | 0.02 |
a) Con las profundidades 0, 2, 4, 6, encuentre un modelo de trazador cúbico natural para modelar el área A(h) y calcule el error en h = 5 m
b) Use el método de Taylor de segundo orden con dt=1 s para aproximar el tiempo en que la profundidad es 3 m.
Rúbrica: literal a (20 puntos), literal b (20 puntos)
hi = np.array([6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]) Ai = np.array([1.17, 0.97, 0.67, 0.45, 0.32, 0.18, 0.02])
Referencia: Chapra Ejercicio 28.24 p849, pdf873
Video: La ambiciosa Represa Hoover – INEXPLICABLE. History Latinoamérica.
Tema 1. (30 puntos) Encuentre las raíces de las ecuaciones simultaneas siguientes:
a) Use el enfoque gráfico para obtener los valores iniciales.
b) Encuentre aproximaciones refinadas con el Método de Newton-Raphson
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (20 puntos)
Referencia: Un asteroide dos veces más grande que un avión Boeing 747 pasará muy cerca la Tierra. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/08/28/nota/6927335/asteroide-dos-veces-mas-grande-que-avion-pasara-muy-cerca-tierra
Europa Press 28 de agosto, 2018 – 11h51
Tema 4. Use el método de Taylor de orden 2 para aproximar la solución de EDO con valor inicial
a) Realice 3 pasos,
b) calcule el error estimado
Tema 3. Aproxime la solución de la siguiente EDP elíptica.
con condiciones de frontera
a) use tamaños de paso h = 2/3 y k = 1/3
b) compare con la solución u(x,y) = exy en forma gráfica
Tema 2. El caballo llamado Thunder Gulch ganó el derby de Kentucky de 1995, con un tiempo de 2 min s en la carrera de millas. 
Los tiempos en los postes que marcan el cuarto de milla, la mitad de la milla y la milla fueron respectivamente s, s, 1 min con s.
a) Use los valores anteriores junto con el tiempo de arranque y construya un trazador cúbico natural.
b) Use el trazador para predecir el tiempo en el poste de tres cuartos de milla y compare el resultado con el tiempo real de 1 min con s.
c) Usando el trazador y las fórmulas de diferencias finitas, aproxime la velocidad y la aceleración del caballo en todos los postes.
Nota: Obseve que las medidas se encuentran en fracciones de unidad.
Tema 1. Sea g: [a,b] →ℜe (reales) una función diferenciable tal que g(x) ∈ [a,b], para toda x ∈ [a,b]. Demuestre o refute las siguientes afirmaciones.
a) g tiene al menos un punto fijo en [a,b]
b) g tiene un punto fijo único en [a,b]