Categoría: Unidad 7 EDP Ecuaciones Diferenciales Parciales

EDP Elípticas [ contínua a discreta ] || [ sympy_iterativo ] [ sympy_implícito ]
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1. Ejercicio

Referencia: Chapra 29.1 p866, Rodríguez 10.3 p425, Burden 12.1 p694

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{ \partial y^2} = 0

Valores de frontera: Ta = 60, Tb = 25, Tc = 50, Td = 70
Longitud en x0 = 0, xn = 2, y0 = 0, yn = 1.5
Tamaño de paso dx = 0.25, dy = dx
iteramax=100, tolera = 0.0001

(ecuación de Laplace, Ecuación de Poisson con f(x,y)=0)

EDP Elípticas [ contínua a discreta ] || [ sympy_iterativo ] [ sympy_implícito ]

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2. EDP Elípticas contínua a discreta

El desarrollo analítico inicia convirtiendo la ecuación diferencial parcial elíptica de la forma contínua a su representación discreta usando las expresiones de derivadas en  diferencias divididas. El cambio de la expresión se realiza usando  Sympy.

La EDP se escribe en formato Sympy en el bloque de ingreso.  La ecuación EDP se compone del lado izquierdo (LHS) y lado derecho (RHS), indicando u como una función de las variables x,y.

# INGRESO
fxy = 0*x+0*y # f(x,y) = 0 , ecuacion de Poisson
# ecuacion: LHS=RHS
LHS = sym.diff(u,x,2) + sym.diff(u,y,2)
RHS = fxy
EDP = sym.Eq(LHS-RHS,0)

las diferencias divididas se ingresan como un diccionario:

dif_dividida ={sym.diff(u,x,2): (U.subs(i,i-1)-2*U+U.subs(i,i+1))/(Dx**2),
               sym.diff(u,y,2): (U.subs(j,j-1)-2*U+U.subs(j,j+1))/(Dy**2),
               sym.diff(u,y,1): (U - U.subs(j,j-1))/Dy}

las condiciones iniciales en los bordes, pueden ser funciones matemáticas, por lo que se usa el formato lambda. En el ejercicio básico presentado en la parte teórica, los bordes tienen temperaturas constantes, por lo que en ésta sección se escriben las condiciones como la constante mas cero por la variable independiente, facilitando la evaluación de un vector xi por ejemplo.

# Condiciones iniciales en los bordes
fya = lambda y: 60 +0*y  # izquierda
fyb = lambda y: 25 +0*y  # derecha
fxc = lambda x: 50 +0*x  # inferior, función inicial 
fxd = lambda x: 70 +0*x  # superior, función inicial 

los demás parámetros del ejercicio se ingresan más adelante de forma semejante al ejercicio con Numpy.

Todas las expresiones se escriben al lado izquierdo (LHS) de la igualdad, la parte del lado derecho(RHS) se la prefiere mantener en cero. La expresión se organiza manteniendo el coeficiente en 1 para el termino de Dx de mayor orden. Se sustituyen las derivadas por diferencias divididas, para luego simplificar la expresión usando λ como referencia.

El resultado de las operaciones en la expresión usando el algoritmo es:

EDP Elíptica contínua a discreta
 ordenDx : 2
 ordenDy : 2

 edp=0 :
  2              2             
 d              d              
---(u(x, y)) + ---(u(x, y)) = 0
  2              2             
dx             dy              
 K_ : 1.0

 discreta=0 :
-2*U(i, j) + U(i, j - 1) + U(i, j + 1)   -2*U(i, j) + U(i - 1, j) + U(i + 1, j)
-------------------------------------- + --------------------------------------
                   2                                        2                 
                 Dy                                       Dx                  
 Lambda_L :
  2
Dy 
---
  2
Dx 
 Lambda L_k : 1

 (discreta=0)*Dy**ordeny :
                                             2             2                 2
                                         2*Dy *U(i, j)   Dy *U(i - 1, j)   Dy *U(i + 1, j)
-2*U(i, j) + U(i, j - 1) + U(i, j + 1) - ------------- + --------------- + ---------------
                                                2                2                 2
                                              Dx               Dx                Dx  
 discreta_L=0 :
L*U(i - 1, j) + L*U(i + 1, j) + (-2*L - 2)*U(i, j) + U(i, j - 1) + U(i, j + 1) = 0

 discreta :
-4*U(i, j) + U(i, j - 1) + U(i, j + 1) + U(i - 1, j) + U(i + 1, j) = 0

 discreta_iterativa :
          U(i, j - 1) + U(i, j + 1) + U(i - 1, j) + U(i + 1, j)
U(i, j) = -----------------------------------------------------
                                    4                          

Instrucciones en Python

Los resultados al aplicar una operación a la expresión se guardan en un diccionario, para revisar cada paso intermedio al final

# Ecuaciones Diferenciales Parciales Elipticas
# EDP Elípticas contínua a discreta con Sympy
import numpy as np
import sympy as sym

# funciones continuas y variables simbólicas usadas
y = sym.Symbol('y',real=True)
x = sym.Symbol('x',real=True)
u = sym.Function('u')(x,y)
f = sym.Function('f')(x,y) # funcion complemento
# funciones discretas y variables simbólicas usadas
i  = sym.Symbol('i',integer=True,positive=True)
j  = sym.Symbol('j',integer=True,positive=True)
Dx = sym.Symbol('Dx',real=True,positive=True)
Dy = sym.Symbol('Dy',real=True,positive=True)
L  = sym.Symbol('L',real=True)
U  = sym.Function('U')(i,j)

# INGRESO
fxy = 0*x+0*y  # f(x,y) = 0 , ecuacion de Poisson
# ecuacion edp : LHS=RHS
LHS = sym.diff(u,x,2) + sym.diff(u,y,2)
RHS = fxy
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)

dif_dividida ={sym.diff(u,x,2): (U.subs(i,i-1)-2*U+U.subs(i,i+1))/(Dx**2),
               sym.diff(u,y,2): (U.subs(j,j-1)-2*U+U.subs(j,j+1))/(Dy**2),
               sym.diff(u,y,1): (U - U.subs(j,j-1))/Dy}

# Condiciones iniciales en los bordes
fya = lambda y: 60 +0*y  # izquierda
fyb = lambda y: 25 +0*y  # derecha
fxc = lambda x: 50 +0*x  # inferior 
fxd = lambda x: 70 +0*x  # superior 

# dimensiones de la placa
x0 = 0    # longitud en x
xn = 2
y0 = 0    # longitud en y
yn = 1.5
# discretiza, supone dx=dy
dx = 0.25  # Tamaño de paso
dy = dx
iteramax = 100
tolera = 0.0001

verdigitos = 2 # para mostrar en tabla de resultados

# PROCEDIMIENTO
def edp_discreta(edp,dif_dividida,x,y,u):
    ''' EDP contínua a discreta, usa diferencias divididas
        proporcionadas en parámetros, indica las variables x,y
        con función u de (x,y)
    '''
    resultado={}
    # expresión todo a la izquierda LHS (Left Hand side)
    LHS = edp.lhs
    RHS = edp.rhs
    if not(edp.rhs==0):
        LHS = LHS-RHS
        RHS = 0
        edp = sym.Eq(LHS,RHS)
    # para orden de derivada por x, y
    edp_x = edp.subs(x,0)
    edp_y = edp.subs(y,0)
    ordenDx = sym.ode_order(edp_x,u)
    ordenDy = sym.ode_order(edp_y,u)
    resultado['ordenDx'] = ordenDx
    resultado['ordenDy'] = ordenDy
    # convierte coeficiente d2u/dx2 a 1
    coeff_x = edp_coef_Dx(edp,x,ordenDx)
    if not(coeff_x==1):
        LHS = LHS/coeff_x
        RHS = RHS/coeff_x
    edp = sym.Eq(LHS,RHS)
    K_ = edp_coef_Dx(edp,y,ordenDy)
    resultado['edp=0']  = edp
    resultado['K_']  = K_
    # edp discreta
    discreta = edp.lhs 
    for derivada in dif_dividida:
        discreta = discreta.subs(derivada,dif_dividida[derivada])
    resultado['discreta=0'] = discreta
    return (resultado)

def edp_coef_Dx(edp,x,ordenx):
    ''' Extrae el coeficiente de la derivada Dx de ordenx
    '''
    coeff_x = 1.0
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(edp.lhs)
    for term_k in term_suma:
        if term_k.is_Mul: # término de mas de un factor
            factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
            coeff_temp = 1; coeff_usar=0
            # separa cada factor de término 
            for factor_k in factor_Mul:
                if not(factor_k.is_Derivative):
                    coeff_temp = coeff_temp*factor_k
                else: # factor con derivada de ordenx
                    partes = factor_k.args
                    if partes[1]==(x,ordenx):
                        coeff_usar = 1
            if coeff_usar==1:
                coeff_x = coeff_x*coeff_temp
    return(coeff_x)

def edp_simplificaLamba(resultado,dx,dy):
    '''simplifica ecuacion con valores de lambda, dx y dy
    entregando la edp discreta simplificada
    '''
    discreta = resultado['discreta=0']
    ordenDy = resultado['ordenDy']
    ordenDx = resultado['ordenDx']
    K_ = resultado['K_']
    lamb = (Dy**ordenDy)/(Dx**ordenDx)
    if ordenDy==1 and ordenDx==2:
        lamb = lamb/K_
    resultado['Lambda_L'] = lamb
    # valor de Lambda en ecuacion edp
    L_k = lamb.subs([(Dx,dx),(Dy,dy),(1.0,1)])
    resultado['Lambda L_k'] = L_k
    # simplifica con lambda L
    discreta_L = sym.expand(discreta*(Dy**ordenDy),mul=True)
    resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny'] = discreta_L
    discreta_L = edp_sustituye_L(resultado)
    discreta_L = discreta_L.subs(lamb,L)
    discreta_L = sym.collect(discreta_L,U)
    discreta_L = sym.Eq(discreta_L,0)
    resultado['discreta_L = 0'] = discreta_L
    # sustituye constantes en ecuación a iterar
    discreta_L = discreta_L.subs([(Dx,dx),(Dy,dy),
                                  (L,L_k),(1.0,1)])
    resultado['discreta'] = discreta_L
    return(resultado)

def edp_sustituye_L(resultado):
    ''' sustituye lambda con Dy**ordeny/Dx**x/K_
    por L, al simplificar Lambda
    '''
    discreta = resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny']
    ordenDy = resultado['ordenDy']
    ordenDx = resultado['ordenDx']
    discreta_L = 0
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(discreta)
    for term_k in term_suma:
        # busca partes de L y cambia por valor L
        cambiar = 0 # por orden de derivada
        if term_k.has(Dx) and term_k.has(Dy):
            partes = term_k.args
            ordeny=1
            ordenx=1
            for unaparte in partes:    
                if unaparte.has(Dy):
                    if unaparte.is_Pow:
                        partey = unaparte.args
                        ordeny = partey[1]
                if unaparte.has(Dx):
                    if unaparte.is_Pow:
                        partey = unaparte.args
                        ordenx = partey[1]
            if (ordeny<=ordenDy and ordenx<=-ordenDx):
                cambiar=1
        if cambiar:
            term_k = term_k*L/resultado['Lambda_L']
        discreta_L = discreta_L + term_k
        # simplifica unos con decimal a entero 
        discreta_L = discreta_L.subs(1.0,1)
    return(discreta_L)

# PROCEDIMIENTO
# transforma edp continua a discreta
resultado = edp_discreta(edp,dif_dividida,x,y,u)
resultado = edp_simplificaLamba(resultado,dx,dy)
discreta = resultado['discreta']

# Método iterativo para EDP Elíptica
# separa término U[j,j] del centro,con valor no conocido
buscar = U.subs(j,j)
discreta = sym.solve(discreta,buscar)
discreta = sym.factor_terms(discreta[0])
discreta = sym.Eq(buscar,discreta)
resultado['discreta_iterativa'] = discreta

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
algun_numero = [int,float,str,'Lambda L_k']
print('EDP Elíptica contínua a discreta')
for entrada in resultado:
    tipo = type(resultado[entrada])
    if tipo in algun_numero or entrada in algun_numero:
        print('',entrada,':',resultado[entrada])
    else:
        print('\n',entrada,':')
        sym.pprint(resultado[entrada])

EDP Elípticas [ contínua a discreta ] || [ sympy_iterativo ] [ sympy_implícito ]
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3. EDP Elípticas – Método iterativo con Sympy-Python

El desarrollo del método iterativo para una ecuación diferencial parcial elíptica usando Sympy, sigue a continuación del anterior.

Se añaden las instrucciones para iterar la expresión discreta para cada i,j dentro de la matriz U creada para el ejercicio. Se aplican las condiciones iniciales a los bordes, para luego proceder a iterar.

Como en las actividades del curso se requiere realizar al menos 3 iteraciones para las expresiones del algoritmo con papel y lápiz, solo se presentarán los resultados para la primera fila en j=0

Los resultados del algoritmo  luego del resultado del algoritmo anterior se presentan como:

 discreta_iterativa :
          U(i, j - 1) + U(i, j + 1) + U(i - 1, j) + U(i + 1, j)
U(i, j) = -----------------------------------------------------
                                    4                          

 iterar i,j:
j:  1  ;  i:  1
          U(0, 1)   U(1, 0)   U(1, 2)   U(2, 1)
U(1, 1) = ------- + ------- + ------- + -------
             4         4         4         4   
U(i, j) = 53.125
j:  1  ;  i:  2
          U(1, 1)   U(2, 0)   U(2, 2)   U(3, 1)
U(2, 1) = ------- + ------- + ------- + -------
             4         4         4         4   
U(i, j) = 51.40625
j:  1  ;  i:  3
          U(2, 1)   U(3, 0)   U(3, 2)   U(4, 1)
U(3, 1) = ------- + ------- + ------- + -------
             4         4         4         4   
U(i, j) = 50.9765625
j:  1  ;  i:  4
          U(3, 1)   U(4, 0)   U(4, 2)   U(5, 1)
U(4, 1) = ------- + ------- + ------- + -------
             4         4         4         4   
U(i, j) = 50.869140625
j:  1  ;  i:  5
          U(4, 1)   U(5, 0)   U(5, 2)   U(6, 1)
U(5, 1) = ------- + ------- + ------- + -------
             4         4         4         4   
U(i, j) = 50.84228515625
j:  1  ;  i:  6
          U(5, 1)   U(6, 0)   U(6, 2)   U(7, 1)
U(6, 1) = ------- + ------- + ------- + -------
             4         4         4         4   
U(i, j) = 50.8355712890625
j:  1  ;  i:  7
          U(6, 1)   U(7, 0)   U(7, 2)   U(8, 1)
U(7, 1) = ------- + ------- + ------- + -------
             4         4         4         4   
U(i, j) = 44.271392822265625

Método iterativo EDP Elíptica
continuar el desarrollo con: 
xi: [0.   0.25 0.5  0.75 1.   1.25 1.5  1.75 2.  ]
yj: [0.   0.25 0.5  0.75 1.   1.25 1.5 ]
 j, U[i,j]
2 [60.   51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 25.  ]
1 [60.   53.12 51.41 50.98 50.87 50.84 50.84 44.27 25.  ]
0 [50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50.]
>>> 

Se pueden sustituir los valores de las expresiones, evaluando cada u[i,j] y completando la matriz y para la gráfica. Esta parte queda como tarea.

Instrucciones en Python

Las instrucciones adicionales al algoritmo de EDP elíptica contínua a discreta empiezan con la creación de la matriz u_xy para los valores, los vectores xi,yj y una matriz u_mask que indica si se dispone de  un valor calculado o conocido en ese punto (x,y) . Para el método iterativo, la matriz se rellena con el promedio de los valores máximos de las funciones dadas para los bordes de la placa.

Tarea: El algoritmo desarrolla el cálculo para j_k=1, solo la primera fila. Se deja como tarea desarrollar para toda la matriz.

# ITERAR para cada i,j dentro de U ------------
# x[i] , y[j]  valor en posición en cada eje
xi = np.arange(x0,xn+dx,dx)
yj = np.arange(y0,yn+dy,dy)
n = len(xi)
m = len(yj)

# Matriz U
u_xy = np.zeros(shape=(n,m),dtype = float)
u_xy = u_xy*np.nan # valor inicial dentro de u
# llena u con valores en fronteras
u_xy[0,:]   = fya(yj)  # izquierda Ta
u_xy[n-1,:] = fyb(yj)  # derecha   Tb
u_xy[:,0]   = fxc(xi)  # inferior  Tc
u_xy[:,m-1] = fxd(xi)  # superior  Td
u0 = np.copy(u_xy)     # matriz u inicial

# u_mask[i,j] con valores iniciales o calculados:True
u_mask = np.zeros(shape=(n,m),dtype=bool)
u_mask[0,:]  = True # izquierda
u_mask[-1,:] = True # derecha
u_mask[:,0]  = True # inferior
u_mask[:,-1] = True # superior

# valor inicial de iteración dentro de u
# promedio = (Ta+Tb+Tc+Td)/4
promedio = (np.max(fya(yj))+np.max(fyb(yj))+\
            np.max(fxc(xi))+np.max(fxd(xi)))/4
u_xy[1:n-1,1:m-1]   = promedio
u_mask[1:n-1,1:m-1] = True
u0 = np.copy(u_xy) # copia para revisión

def edp_sustituyeValorU(discreta,xi,yj,u_xy,u_mask):
    '''Sustituye en edp discreta los valores conocidos de U[i,j]
    tomados desde u_xy, marcados con u_mask
    u_mask indica si el valor se ha calculado con edp.
    '''
    LHS = discreta.lhs # lado izquierdo de ecuacion
    RHS = discreta.rhs # lado derecho
    # sustituye U[i,j] con valores conocidos
    A_diagonal = [] # lista de i,j para matriz de coeficientes A
    # Separa términos suma
    term_suma = sym.Add.make_args(LHS)
    for term_k in term_suma:
        # busca U[i,j] y cambia por valor uxt[i,j]
        cambiar = 0 ; cambiar_valor = 0 ; cambiar_factor = 0
        # separa cada factor de término
        factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
        for factor_k in factor_Mul:
            # busca U[i,j] en matriz uxt[i,j]
            if factor_k.is_Function:
                [i_k,j_k] = factor_k.args
                if not(np.isnan(u_xy[i_k,j_k])):
                    cambiar = u_mask[i_k,j_k]
                    cambiar_factor = factor_k
                    cambiar_valor = u_xy[i_k,j_k]
                else:
                    A_diagonal.append([i_k,j_k,term_k/factor_k])
        # encontró valor U[i,j],term_k va a la derecha de ecuación
        if cambiar:
            LHS = LHS - term_k
            term_ki = term_k.subs(cambiar_factor,cambiar_valor)
            RHS = RHS - term_ki
    discreta = sym.Eq(LHS,RHS)
    B_diagonal = RHS
    resultado = [discreta,A_diagonal,B_diagonal]
    return (resultado)

# Desarrollo de iteraciones en cada nodo i,j, para la fila j_k
# genera el valor en cada punto
# Nota: Solo la primera fila, Tarea desarrollar para la matriz
print('\n iterar i,j:')
j_k = 1
for i_k in range(1,n-1,1):
    print('j: ',j_k,' ; ','i: ',i_k)
    discreta_ij = discreta.subs({i:i_k,j:j_k,
                                 x:xi[i_k],y:yj[j_k]})
    sym.pprint(discreta_ij)
    RHS = discreta_ij.rhs
    discreta_ij = sym.Eq(RHS,0)
    # usa valores de frontera segun u_mask con True
    discreta_k = edp_sustituyeValorU(discreta_ij,
                                    xi,yj,u_xy,u_mask)
    u_xy[i_k,j_k] = sym.Float(-discreta_k[2])
    print(buscar,'=',u_xy[i_k,j_k])
    
# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
print('\nMétodo iterativo EDP Elíptica')
print('continuar el desarrollo con: ')
print('xi:',xi)
print('yj:',yj)
print(' j, U[i,j]')
for j_k in range(2,-1,-1):
    print(j_k, (u_xy[:,j_k]))

EDP Elípticas [ contínua a discreta ] || [ sympy_iterativo ] [ sympy_implícito ]
..

---

4. EDP Elípticas – Método Implícito con Sympy-Python

Desarrollo analítico del método implicito para una ecuación diferencial parcial elíptica usando Sympy. El algoritmo reutiliza el algoritmo para la EDP Elíptica de contínua a discreta, la creación de la matriz de valores u_xy, y la función
edp_sustituyeValorU() para buscar los valores conocidos de la u(x,y).

El algoritmo usa la ecuación discreta para en cada iteración i,j reemplazar los valores de U conocidos. Los valores de U se escriben en una matriz u_xy, para diferenciar si el valor existe se usa la matriz de estados u_mask.

Con las ecuaciones de cada iteración se llena la matriz A de coeficientes y el vector B de las constantes. Al resolver el sistema de ecuaciones se obtienen todos los valores de la matriz U, completando el ejercicio. Se desarrola la solución al sistema de ecuaciones usando Sympy como alternativa a usar numpy con np.linalg.solve(A.B) que se encuentra como comentario entre las instrucciones.

 discreta :
-4*U(i, j) + U(i, j - 1) + U(i, j + 1) + U(i - 1, j) + U(i + 1, j) = 0

Método Implícito - EDP Elíptica
j: 1 ; i: 1 ; ecuacion: 0
U(0, 1) + U(1, 0) - 4*U(1, 1) + U(1, 2) + U(2, 1) = 0
-4*U(1, 1) + U(1, 2) + U(2, 1) = -110.0
j: 1 ; i: 2 ; ecuacion: 1
U(1, 1) + U(2, 0) - 4*U(2, 1) + U(2, 2) + U(3, 1) = 0
U(1, 1) - 4*U(2, 1) + U(2, 2) + U(3, 1) = -50.0
j: 1 ; i: 3 ; ecuacion: 2
U(2, 1) + U(3, 0) - 4*U(3, 1) + U(3, 2) + U(4, 1) = 0
U(2, 1) - 4*U(3, 1) + U(3, 2) + U(4, 1) = -50.0
j: 1 ; i: 4 ; ecuacion: 3
U(3, 1) + U(4, 0) - 4*U(4, 1) + U(4, 2) + U(5, 1) = 0
U(3, 1) - 4*U(4, 1) + U(4, 2) + U(5, 1) = -50.0
j: 1 ; i: 5 ; ecuacion: 4
U(4, 1) + U(5, 0) - 4*U(5, 1) + U(5, 2) + U(6, 1) = 0
U(4, 1) - 4*U(5, 1) + U(5, 2) + U(6, 1) = -50.0
j: 1 ; i: 6 ; ecuacion: 5
U(5, 1) + U(6, 0) - 4*U(6, 1) + U(6, 2) + U(7, 1) = 0
U(5, 1) - 4*U(6, 1) + U(6, 2) + U(7, 1) = -50.0
j: 1 ; i: 7 ; ecuacion: 6
U(6, 1) + U(7, 0) - 4*U(7, 1) + U(7, 2) + U(8, 1) = 0
U(6, 1) - 4*U(7, 1) + U(7, 2) = -75.0
j: 2 ; i: 1 ; ecuacion: 7
U(0, 2) + U(1, 1) - 4*U(1, 2) + U(1, 3) + U(2, 2) = 0
U(1, 1) - 4*U(1, 2) + U(1, 3) + U(2, 2) = -60.0
j: 2 ; i: 2 ; ecuacion: 8
U(1, 2) + U(2, 1) - 4*U(2, 2) + U(2, 3) + U(3, 2) = 0
j: 2 ; i: 3 ; ecuacion: 9
U(2, 2) + U(3, 1) - 4*U(3, 2) + U(3, 3) + U(4, 2) = 0
j: 2 ; i: 4 ; ecuacion: 10
U(3, 2) + U(4, 1) - 4*U(4, 2) + U(4, 3) + U(5, 2) = 0
j: 2 ; i: 5 ; ecuacion: 11
U(4, 2) + U(5, 1) - 4*U(5, 2) + U(5, 3) + U(6, 2) = 0
j: 2 ; i: 6 ; ecuacion: 12
U(5, 2) + U(6, 1) - 4*U(6, 2) + U(6, 3) + U(7, 2) = 0
j: 2 ; i: 7 ; ecuacion: 13
U(6, 2) + U(7, 1) - 4*U(7, 2) + U(7, 3) + U(8, 2) = 0
U(6, 2) + U(7, 1) - 4*U(7, 2) + U(7, 3) = -25.0
j: 3 ; i: 1 ; ecuacion: 14
U(0, 3) + U(1, 2) - 4*U(1, 3) + U(1, 4) + U(2, 3) = 0
U(1, 2) - 4*U(1, 3) + U(1, 4) + U(2, 3) = -60.0
j: 3 ; i: 2 ; ecuacion: 15
U(1, 3) + U(2, 2) - 4*U(2, 3) + U(2, 4) + U(3, 3) = 0
j: 3 ; i: 3 ; ecuacion: 16
U(2, 3) + U(3, 2) - 4*U(3, 3) + U(3, 4) + U(4, 3) = 0
j: 3 ; i: 4 ; ecuacion: 17
U(3, 3) + U(4, 2) - 4*U(4, 3) + U(4, 4) + U(5, 3) = 0
j: 3 ; i: 5 ; ecuacion: 18
U(4, 3) + U(5, 2) - 4*U(5, 3) + U(5, 4) + U(6, 3) = 0
j: 3 ; i: 6 ; ecuacion: 19
U(5, 3) + U(6, 2) - 4*U(6, 3) + U(6, 4) + U(7, 3) = 0
j: 3 ; i: 7 ; ecuacion: 20
U(6, 3) + U(7, 2) - 4*U(7, 3) + U(7, 4) + U(8, 3) = 0
U(6, 3) + U(7, 2) - 4*U(7, 3) + U(7, 4) = -25.0
j: 4 ; i: 1 ; ecuacion: 21
U(0, 4) + U(1, 3) - 4*U(1, 4) + U(1, 5) + U(2, 4) = 0
U(1, 3) - 4*U(1, 4) + U(1, 5) + U(2, 4) = -60.0
j: 4 ; i: 2 ; ecuacion: 22
U(1, 4) + U(2, 3) - 4*U(2, 4) + U(2, 5) + U(3, 4) = 0
j: 4 ; i: 3 ; ecuacion: 23
U(2, 4) + U(3, 3) - 4*U(3, 4) + U(3, 5) + U(4, 4) = 0
j: 4 ; i: 4 ; ecuacion: 24
U(3, 4) + U(4, 3) - 4*U(4, 4) + U(4, 5) + U(5, 4) = 0
j: 4 ; i: 5 ; ecuacion: 25
U(4, 4) + U(5, 3) - 4*U(5, 4) + U(5, 5) + U(6, 4) = 0
j: 4 ; i: 6 ; ecuacion: 26
U(5, 4) + U(6, 3) - 4*U(6, 4) + U(6, 5) + U(7, 4) = 0
j: 4 ; i: 7 ; ecuacion: 27
U(6, 4) + U(7, 3) - 4*U(7, 4) + U(7, 5) + U(8, 4) = 0
U(6, 4) + U(7, 3) - 4*U(7, 4) + U(7, 5) = -25.0
j: 5 ; i: 1 ; ecuacion: 28
U(0, 5) + U(1, 4) - 4*U(1, 5) + U(1, 6) + U(2, 5) = 0
U(1, 4) - 4*U(1, 5) + U(2, 5) = -130.0
j: 5 ; i: 2 ; ecuacion: 29
U(1, 5) + U(2, 4) - 4*U(2, 5) + U(2, 6) + U(3, 5) = 0
U(1, 5) + U(2, 4) - 4*U(2, 5) + U(3, 5) = -70.0
j: 5 ; i: 3 ; ecuacion: 30
U(2, 5) + U(3, 4) - 4*U(3, 5) + U(3, 6) + U(4, 5) = 0
U(2, 5) + U(3, 4) - 4*U(3, 5) + U(4, 5) = -70.0
j: 5 ; i: 4 ; ecuacion: 31
U(3, 5) + U(4, 4) - 4*U(4, 5) + U(4, 6) + U(5, 5) = 0
U(3, 5) + U(4, 4) - 4*U(4, 5) + U(5, 5) = -70.0
j: 5 ; i: 5 ; ecuacion: 32
U(4, 5) + U(5, 4) - 4*U(5, 5) + U(5, 6) + U(6, 5) = 0
U(4, 5) + U(5, 4) - 4*U(5, 5) + U(6, 5) = -70.0
j: 5 ; i: 6 ; ecuacion: 33
U(5, 5) + U(6, 4) - 4*U(6, 5) + U(6, 6) + U(7, 5) = 0
U(5, 5) + U(6, 4) - 4*U(6, 5) + U(7, 5) = -70.0
j: 5 ; i: 7 ; ecuacion: 34
U(6, 5) + U(7, 4) - 4*U(7, 5) + U(7, 6) + U(8, 5) = 0
U(6, 5) + U(7, 4) - 4*U(7, 5) = -95.0

 A : 
 [[-4.  1.  0. ...  0.  0.  0.]
 [ 1. -4.  1. ...  0.  0.  0.]
 [ 0.  1. -4. ...  0.  0.  0.]
 ...
 [ 0.  0.  0. ... -4.  1.  0.]
 [ 0.  0.  0. ...  1. -4.  1.]
 [ 0.  0.  0. ...  0.  1. -4.]]

 B : 
 [-110.  -50.  -50.  -50.  -50.  -50.  -75.  -60.    0.    0.    0.    0.
    0.  -25.  -60.    0.    0.    0.    0.    0.  -25.  -60.    0.    0.
    0.    0.    0.  -25. -130.  -70.  -70.  -70.  -70.  -70.  -95.]
Resultados para U(x,y)
xi: [0.   0.25 0.5  0.75 1.   1.25 1.5  1.75 2.  ]
yj: [0.   0.25 0.5  0.75 1.   1.25 1.5 ]
 j, U[i,j]
6 [70. 70. 70. 70. 70. 70. 70. 70. 70.]
5 [60.   64.02 64.97 64.71 63.62 61.44 57.16 47.96 25.  ]
4 [60.   61.1  61.14 60.25 58.35 54.98 49.23 39.67 25.  ]
3 [60.   59.23 58.25 56.81 54.53 50.89 45.13 36.48 25.  ]
2 [60.   57.56 55.82 54.19 52.09 48.92 43.91 36.14 25.  ]
1 [60.   55.21 53.27 52.05 50.73 48.78 45.46 39.15 25.  ]
0 [50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50.]
>>> 

Instrucciones en Python

Las instrucciones completas con Sympy-Python son:

# Ecuaciones Diferenciales Parciales Elipticas
# EDP Elípticas contínua a discreta con Sympy
import numpy as np
import sympy as sym

# funciones continuas y variables simbólicas usadas
y = sym.Symbol('y',real=True)
x = sym.Symbol('x',real=True)
u = sym.Function('u')(x,y)
f = sym.Function('f')(x,y) # funcion complemento
# funciones discretas y variables simbólicas usadas
i  = sym.Symbol('i',integer=True,positive=True)
j  = sym.Symbol('j',integer=True,positive=True)
Dx = sym.Symbol('Dx',real=True,positive=True)
Dy = sym.Symbol('Dy',real=True,positive=True)
L  = sym.Symbol('L',real=True)
U  = sym.Function('U')(i,j)

# INGRESO
fxy = 0*x+0*y  # f(x,y) = 0 , ecuacion de Poisson
# ecuacion edp : LHS=RHS
LHS = sym.diff(u,x,2) + sym.diff(u,y,2)
RHS = fxy
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)

dif_dividida ={sym.diff(u,x,2): (U.subs(i,i-1)-2*U+U.subs(i,i+1))/(Dx**2),
               sym.diff(u,y,2): (U.subs(j,j-1)-2*U+U.subs(j,j+1))/(Dy**2),
               sym.diff(u,y,1): (U - U.subs(j,j-1))/Dy}

# Condiciones iniciales en los bordes
fya = lambda y: 60 +0*y  # izquierda
fyb = lambda y: 25 +0*y  # derecha
fxc = lambda x: 50 +0*x  # inferior, función inicial 
fxd = lambda x: 70 +0*x  # superior, función inicial 

# dimensiones de la placa
x0 = 0    # longitud en x
xn = 2
y0 = 0    # longitud en y
yn = 1.5
# discretiza, supone dx=dy
dx = 0.25  # Tamaño de paso
dy = dx
iteramax = 100
tolera = 0.0001

verdigitos = 2 # para mostrar en tabla de resultados

# PROCEDIMIENTO
def edp_discreta(edp,dif_dividida,x,y,u):
    ''' EDP contínua a discreta, usa diferencias divididas
        proporcionadas en parámetros, indica las variables x,y
        con función u de (x,y)
    '''
    resultado={}
    # expresión todo a la izquierda LHS (Left Hand side)
    LHS = edp.lhs
    RHS = edp.rhs
    if not(edp.rhs==0):
        LHS = LHS-RHS
        RHS = 0
        edp = sym.Eq(LHS,RHS)
    # para orden de derivada por x, y
    edp_x = edp.subs(x,0)
    edp_y = edp.subs(y,0)
    ordenDx = sym.ode_order(edp_x,u)
    ordenDy = sym.ode_order(edp_y,u)
    resultado['ordenDx'] = ordenDx
    resultado['ordenDy'] = ordenDy
    # convierte coeficiente d2u/dx2 a 1
    coeff_x = edp_coef_Dx(edp,x,ordenDx)
    if not(coeff_x==1):
        LHS = LHS/coeff_x
        RHS = RHS/coeff_x
    edp = sym.Eq(LHS,RHS)
    K_ = edp_coef_Dx(edp,y,ordenDy)
    resultado['edp=0']  = edp
    resultado['K_']  = K_
    # edp discreta
    discreta = edp.lhs 
    for derivada in dif_dividida:
        discreta = discreta.subs(derivada,dif_dividida[derivada])
    resultado['discreta=0'] = discreta
    return (resultado)

def edp_coef_Dx(edp,x,ordenx):
    ''' Extrae el coeficiente de la derivada Dx de ordenx
    '''
    coeff_x = 1.0
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(edp.lhs)
    for term_k in term_suma:
        if term_k.is_Mul: # término de mas de un factor
            factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
            coeff_temp = 1; coeff_usar=0
            # separa cada factor de término 
            for factor_k in factor_Mul:
                if not(factor_k.is_Derivative):
                    coeff_temp = coeff_temp*factor_k
                else: # factor con derivada de ordenx
                    partes = factor_k.args
                    if partes[1]==(x,ordenx):
                        coeff_usar = 1
            if coeff_usar==1:
                coeff_x = coeff_x*coeff_temp
    return(coeff_x)

def edp_simplificaLamba(resultado,dx,dy):
    '''simplifica ecuacion con valores de lambda, dx y dy
    entregando la edp discreta simplificada
    '''
    discreta = resultado['discreta=0']
    ordenDy = resultado['ordenDy']
    ordenDx = resultado['ordenDx']
    K_ = resultado['K_']
    lamb = (Dy**ordenDy)/(Dx**ordenDx)
    if ordenDy==1 and ordenDx==2:
        lamb = lamb/K_
    resultado['Lambda_L'] = lamb
    # valor de Lambda en ecuacion edp
    L_k = lamb.subs([(Dx,dx),(Dy,dy),(1.0,1)])
    resultado['Lambda L_k'] = L_k
    # simplifica con lambda L
    discreta_L = sym.expand(discreta*(Dy**ordenDy),mul=True)
    resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny'] = discreta_L
    discreta_L = edp_sustituye_L(resultado)
    discreta_L = discreta_L.subs(lamb,L)
    discreta_L = sym.collect(discreta_L,U)
    discreta_L = sym.Eq(discreta_L,0)
    resultado['discreta_L=0'] = discreta_L
    # sustituye constantes en ecuación a iterar
    discreta_L = discreta_L.subs([(Dx,dx),(Dy,dy),
                                  (L,L_k),(1.0,1)])
    resultado['discreta'] = discreta_L
    return(resultado)

def edp_sustituye_L(resultado):
    ''' sustituye lambda con Dy**ordeny/Dx**x/K_
    por L, al simplificar Lambda
    '''
    discreta = resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny']
    ordenDy = resultado['ordenDy']
    ordenDx = resultado['ordenDx']
    discreta_L = 0
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(discreta)
    for term_k in term_suma:
        # busca partes de L y cambia por valor L
        cambiar = 0 # por orden de derivada
        if term_k.has(Dx) and term_k.has(Dy):
            partes = term_k.args
            ordeny=1
            ordenx=1
            for unaparte in partes:    
                if unaparte.has(Dy):
                    if unaparte.is_Pow:
                        partey = unaparte.args
                        ordeny = partey[1]
                if unaparte.has(Dx):
                    if unaparte.is_Pow:
                        partey = unaparte.args
                        ordenx = partey[1]
            if (ordeny<=ordenDy and ordenx<=-ordenDx):
                cambiar=1
        if cambiar:
            term_k = term_k*L/resultado['Lambda_L']
        discreta_L = discreta_L + term_k
        # simplifica unos con decimal a entero 
        discreta_L = discreta_L.subs(1.0,1)
    return(discreta_L)

def edp_sustituyeValorU(discreta,xi,yj,u_xy,u_mask):
    '''Sustituye en edp discreta los valores conocidos de U[i,j]
    tomados desde u_xy, marcados con u_mask
    u_mask indica si el valor se ha calculado con edp.
    '''
    LHS = discreta.lhs # lado izquierdo de ecuacion
    RHS = discreta.rhs # lado derecho
    # sustituye U[i,j] con valores conocidos
    A_diagonal = [] # lista de i,j para matriz de coeficientes A
    # Separa términos suma
    term_suma = sym.Add.make_args(LHS)
    for term_k in term_suma:
        # busca U[i,j] y cambia por valor uxt[i,j]
        cambiar = 0 ; cambiar_valor = 0 ; cambiar_factor = 0
        # separa cada factor de término
        factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
        for factor_k in factor_Mul:
            # busca U[i,j] en matriz uxt[i,j]
            if factor_k.is_Function:
                [i_k,j_k] = factor_k.args
                if not(np.isnan(u_xy[i_k,j_k])):
                    cambiar = u_mask[i_k,j_k]
                    cambiar_factor = factor_k
                    cambiar_valor = u_xy[i_k,j_k]
                else:
                    A_diagonal.append([i_k,j_k,term_k/factor_k])
        # encontró valor U[i,j],term_k va a la derecha de ecuación
        if cambiar:
            LHS = LHS - term_k
            term_ki = term_k.subs(cambiar_factor,cambiar_valor)
            RHS = RHS - term_ki
    discreta = sym.Eq(LHS,RHS)
    B_diagonal = RHS
    resultado = [discreta,A_diagonal,B_diagonal]
    return (resultado)


# PROCEDIMIENTO
# transforma edp continua a discreta
resultado = edp_discreta(edp,dif_dividida,x,y,u)
resultado = edp_simplificaLamba(resultado,dx,dy)
discreta = resultado['discreta']

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
algun_numero = [int,float,str,'Lambda L_k']
print('EDP Elíptica contínua a discreta')
for entrada in resultado:
    tipo = type(resultado[entrada])
    if tipo in algun_numero or entrada in algun_numero:
        print('',entrada,':',resultado[entrada])
    else:
        print('\n',entrada,':')
        sym.pprint(resultado[entrada])

# ITERAR para cada i,j dentro de U ------------
# x[i] , y[j]  valor en posición en cada eje
xi = np.arange(x0,xn+dx,dx)
yj = np.arange(y0,yn+dy,dy)
n = len(xi)
m = len(yj)

# Matriz U
u_xy = np.zeros(shape=(n,m),dtype = float)
u_xy = u_xy*np.nan # valor inicial dentro de u
# llena u con valores en fronteras
u_xy[0,:]   = fya(yj)  # izquierda Ta
u_xy[n-1,:] = fyb(yj)  # derecha   Tb
u_xy[:,0]   = fxc(xi)  # inferior  Tc
u_xy[:,m-1] = fxd(xi)  # superior  Td
u0 = np.copy(u_xy)     # matriz u inicial

# u_mask[i,j] con valores iniciales o calculados:True
u_mask = np.zeros(shape=(n,m),dtype=bool)
u_mask[0,:]  = True # izquierda
u_mask[-1,:] = True # derecha
u_mask[:,0]  = True # inferior
u_mask[:,-1] = True # superior

# Método implícito para EDP Elíptica
# ITERAR para plantear las ecuaciones en [i,j]
resultado = {}
eq_itera = [] ; tamano = (n-2)*(m-2)
A = np.zeros(shape=(tamano,tamano),dtype=float)
B = np.zeros(tamano,dtype=float)
for j_k in range(1,m-1,1): # no usar valores en bordes
    for i_k in range(1,n-1,1): 
        eq_conteo = (j_k - 1)*(n-2)+(i_k-1)
        discreta_ij = discreta.subs({i:i_k,j:j_k,
                                     x:xi[i_k],y:yj[j_k]})
        resultado[eq_conteo]= {'j':j_k, 'i':i_k,
                                 'discreta_ij': discreta_ij}
        # usa valores de frontera segun u_mask con True
        discreta_k = edp_sustituyeValorU(discreta_ij,
                                        xi,yj,u_xy,u_mask)
        discreta_ij = discreta_k[0]
        A_diagonal  = discreta_k[1] # lista de (i,j,coeficiente) 
        B_diagonal  = discreta_k[2]
        resultado[eq_conteo]['discreta_k'] = discreta_k[0]
        # añade ecuacion a resolver
        eq_itera.append(discreta_ij)
        # Aplica coeficientes de ecuacion en A y B:
        # A_diagonal tiene lista de (i,j,coeficiente) 
        for uncoeff in A_diagonal:
            columna = (uncoeff[1]-1)*(n-2)+(uncoeff[0]-1)
            fila = (j_k - 1)*(n-2)+(i_k-1)
            A[fila,columna] = uncoeff[2]
        B[eq_conteo] = float(B_diagonal) # discreta_ij.rhs
resultado['A'] = np.copy(A)
resultado['B'] = np.copy(B)

# resuelve el sistema de ecuaciones en eq_itera en Sympy
X_k = sym.solve(eq_itera)[0]
# actualiza uxt[i,j] , u_mask segun X_k en Sympy
for nodo_Uij in X_k: 
    [i_k,j_k] = nodo_Uij.args
    u_xy[i_k,j_k] = X_k[nodo_Uij]
    u_mask[i_k,j_k] = True
# resuelve el sistema A.X=B en Numpy
#X = np.linalg.solve(A,B)
# tarea: llevar valores X a u_xy

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
algun_numero = [int,float,str,'Lambda L_k']
print('\nMétodo Implícito - EDP Elíptica')
for entrada in resultado:
    tipo = type(resultado[entrada])
    if tipo in algun_numero or entrada in algun_numero:
        print('',entrada,':',resultado[entrada])
    elif (tipo==dict):
        print('j:',resultado[entrada]['j'],'; '
              'i:',resultado[entrada]['i'],'; '
              'ecuacion:',entrada)
        sym.pprint(resultado[entrada]['discreta_ij'])
        if resultado[entrada]['discreta_k'].rhs!=0:
            sym.pprint(resultado[entrada]['discreta_k'])
    else:
        print('\n',entrada,': \n',resultado[entrada])
print('Resultados para U(x,y)')
print('xi:',xi)
print('yj:',yj)
print(' j, U[i,j]')
for j_k in range(m-1,-1,-1):
    print(j_k, (u_xy[:,j_k]))

---

EDP Elípticas [ contínua a discreta ] || [ sympy_iterativo ] [ sympy_implícito ]

EDP Parabólica [ contínua a discreta ] || [ sympy_explícito ] [sympy_ implícito ]
..

---

1. Ejercicio

Referencia:  Chapra 30.2 p888 pdf912, Burden 9Ed 12.2 p725, Rodríguez 10.2 p406

\frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} = K\frac{\partial u}{\partial t}

Valores de frontera: Ta = 60, Tb = 40, T0 = 25
Longitud en x a = 0, b = 1,  Constante K= 4
Tamaño de paso dx = 0.1, dt = dx/10

EDP Parabólica [ contínua a discreta ] || [ sympy_explícito ] [sympy_ implícito ]
..

---

2. EDP Parabólica contínua a discreta

El desarrollo analítico comienza en escribir la ecuación diferencial parcial parabólica de la forma contínua a la representación discreta, siguiendo los criterios indicados en la parte teórica usando derivadas expresadas en diferencias divididas.

La EDP se escribe en formato Sympy en el bloque de ingreso en dos partes: lado izquierdo (LHS) de la ecuación y lado derecho (RHS), definiendo u como una función de variables x,y.

# INGRESO
fxy = 0*x+0*y  # f(x,y) = 0 , ecuacion complementaria
# ecuacion edp : LHS=RHS
LHS = sym.diff(u,x,2) 
RHS = 4*sym.diff(u,y,1) + fxy
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)

La ecuación f(x,y) se añade para ser usada con otros ejercicios que puede revisar en la sección de Evaluaciones.

Las expresiones de diferencias divididas seleccionadas se ingresan como un diccionario:

dif_dividida ={sym.diff(u,x,2): (U.subs(i,i-1)-2*U+U.subs(i,i+1))/(Dx**2),
               sym.diff(u,y,1): (U.subs(j,j+1)-U)/Dy}

Las condiciones iniciales en los extremos a y b, y la temperatura en la barra, pueden ser funciones matemáticas, por lo que se propone usar el formato lambda de las variables x o y. En el ejercicio básico presentado en la parte teórica, la barra tiene temperatura constante, por lo que escribe como una  constante mas cero por la variable independiente, esta forma facilita la evaluación de un vector xi por ejemplo, en caso de disponer una expresión diferente.

# Valores de frontera
fya = lambda y: 60 +0*y  # izquierda
fyb = lambda y: 40 +0*y  # derecha
fxc = lambda x: 25 +0*x  # inferior, función inicial

los demás parámetros del ejercicio se ingresan más adelante de forma semejante al ejercicio con Numpy.

Todas las expresiones se escriben al lado izquierdo (LHS) de la igualdad, la parte del lado derecho(RHS) se la prefiere mantener en cero. La expresión se organiza manteniendo el coeficiente en 1 para el termino de Dx de mayor orden. Se sustituyen las derivadas por diferencias divididas, para luego simplificar la expresión usando λ como referencia.

Al desarrollar el método explícito se requiere indicar el nodo u(i,j+1) a buscar

buscar = U.subs(j,j+1) # método explícito

El valor de K se puede determinar en la expresión al reordenar para que el término de Dx de mayor grado sea la unidad. El valor de K será el del término Dy con signo negativo, al encontrarse en el lado izquierdo (LHS) de la expresión, en la propuesta teórica se encontraba como positivo del lado derecho.

El término de mayor grado se puede obtener al revisar la expresión por cada término de la suma, buscando el factor que contiene Dx o Dy en cada caso. Por ser un poco ordenado se añade la función edp_coef_Dx().

El resultado del algoritmo para el ejercicio propuesto es:

EDP Parabólica contínua a discreta
 ordenDx : 2
 ordenDy : 1

 edp=0 :
  2                             
 d               d              
---(u(x, y)) - 4*--(u(x, y)) = 0
  2              dy             
dx                              
 K_ : 4.0

 Lambda L :
0.25*Dy
-------
    2  
  Dx   
 Lambda L_k : 0.24999999999999997

 (discreta=0)*Dy**ordeny :
                            2*Dy*U(i, j)   Dy*U(i - 1, j)   Dy*U(i + 1, j)
4*U(i, j) - 4*U(i, j + 1) - ------------ + -------------- + --------------
                                  2               2                2      
                                Dx              Dx               Dx       

 discreta_L=0 :
/    2*Dy\                           Dy*U(i - 1, j)   Dy*U(i + 1, j)    
|4 - ----|*U(i, j) - 4*U(i, j + 1) + -------------- + -------------- = 0
|      2 |                                  2                2          
\    Dx  /                                Dx               Dx           

 discreta :
2.0*U(i, j) - 4*U(i, j + 1) + 1.0*U(i - 1, j) + 1.0*U(i + 1, j) = 0

>>>

Instrucciones en Python

Para revisar los resultados de algunos pasos para obtener la expresión discreta de EDP, se usa un diccionario a ser usado en el bloque de salida. Para las expresiones de ecuación se usa sym.pprint().

# Ecuaciones Diferenciales Parciales Parabólicas
# EDP Parabólicas contínua a discreta con Sympy
import numpy as np
import sympy as sym

# funciones continuas y variables simbólicas usadas
t = sym.Symbol('t',real=True)
y = sym.Symbol('y',real=True)
x = sym.Symbol('x',real=True)
u = sym.Function('u')(x,y)
K = sym.Symbol('K',real=True)
f = sym.Function('f')(x,y) # funcion complemento
# funciones discretas y variables simbólicas usadas
i  = sym.Symbol('i',integer=True,positive=True)
j  = sym.Symbol('j',integer=True,positive=True)
Dt = sym.Symbol('Dt',real=True,positive=True)
Dx = sym.Symbol('Dx',real=True,positive=True)
Dy = sym.Symbol('Dy',real=True,positive=True)
L  = sym.Symbol('L',real=True)
U  = sym.Function('U')(i,j)

# INGRESO
fxy = 0*x+0*y  # f(x,y) = 0 , ecuacion complementaria
# ecuacion edp : LHS=RHS
LHS = sym.diff(u,x,2) 
RHS = 4*sym.diff(u,y,1) + fxy
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)

dif_dividida ={sym.diff(u,x,2): (U.subs(i,i-1)-2*U+U.subs(i,i+1))/(Dx**2),
               sym.diff(u,y,1): (U.subs(j,j+1)-U)/Dy}

buscar = U.subs(j,j+1) # método explícito

# Valores de frontera
fya = lambda y: 60 +0*y  # izquierda
fyb = lambda y: 40 +0*y  # derecha
fxc = lambda x: 25 +0*x  # inferior, función inicial

# dimensiones de la barra
a = 0  # longitud en x
b = 1
y0 = 0 # tiempo inicial, aumenta con dt en n iteraciones

# discretiza, supone dx=dy
x_tramos = 10
dx  = (b-a)/x_tramos
dy  = dx/10

verdigitos = 2 # para mostrar en tabla de resultados

n_iteraciones = 4 # iteraciones en tiempo

# PROCEDIMIENTO

def edp_coef_Dx(edp,x,ordenx):
    ''' Extrae el coeficiente de la derivada Dx de ordenx
    '''
    coeff_x = 1.0
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(edp.lhs)
    for term_k in term_suma:
        if term_k.is_Mul: # mas de un factor
            factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
            coeff_temp = 1; coeff_usar=0
            # separa cada factor de término 
            for factor_k in factor_Mul:
                if not(factor_k.is_Derivative):
                    coeff_temp = coeff_temp*factor_k
                else: # factor con derivada de ordenx
                    partes = factor_k.args
                    if partes[1]==(x,ordenx):
                        coeff_usar = 1
            if coeff_usar==1:
                coeff_x = coeff_x*coeff_temp
    return(coeff_x)

resultado={}
# expresión todo a la izquierda LHS (Left Hand side)
if not(edp.rhs==0):
    LHS = EDP.lhs
    RHS = EDP.rhs
    edp = sym.Eq(LHS,RHS)
# para orden de derivada por x, y
edp_x = edp.subs(x,0)
edp_y = edp.subs(y,0)
ordenDx = sym.ode_order(edp_x,u)
ordenDy = sym.ode_order(edp_y,u)
resultado['ordenDx'] = ordenDx
resultado['ordenDy'] = ordenDy
# convierte coeficiente d2u/dx2 a 1
coeff_x = edp_coef_Dx(edp,x,ordenDx)
if not(coeff_x==1):
    LHS = LHS/coeff_x
    RHS = RHS/coeff_x
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)
K_ = -edp_coef_Dx(edp,y,ordenDy)
resultado['edp=0']  = edp
resultado['K_']  = float(K_)

lamb = (Dy**ordenDy)/(Dx**ordenDx)
if ordenDy==1 and ordenDx==2:
        lamb = lamb/K_
resultado['Lambda_L'] = lamb
# valor de Lambda en ecuacion edp
L_k = lamb.subs([(Dx,dx),(Dy,dy),(1.0,1)])
resultado['Lambda L_k'] = float(L_k)

discreta = edp.lhs # EDP discreta
for derivada in dif_dividida:
    discreta = discreta.subs(derivada,dif_dividida[derivada])

# simplifica con Lambda L
discreta_L = sym.expand(discreta*(Dy**ordenDy),mul=True)
resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny'] = discreta_L

discreta_L = discreta_L.subs(lamb,L)
discreta_L = sym.collect(discreta_L,U)
discreta_L = sym.Eq(discreta_L,0)
resultado['discreta_L=0'] = discreta_L
        
# sustituye constantes en ecuación a iterar
discreta_L = discreta_L.subs([(Dx,dx),(Dy,dy),
                              (L,L_k),(1.0+0*x,1)])
discreta_L = discreta_L.subs(1.0+0*x,1)
resultado['discreta'] = discreta_L

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
algun_numero = [int,float,str,'Lambda L_k']
print('EDP Parabólica contínua a discreta')
for entrada in resultado:
    tipo = type(resultado[entrada])
    if tipo in algun_numero or entrada in algun_numero:
        print('',entrada,':',resultado[entrada])
    else:
        print('\n',entrada,':')
        sym.pprint(resultado[entrada])

EDP Parabólica [ contínua a discreta ] || [ sympy_explícito ] [sympy_ implícito ]

..

---

3. EDP Parabólica – Método explícito con Sympy

El desarrollo del método explícito para una ecuación diferencial parcial parabólica usando Sympy, requiere añadir instrucciones para procesar la expresión obtenida en el algoritmo anterior con los valores de i,j.

Se añaden las instrucciones para iterar la expresión discreta para cada i,j dentro de la matriz U creada para el ejercicio. Se aplican las condiciones iniciales a los bordes de la matriz, para luego proceder a iterar.

Como en las actividades del curso se requiere realizar al menos 3 iteraciones para las expresiones del algoritmo con papel y lápiz, solo se presentarán los resultados de las expresiones para la primera fila en j=0.

El algoritmo para la EDP del ejemplo muestra el siguiente resultado:

Método explícito EDP Parabólica
 discreta_itera : U(i, j + 1) = 0.5*U(i, j) + 0.25*U(i - 1, j) + 0.25*U(i + 1, j) 
 iterar i,j:
j:  0  ;  i:  1  ;  ecuacion: 0
U(1, 1) = 0.25*U(0, 0) + 0.5*U(1, 0) + 0.25*U(2, 0)
U(1, 1) = 33.75
j:  0  ;  i:  2  ;  ecuacion: 1
U(2, 1) = 0.25*U(1, 0) + 0.5*U(2, 0) + 0.25*U(3, 0)
U(2, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  3  ;  ecuacion: 2
U(3, 1) = 0.25*U(2, 0) + 0.5*U(3, 0) + 0.25*U(4, 0)
U(3, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  4  ;  ecuacion: 3
U(4, 1) = 0.25*U(3, 0) + 0.5*U(4, 0) + 0.25*U(5, 0)
U(4, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  5  ;  ecuacion: 4
U(5, 1) = 0.25*U(4, 0) + 0.5*U(5, 0) + 0.25*U(6, 0)
U(5, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  6  ;  ecuacion: 5
U(6, 1) = 0.25*U(5, 0) + 0.5*U(6, 0) + 0.25*U(7, 0)
U(6, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  7  ;  ecuacion: 6
U(7, 1) = 0.25*U(6, 0) + 0.5*U(7, 0) + 0.25*U(8, 0)
U(7, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  8  ;  ecuacion: 7
U(8, 1) = 0.25*U(7, 0) + 0.5*U(8, 0) + 0.25*U(9, 0)
U(8, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  9  ;  ecuacion: 8
U(9, 1) = 0.25*U(8, 0) + 0.5*U(9, 0) + 0.25*U(10, 0)
U(9, 1) = 28.75
... continua calculando

x: [0.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. ]
t: [0.   0.01 0.02 0.03 0.04]
 j, U[i,j]
4 [60.   42.77 31.29 26.37 25.14 25.   25.06 25.59 27.7  32.62 40.  ]
3 [60.   40.86 29.38 25.55 25.   25.   25.   25.23 26.88 31.8  40.  ]
2 [60.   38.12 27.19 25.   25.   25.   25.   25.   25.94 30.62 40.  ]
1 [60.   33.75 25.   25.   25.   25.   25.   25.   25.   28.75 40.  ]
0 [60. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 40.]
>>> 

Instrucciones en Python

# Método explícito EDP Parabólica ------------
# ITERAR para cada i,j dentro de U 
# x[i] , y[j]  valor en posición en cada eje
xi = np.arange(a,b+dx,dx)
yj = np.arange(y0,n_iteraciones*dy+dy,dy)
n = len(xi)
m = len(yj)
# Matriz U
u_xy = np.zeros(shape=(n,m),dtype = float)
u_xy = u_xy*np.nan # valor inicial dentro de u
# llena u con valores en fronteras
u_xy[:,0]   = fxc(xi)  # inferior  Tc
u_xy[0,:]   = fya(yj)  # izquierda Ta
u_xy[n-1,:] = fyb(yj)  # derecha   Tb
u0 = np.copy(u_xy)     # matriz u inicial

# busca el término no conocido
u_explicito = sym.solve(discreta_L,buscar)
u_explicito = sym.Eq(buscar,u_explicito[0])
resultado['discreta_itera'] = u_explicito

print('\nMétodo explícito EDP Parabólica')
print('discreta_itera')
sym.pprint(u_explicito)
# iterando
print('\n iterar i,j:')
j_k = 0
for j_k in range(0,m-1,1):
    for i_k in range(1,n-1,1):
        eq_conteo = j_k*(n-2)+(i_k-1)
        discreta_ij = u_explicito.subs({i:i_k,j:j_k})
        valorij = 0 # calcula valor de nodo ij
        # separa cada término de suma
        term_suma = sym.Add.make_args(discreta_ij.rhs)
        for term_k in term_suma:
            term_ki = 1
            if term_k.is_Function:
                [i_f,j_f] = term_k.args
                term_ki = u_xy[i_f,j_f]
            elif term_k.is_Mul: # mas de un factor
                factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
                # separa cada factor de término 
                for factor_k in factor_Mul:
                    if factor_k.is_Function:
                        [i_f,j_f] = factor_k.args
                        term_ki = term_ki*u_xy[i_f,j_f]
                    else:
                        term_ki = term_ki*factor_k
            else:
                term_ki = term_k
            valorij = valorij + term_ki
        [i_f,j_f] = discreta_ij.lhs.args
        u_xy[i_f,j_f] = float(valorij) # actualiza matriz u
        # muestra las primeras m iteraciones
        if eq_conteo<(n-2):
            print('j: ',j_k,' ; ','i: ',i_k,
                  ' ; ','ecuacion:',eq_conteo)
            sym.pprint(discreta_ij)
            print(discreta_ij.lhs,'=',float(valorij))
print('... continua calculando')

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
print('\nx:',xi)
print('t:',yj)
print(' j, U[i,j]')
for j_k in range(m-1,-1,-1):
    print(j_k, (u_xy[:,j_k]))

EDP Parabólica [ contínua a discreta ] || [ sympy_explícito ] [sympy_ implícito ]
..

---

4. EDP Parabólica – Método implícito con Sympy

Para el ejercicio presentado en el numeral 1, se desarrolla el método implícito.

Las diferencias finitas centradas y hacia atras se definen en el diccionario dif_dividida.

Para desarrollar la expresión discreta, se incorpora la función edp_sustituye_L(), que busca el en cada término de la suma los componentes de λ y los sustituye por la variable L.

Para cada valor de j, se crean las ecuaciones desde la forma discreta de la EDP, moviendo a la derecha los valores conocidos para generar un sistema de ecuaciones A.X=B. Se resuelve el sistema de ecuaciones  y se actualiza la matriz u[i,j] de resultados.

Por la extensión de los pasos a mostrar, para las iteraciones en cada fila, solo se presentan para la primera fila. En caso de requerir observar más filas, puede cambiar el parámetro en el bloque de salida, en el condicional:

    elif (tipo==dict):
        if entrada<2

Los resultados para el algoritmo son:

EDP Parabólica contínua a discreta
 ordenDx : 2
 ordenDy : 1

 edp=0 :
  2                             
 d               d              
---(u(x, y)) - 4*--(u(x, y)) = 0
  2              dy             
dx                              
 K_ : 4.0

 Lambda_L :
0.25*Dy
-------
    2  
  Dx   
 Lambda L_k : 0.24999999999999997

 (discreta=0)*Dy**ordeny :
                             2*Dy*U(i, j)   Dy*U(i - 1, j)   Dy*U(i + 1, j)
-4*U(i, j) + 4*U(i, j - 1) - ------------ + -------------- + --------------
                                   2               2                2      
                                 Dx              Dx               Dx       

 discreta_L=0 :
4.0*L*U(i - 1, j) + 4.0*L*U(i + 1, j) + (-8.0*L - 4)*U(i, j) + 4*U(i, j - 1) =
 0

 discreta :
-6.0*U(i, j) + 4*U(i, j - 1) + 1.0*U(i - 1, j) + 1.0*U(i + 1, j) = 0

Método implícito EDP Parabólica
j: 1 ; i: 1
1.0*U(0, 1) + 4*U(1, 0) - 6.0*U(1, 1) + 1.0*U(2, 1) = 0
-6.0*U(1, 1) + 1.0*U(2, 1) = -160.0
j: 1 ; i: 2
1.0*U(1, 1) + 4*U(2, 0) - 6.0*U(2, 1) + 1.0*U(3, 1) = 0
1.0*U(1, 1) - 6.0*U(2, 1) + 1.0*U(3, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 3
1.0*U(2, 1) + 4*U(3, 0) - 6.0*U(3, 1) + 1.0*U(4, 1) = 0
1.0*U(2, 1) - 6.0*U(3, 1) + 1.0*U(4, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 4
1.0*U(3, 1) + 4*U(4, 0) - 6.0*U(4, 1) + 1.0*U(5, 1) = 0
1.0*U(3, 1) - 6.0*U(4, 1) + 1.0*U(5, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 5
1.0*U(4, 1) + 4*U(5, 0) - 6.0*U(5, 1) + 1.0*U(6, 1) = 0
1.0*U(4, 1) - 6.0*U(5, 1) + 1.0*U(6, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 6
1.0*U(5, 1) + 4*U(6, 0) - 6.0*U(6, 1) + 1.0*U(7, 1) = 0
1.0*U(5, 1) - 6.0*U(6, 1) + 1.0*U(7, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 7
1.0*U(6, 1) + 4*U(7, 0) - 6.0*U(7, 1) + 1.0*U(8, 1) = 0
1.0*U(6, 1) - 6.0*U(7, 1) + 1.0*U(8, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 8
1.0*U(7, 1) + 4*U(8, 0) - 6.0*U(8, 1) + 1.0*U(9, 1) = 0
1.0*U(7, 1) - 6.0*U(8, 1) + 1.0*U(9, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 9
1.0*U(8, 1) + 4*U(9, 0) - 6.0*U(9, 1) + 1.0*U(10, 1) = 0
1.0*U(8, 1) - 6.0*U(9, 1) = -140.0
A :
[[-6.  1.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 1. -6.  1.  0.  0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  1. -6.  1.  0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  1. -6.  1.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  1. -6.  1.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  1. -6.  1.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.  1. -6.  1.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.  0.  1. -6.  1.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  1. -6.]]
B :
[-160. -100. -100. -100. -100. -100. -100. -100. -140.]
X :
[31.01 26.03 25.18 25.03 25.01 25.01 25.08 25.44 27.57]
j: 2 ; i: 1
1.0*U(0, 2) + 4*U(1, 1) - 6.0*U(1, 2) + 1.0*U(2, 2) = 0
-6.0*U(1, 2) + 1.0*U(2, 2) = -184.020210038146
...
Resultados para U(x,y)
xi: [0.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. ]
yj: [0.   0.01 0.02 0.03 0.04]
 j, U[i,j]
4 [60.   40.67 30.61 26.75 25.51 25.18 25.24 25.76 27.41 31.71 40.  ]
3 [60.   38.34 29.06 26.09 25.28 25.09 25.13 25.47 26.74 30.72 40.  ]
2 [60.   35.25 27.49 25.55 25.12 25.03 25.05 25.24 26.07 29.39 40.  ]
1 [60.   31.01 26.03 25.18 25.03 25.01 25.01 25.08 25.44 27.57 40.  ]
0 [60. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 40.]
>>>

Instrucciones en Python

Para el método implícito se añade la sección donde se reemplazan los valores en los bordes y en la barra en la matriz U(x,y) en el algoritmo identificada como  u_xy . Para diferenciar si el valor existe se usa la matriz de estados u_mask con estados True/False.

También se incorpora la función edp_sustituyeValorU() que para cada término suma de la ecuación busca en la matriz u_xy si el valor U(i,j) existe y lo cambia. Luego pasa el valor al lado derecho de la ecuación par formar el sistema de ecuaciones.

Con los valores existentes antes de la iteración, se obtienen las ecuaciones por cada punto i,j de una fila para el sistema de ecuaciones en la forma A.x=B. El sistema se resuelve con las instrucciones de Numpy. El resultado se actualiza en la matriz u_xy y la matriz  u_mask para indicar que el valor ya está disponible.

Compare los resultados con el método numérico y mida los tiempos de ejecución de cada algoritmo para escribir sus observaciones.

# Ecuaciones Diferenciales Parciales Parabólicas
# EDP Parabólicas contínua a discreta con Sympy
import numpy as np
import sympy as sym

# funciones continuas y variables simbólicas usadas
t = sym.Symbol('t',real=True)
y = sym.Symbol('y',real=True)
x = sym.Symbol('x',real=True)
u = sym.Function('u')(x,y)
K = sym.Symbol('K',real=True)
f = sym.Function('f')(x,y) # funcion complemento
# funciones discretas y variables simbólicas usadas
i  = sym.Symbol('i',integer=True,positive=True)
j  = sym.Symbol('j',integer=True,positive=True)
Dt = sym.Symbol('Dt',real=True,positive=True)
Dx = sym.Symbol('Dx',real=True,positive=True)
Dy = sym.Symbol('Dy',real=True,positive=True)
L  = sym.Symbol('L',real=True)
U  = sym.Function('U')(i,j)

# INGRESO
fxy = 0*x+0*y  # f(x,y) = 0 , ecuacion complementaria
# ecuacion edp : LHS=RHS
LHS = sym.diff(u,x,2) 
RHS = 4*sym.diff(u,y,1) + fxy
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)

dif_dividida ={sym.diff(u,x,2): (U.subs(i,i-1)-2*U+U.subs(i,i+1))/(Dx**2),
               sym.diff(u,y,1): (U - U.subs(j,j-1))/Dy}

# Valores de frontera
fya = lambda y: 60 +0*y  # izquierda
fyb = lambda y: 40 +0*y  # derecha
fxc = lambda x: 25 +0*x  # inferior, función inicial

# dimensiones de la barra
a = 0  # longitud en x
b = 1
y0 = 0 # tiempo inicial, aumenta con dt en n iteraciones

# discretiza
x_tramos = 10
dx  = (b-a)/x_tramos
dy  = dx/10

verdigitos = 2 # para mostrar en tabla de resultados

n_iteraciones = 4 # iteraciones en tiempo

# PROCEDIMIENTO

def edp_coef_Dx(edp,x,ordenx):
    ''' Extrae el coeficiente de la derivada Dx de ordenx
    '''
    coeff_x = 1.0
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(edp.lhs)
    for term_k in term_suma:
        if term_k.is_Mul: # mas de un factor
            factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
            coeff_temp = 1; coeff_usar=0
            # separa cada factor de término 
            for factor_k in factor_Mul:
                if not(factor_k.is_Derivative):
                    coeff_temp = coeff_temp*factor_k
                else: # factor con derivada de ordenx
                    partes = factor_k.args
                    if partes[1]==(x,ordenx):
                        coeff_usar = 1
            if coeff_usar==1:
                coeff_x = coeff_x*coeff_temp
    return(coeff_x)

def edp_sustituye_L(resultado):
    ''' sustituye lambda con Dy**ordeny/Dx**x/K_
    por L, al simplificar Lambda
    '''
    discreta = resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny']
    ordenDy = resultado['ordenDy']
    ordenDx = resultado['ordenDx']
    discreta_L = 0
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(discreta)
    for term_k in term_suma:
        # busca partes de L y cambia por valor L
        cambiar = 0 # por orden de derivada
        if term_k.has(Dx) and term_k.has(Dy):
            partes = term_k.args
            ordeny=1
            ordenx=1
            for unaparte in partes:    
                if unaparte.has(Dy):
                    if unaparte.is_Pow:
                        partey = unaparte.args
                        ordeny = partey[1]
                if unaparte.has(Dx):
                    if unaparte.is_Pow:
                        partey = unaparte.args
                        ordenx = partey[1]
            if (ordeny<=ordenDy and ordenx<=-ordenDx):
                cambiar=1
        if cambiar:
            term_k = term_k*L/resultado['Lambda_L']
        discreta_L = discreta_L + term_k
        # simplifica unos con decimal a entero 
        discreta_L = discreta_L.subs(1.0,1)
    return(discreta_L)

resultado={}
# expresión todo a la izquierda LHS (Left Hand side)
if not(edp.rhs==0):
    LHS = EDP.lhs
    RHS = EDP.rhs
    edp = sym.Eq(LHS,RHS)
# para orden de derivada por x, y
edp_x = edp.subs(x,0)
edp_y = edp.subs(y,0)
ordenDx = sym.ode_order(edp_x,u)
ordenDy = sym.ode_order(edp_y,u)
resultado['ordenDx'] = ordenDx
resultado['ordenDy'] = ordenDy
# convierte coeficiente d2u/dx2 a 1
coeff_x = edp_coef_Dx(edp,x,ordenDx)
if not(coeff_x==1):
    LHS = LHS/coeff_x
    RHS = RHS/coeff_x
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)
K_ = -edp_coef_Dx(edp,y,ordenDy)
resultado['edp=0']  = edp
resultado['K_']  = float(K_)

lamb = (Dy**ordenDy)/(Dx**ordenDx)
if ordenDy==1 and ordenDx==2:
        lamb = lamb/K_
resultado['Lambda_L'] = lamb
# valor de Lambda en ecuacion edp
L_k = lamb.subs([(Dx,dx),(Dy,dy),(1.0,1)])
resultado['Lambda L_k'] = float(L_k)

discreta = edp.lhs # EDP discreta
for derivada in dif_dividida:
    discreta = discreta.subs(derivada,dif_dividida[derivada])

# simplifica con Lambda L
discreta_L = sym.expand(discreta*(Dy**ordenDy),mul=True)
resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny'] = discreta_L

discreta_L = edp_sustituye_L(resultado)
discreta_L = sym.collect(discreta_L,U)
discreta_L = sym.Eq(discreta_L,0)
resultado['discreta_L=0'] = discreta_L
        
# sustituye constantes en ecuación a iterar
discreta_L = discreta_L.subs([(Dx,dx),(Dy,dy),
                              (L,L_k),(1.0+0*x,1)])
resultado['discreta'] = discreta_L

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
algun_numero = [int,float,str,'Lambda L_k']
print('EDP Parabólica contínua a discreta')
for entrada in resultado:
    tipo = type(resultado[entrada])
    if tipo in algun_numero or entrada in algun_numero:
        print('',entrada,':',resultado[entrada])
    else:
        print('\n',entrada,':')
        sym.pprint(resultado[entrada])

# Método implícito EDP Parabólica ------------
# ITERAR para cada i,j dentro de U 
# x[i] , y[j]  valor en posición en cada eje
xi = np.arange(a,b+dx,dx)
yj = np.arange(y0,n_iteraciones*dy+dy,dy)
n = len(xi)
m = len(yj)
# Matriz U
u_xy = np.zeros(shape=(n,m),dtype = float)
u_xy = u_xy*np.nan # valor inicial dentro de u
# llena u con valores en fronteras
u_xy[:,0]   = fxc(xi)  # inferior  Tc
u_xy[0,:]   = fya(yj)  # izquierda Ta
u_xy[n-1,:] = fyb(yj)  # derecha   Tb
u0 = np.copy(u_xy)     # matriz u inicial

# u_mask[i,j] con valores iniciales o calculados:True
u_mask = np.zeros(shape=(n,m),dtype=bool)
u_mask[0,:]  = True # izquierda Ta
u_mask[-1,:] = True # derecha   Tb
u_mask[:,0]  = True # inferior  Tc

# Método implícito para EDP Parabólica
# a usar en iteraciones
discreta = resultado['discreta']

def edp_sustituyeValorU(discreta,xi,yj,u_xy,u_mask):
    '''Sustituye en edp discreta los valores conocidos de U[i,j]
    tomados desde u_xy, marcados con u_mask
    u_mask indica si el valor se ha calculado con edp.
    '''
    LHS = discreta.lhs # lado izquierdo de ecuacion
    RHS = discreta.rhs # lado derecho
    # sustituye U[i,j] con valores conocidos
    A_diagonal = [] # lista de i,j para matriz de coeficientes A
    # Separa términos suma
    term_suma = sym.Add.make_args(LHS)
    for term_k in term_suma:
        # busca U[i,j] y cambia por valor uxt[i,j]
        cambiar = 0 ; cambiar_valor = 0 ; cambiar_factor = 0
        # separa cada factor de término
        factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
        for factor_k in factor_Mul:
            # busca U[i,j] en matriz uxt[i,j]
            if factor_k.is_Function:
                [i_k,j_k] = factor_k.args
                if not(np.isnan(u_xy[i_k,j_k])):
                    cambiar = u_mask[i_k,j_k]
                    cambiar_factor = factor_k
                    cambiar_valor = u_xy[i_k,j_k]
                else:
                    A_diagonal.append([i_k,j_k,term_k/factor_k])
        # encontró valor U[i,j],term_k va a la derecha de ecuación
        if cambiar:
            LHS = LHS - term_k
            term_ki = term_k.subs(cambiar_factor,cambiar_valor)
            RHS = RHS - term_ki
    discreta = sym.Eq(LHS,RHS)
    B_diagonal = RHS
    resultado = [discreta,A_diagonal,B_diagonal]
    return (resultado)

# ITERAR para plantear las ecuaciones en [i,j]
resultado = {}
eq_itera = [] ; tamano = (n-2)
A = np.zeros(shape=(tamano,tamano),dtype=float)
B = np.zeros(tamano,dtype=float)
for j_k in range(1,m,1): # no usar valores en bordes
    resultado[j_k] ={}
    for i_k in range(1,n-1,1): 
        eq_conteo = i_k-1
        discreta_ij = discreta.subs({i:i_k,j:j_k,
                                     x:xi[i_k],y:yj[j_k]})
        resultado[j_k][eq_conteo]= {'j':j_k, 'i':i_k,
                                 'discreta_ij': discreta_ij}
        # usa valores de frontera segun u_mask con True
        discreta_k = edp_sustituyeValorU(discreta_ij,
                                        xi,yj,u_xy,u_mask)
        discreta_ij = discreta_k[0]
        A_diagonal  = discreta_k[1] # lista de (i,j,coeficiente) 
        B_diagonal  = discreta_k[2] # constante para B
        resultado[j_k][eq_conteo]['discreta_k'] = discreta_k[0]
        # añade ecuacion a resolver
        eq_itera.append(discreta_ij)
        # Aplica coeficientes de ecuacion en A y B:
        # A_diagonal tiene lista de (i,j,coeficiente) 
        for uncoeff in A_diagonal:
            columna = uncoeff[0]-1
            fila = eq_conteo
            A[fila,columna] = uncoeff[2]
        B[eq_conteo] = float(B_diagonal) # discreta_ij.rhs
    # resuelve el sistema A.X=B en Numpy
    X_k = np.linalg.solve(A,B)
    # actualiza uxt[i,j] , u_mask segun X_k
    u_xy[1:n-1,j_k] = X_k
    u_mask[1:n-1,j_k] = True
    # almacena resultados
    resultado[j_k]['A'] = np.copy(A)
    resultado[j_k]['B'] = np.copy(B)
    resultado[j_k]['X'] = np.copy(X_k)

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
algun_numero = [int,float,str,'Lambda L_k']
print('\nMétodo implícito EDP Parabólica')
for entrada in resultado:
    tipo = type(resultado[entrada])
    if tipo in algun_numero or entrada in algun_numero:
        print('',entrada,':',resultado[entrada])
    elif (tipo==dict):
        if entrada<2:
            eq_conteo = resultado[entrada].keys()
            for una_eq in eq_conteo:
                if una_eq=='A' or una_eq=='B' or una_eq=='X':
                    print(una_eq,':')
                    print(resultado[entrada][una_eq])
                else:
                    print('j:',resultado[entrada][una_eq]['j'],'; '
                          'i:',resultado[entrada][una_eq]['i'])
                    sym.pprint(resultado[entrada][una_eq]['discreta_ij'])
                    sym.pprint(resultado[entrada][una_eq]['discreta_k'])
    else:
        print('\n',entrada,': \n',resultado[entrada])
print('Resultados para U(x,y)')
print('xi:',xi)
print('yj:',yj)
print(' j, U[i,j]')
for j_k in range(m-1,-1,-1):
    print(j_k, (u_xy[:,j_k]))

---

EDP Parabólica [ contínua a discreta ] || [ sympy_explícito ] [sympy_ implícito ]

Referencia:  Chapra PT8.1 p860,  Rodríguez 10.4 p435

Las Ecuaciones Diferenciales Parciales tipo hiperbólicas semejantes a la mostrada, para un ejemplo en particular, representa la ecuación de onda de una dimensión u[x,t], que representa el desplazamiento vertical de una cuerda.

\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}

Los extremos de la cuerda de longitud unitaria están sujetos y referenciados a una posición 0 a la izquierda y 1 a la derecha.

u[x,t] , 0<x<1, t≥0
u(0,t) = 0 , t≥0
u(1,t) = 0 , t≥0

Al inicio, la cuerda está estirada por su punto central:

u(x,0) = \begin{cases} -0.5x &, 0\lt x\leq 0.5 \\ 0.5(x-1) &, 0.5\lt x \lt 1 \end{cases}

Se suelta la cuerda, con velocidad cero desde la posición inicial:

\frac{\partial u(x,0)}{\partial t} = 0

La solución se realiza de forma semejante al procedimiento para EDP parabólicas y elípticas. Se cambia a la forma discreta  usando diferencias finitas divididas:

\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Delta t)^2} =c^2 \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2}

El error es del orden O(\Delta x)^2 + O(\Delta t)^2.
se reagrupa de la forma:

u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1} = \frac{c^2 (\Delta t)^2}{(\Delta x)^2} \big( u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j} \big)

El término constante, por facilidad se simplifica con el valor de 1

\lambda = \frac{c^2 (\Delta t)^2}{(\Delta x)^2} =1

si c = 2 y Δx = 0.2, se deduce que Δt = 0.1

que al sustituir en la ecuación, se simplifica anulando el término u[i,j]:

u_{i,j+1}+u_{i,j-1} = u_{i+1,j}+u_{i-1,j}

en los que intervienen solo los puntos extremos. Despejando el punto superior del rombo:

u_{i,j+1} = u_{i+1,j}-u_{i,j-1}+u_{i-1,j}

Convergencia:

\lambda = \frac{c^2 (\Delta t)^2}{(\Delta x)^2} \leq 1

para simplificar aún más el problema, se usa la condición velocidad inicial de la cuerda igual a cero

\frac{\delta u_{i,0}}{\delta t}=\frac{u_{i,1}-u_{i,-1}}{2\Delta t} = 0 u_{i,-1}=u_{i,1}

que se usa para cuando el tiempo es cero, permite calcular los puntos para t[1]:

j=0

u_{i,1} = u_{i+1,0}-u_{i,-1}+u_{i-1,0} u_{i,1} = u_{i+1,0}-u_{i,1}+u_{i-1,0} 2 u_{i,1} = u_{i+1,0}+u_{i-1,0} u_{i,1} = \frac{u_{i+1,0}+u_{i-1,0}}{2}

Aplicando solo cuando j = 0

que al ponerlos en la malla se logra un sistema explícito para cada u[i,j], con lo que se puede resolver con un algoritmo:

Algoritmo en Python:

# Ecuaciones Diferenciales Parciales
# Hiperbólica. Método explicito
import numpy as np

def cuerdainicio(xi):
    n = len(xi)
    y = np.zeros(n,dtype=float)
    for i in range(0,n,1):
        if (xi[i]<=0.5):
            y[i]=-0.5*xi[i]
        else:
            y[i]=0.5*(xi[i]-1)
    return(y)

# INGRESO
x0 = 0
xn = 1 # Longitud de cuerda
y0 = 0
yn = 0 # Puntos de amarre
t0 = 0
c = 2
# discretiza
tramosx = 16
tramost = 32
dx = (xn-x0)/tramosx 
dt = dx/c

# PROCEDIMIENTO
xi = np.arange(x0,xn+dx,dx)
tj = np.arange(0,tramost*dt+dt,dt)
n = len(xi)
m = len(tj)

u = np.zeros(shape=(n,m),dtype=float)
u[:,0] = cuerdainicio(xi)
u[0,:] = y0
u[n-1,:] = yn
# Aplicando condición inicial
j = 0
for i in range(1,n-1,1):
    u[i,j+1] = (u[i+1,j]+u[i-1,j])/2
# Para los otros puntos
for j in range(1,m-1,1):
    for i in range(1,n-1,1):
        u[i,j+1] = u[i+1,j]-u[i,j-1]+u[i-1,j]

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=2)
print('xi =')
print(xi)
print('tj =')
print(tj)
print('matriz u =')
print(u)

con lo que se obtienen los resultados numéricos, que para mejor interpretación se presentan en una gráfica estática y otra animada.

# GRAFICA
import matplotlib.pyplot as plt

for j in range(0,m,1):
    y = u[:,j]
    plt.plot(xi,y)

plt.title('EDP hiperbólica')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

# **** GRÁFICO CON ANIMACION ***********
import matplotlib.animation as animation

# Inicializa parametros de trama/foto
retardo = 70   # milisegundos entre tramas
tramas  = m
maximoy = np.max(np.abs(u))
figura, ejes = plt.subplots()
plt.xlim([x0,xn])
plt.ylim([-maximoy,maximoy])

# lineas de función y polinomio en gráfico
linea_poli, = ejes.plot(xi,u[:,0], '-')
plt.axhline(0, color='k')  # Eje en x=0

plt.title('EDP hiperbólica')
# plt.legend()
# txt_x = (x0+xn)/2
txt_y = maximoy*(1-0.1)
texto = ejes.text(x0,txt_y,'tiempo:',
                  horizontalalignment='left')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid()

# Nueva Trama
def unatrama(i,xi,u):
    # actualiza cada linea
    linea_poli.set_ydata(u[:,i])
    linea_poli.set_xdata(xi)
    linea_poli.set_label('tiempo linea: '+str(i))
    texto.set_text('tiempo['+str(i)+']')
    # color de la línea
    if (i<=9):
        lineacolor = 'C'+str(i)
    else:
        numcolor = i%10
        lineacolor = 'C'+str(numcolor)
    linea_poli.set_color(lineacolor)
    return linea_poli, texto

# Limpia Trama anterior
def limpiatrama():
    linea_poli.set_ydata(np.ma.array(xi, mask=True))
    linea_poli.set_label('')
    texto.set_text('')
    return linea_poli, texto

# Trama contador
i = np.arange(0,tramas,1)
ani = animation.FuncAnimation(figura,
                              unatrama,
                              i ,
                              fargs=(xi,u),
                              init_func=limpiatrama,
                              interval=retardo,
                              blit=True)
# Graba Archivo video y GIFAnimado :
# ani.save('EDP_hiperbólica.mp4')
ani.save('EDP_hiperbolica.gif', writer='imagemagick')
plt.draw()
plt.show()

Una vez realizado el algoritmo, se pueden cambiar las condiciones iniciales de la cuerda y se observan los resultados.

Se recomienda realizar otros ejercicios de la sección de evaluaciones para EDP Hiperbólicas y observar los resultados con el algoritmo modificado.

EDP Elípticas [ concepto ] Método implícito: [ Analítico ] [ Algoritmo ]

..

---

1. EDP Elípticas: Método Implícito – Desarrollo Analítico

con el resultado desarrollado en EDP elípticas para:

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{ \partial y^2} = 0

y con el supuesto que: \lambda = \frac{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2} = 1

se puede plantear que:

u_{i+1,j}-4u_{i,j}+u_{i-1,j} + u_{i,j+1} +u_{i,j-1} = 0

con lo que para el método implícito, se plantea un sistema de ecuaciones para determinar los valores en cada punto desconocido.

j=1, i =1

u_{2,1}-4u_{1,1}+u_{0,1} + u_{1,2} +u_{1,0} = 0 u_{2,1}-4u_{1,1}+Ta + u_{1,2} +Tc= 0 -4u_{1,1}+u_{2,1}+u_{1,2} = -(Tc+Ta)

j=1, i =2

u_{3,1}-4u_{2,1}+u_{1,1} + u_{2,2} +u_{2,0} = 0 u_{3,1}-4u_{2,1}+u_{1,1} + u_{2,2} +Tc = 0 u_{1,1}-4u_{2,1}+u_{3,1}+ u_{2,2}= -Tc

j=1, i=3

u_{4,1}-4u_{3,1}+u_{2,1} + u_{3,2} +u_{3,0} = 0 Tb-4u_{3,1}+u_{2,1} + u_{3,2} +Tc = 0 u_{2,1} -4u_{3,1} + u_{3,2} = -(Tc+Tb)

j=2, i=1

u_{2,2}-4u_{1,2}+u_{0,2} + u_{1,3} +u_{1,1} = 0 u_{2,2}-4u_{1,2}+Ta + u_{1,3} +u_{1,1} = 0 -4u_{1,2}+u_{2,2}+u_{1,1}+u_{1,3} = -Ta

j = 2, i = 2

u_{1,2}-4u_{2,2}+u_{3,2} + u_{2,3} +u_{2,1} = 0

j = 2, i = 3

u_{4,2}-4u_{3,2}+u_{2,2} + u_{3,3} +u_{3,1} = 0 Tb-4u_{3,2}+u_{2,2} + u_{3,3} +u_{3,1} = 0 u_{2,2} -4u_{3,2}+ u_{3,3} +u_{3,1} = -Tb

j=3, i = 1

u_{2,3}-4u_{1,3}+u_{0,3} + u_{1,4} +u_{1,2} = 0 u_{2,3}-4u_{1,3}+Ta + Td +u_{1,2} = 0 -4u_{1,3}+u_{2,3}+u_{1,2} = -(Td+Ta)

j=3, i = 2

u_{3,3}-4u_{2,3}+u_{1,3} + u_{2,4} +u_{2,2} = 0 u_{3,3}-4u_{2,3}+u_{1,3} + Td +u_{2,2} = 0 +u_{1,3} -4u_{2,3}+u_{3,3} +u_{2,2} = -Td

j=3, i=3

u_{4,3}-4u_{3,3}+u_{2,3} + u_{3,4} +u_{3,2} = 0 Tb-4u_{3,3}+u_{2,3} + Td +u_{3,2} = 0 u_{2,3}-4u_{3,3}+u_{3,2} = -(Td+Tb)

con las ecuaciones se arma una matriz:

A = np.array([
    [-4, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
    [ 1,-4, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
    [ 0, 1,-4, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
    [ 1, 0, 0,-4, 1, 0, 1, 0, 0],
    [ 0, 1, 0, 1,-4, 1, 0, 1, 0],
    [ 0, 0, 1, 0, 1,-4, 0, 0, 1],
    [ 0, 0, 0, 1, 0, 0,-4, 1, 0],
    [ 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,-4, 1],
    [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,-4],
    ])
B = np.array([-(Tc+Ta),-Tc,-(Tc+Tb),
                  -Ta,   0,    -Tb,
              -(Td+Ta),-Td,-(Td+Tb)])

que al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene:

>>> Xu
array([ 56.43,  55.71,  56.43,  60.  ,  60.  ,  60.  ,  63.57,  64.29,
        63.57])

ingresando los resultados a la matriz u:

xi=
[ 0.   0.5  1.   1.5  2. ]
yj=
[ 0.    0.38  0.75  1.12  1.5 ]
matriz u
[[ 60.    60.    60.    60.    60.  ]
 [ 50.    56.43  60.    63.57  70.  ]
 [ 50.    55.71  60.    64.29  70.  ]
 [ 50.    56.43  60.    63.57  70.  ]
 [ 60.    60.    60.    60.    60.  ]]
>>>

EDP Elípticas [ concepto ] Método implícito: [ Analítico ] [ Algoritmo ]

..

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1. EDP Elípticas: Método Implícito – Desarrollo Analítico

Instrucciones en Python

# Ecuaciones Diferenciales Parciales
# Elipticas. Método implícito
import numpy as np

# INGRESO
# Condiciones iniciales en los bordes
Ta = 60
Tb = 60
Tc = 50
Td = 70
# dimensiones de la placa
x0 = 0
xn = 2
y0 = 0
yn = 1.5
# discretiza, supone dx=dy
tramosx = 4
tramosy = 4
dx = (xn-x0)/tramosx 
dy = (yn-y0)/tramosy 
maxitera = 100
tolera = 0.0001

A = np.array([
    [-4, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
    [ 1,-4, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
    [ 0, 1,-4, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
    [ 1, 0, 0,-4, 1, 0, 1, 0, 0],
    [ 0, 1, 0, 1,-4, 1, 0, 1, 0],
    [ 0, 0, 1, 0, 1,-4, 0, 0, 1],
    [ 0, 0, 0, 1, 0, 0,-4, 1, 0],
    [ 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,-4, 1],
    [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,-4],
    ])
B = np.array([-(Tc+Ta),-Tc,-(Tc+Tb),
              -Ta,0,-Tb,
              -(Td+Ta),-Td,-(Td+Tb)])


# PROCEDIMIENTO
# Resuelve sistema ecuaciones
Xu = np.linalg.solve(A,B)
[nx,mx] = np.shape(A)

xi = np.arange(x0,xn+dx,dx)
yj = np.arange(y0,yn+dy,dy)
n = len(xi)
m = len(yj)

u = np.zeros(shape=(n,m),dtype=float)
u[:,0]   = Tc
u[:,m-1] = Td
u[0,:]   = Ta
u[n-1,:] = Tb
u[1:1+3,1] = Xu[0:0+3]
u[1:1+3,2] = Xu[3:3+3]
u[1:1+3,3] = Xu[6:6+3]

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=2)
print('xi=')
print(xi)
print('yj=')
print(yj)
print('matriz u')
print(u)

La gráfica de resultados se obtiene de forma semejante al ejercicio con método iterativo.

Se podría estandarizar un poco más el proceso para que sea realizado por el algoritmo y sea más sencillo generar la matriz con más puntos. Tarea.

EDP Elípticas [ concepto ] [ ejercicio ]
Método iterativo: [ Analítico ] [ Algoritmo ]

..

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1. Ejercicio

Referencia: Chapra 29.1 p866, Rodríguez 10.3 p425, Burden 12.1 p694

Siguiendo el tema anterior en EDP Elípticas, para resolver la parte numérica asuma

Valores de frontera: Ta = 60, Tb = 25, Tc = 50, Td = 70
Longitud en x0 = 0, xn = 2, y0 = 0, yn = 1.5
Tamaño de paso dx = 0.25, dy = dx
iteramax=100, tolera = 0.0001

Para la ecuación diferencial parcial Elíptica

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{ \partial y^2} = 0

EDP Elípticas [ concepto ] [ ejercicio ]
Método iterativo: [ Analítico ] [ Algoritmo ]
..

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2. EDP Elípticas: Método iterativo – Desarrollo Analítico

A partir del resultado desarrollado en EDP elípticas:

\frac{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2} \Big( u_{i+1,j}-2u_{i,j} +u_{i-1,j} \Big)+ u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}=0 \lambda \Big( u_{i+1,j}-2u_{i,j} +u_{i-1,j} \Big)+ u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}=0

y con el supuesto que: \lambda = \frac{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2} = 1

se puede plantear que:

u_{i+1,j}-4u_{i,j}+u_{i-1,j} + u_{i,j+1} +u_{i,j-1} = 0

que reordenando para un punto central desconocido se convierte a:

u_{i,j} = \frac{1}{4} \big[ u_{i+1,j}+u_{i-1,j} + u_{i,j+1} +u_{i,j-1} \big]

con lo que se interpreta que cada punto central es el resultado del promedio de los puntos alrededor del rombo formado en la malla.

El cálculo numérico se puede realizar de forma iterativa haciendo varias pasadas en la matriz, promediando cada punto. Para revisar las iteraciones se controla la convergencia junto con un máximo de iteraciones.

EDP Elípticas [ concepto ] [ ejercicio ]
Método iterativo: [ Analítico ] [ Algoritmo ]

..

---

3. Algoritmo en Python

Para el ejercicio dado, se presenta el resultado para tres iteraciones y el resultado final con un gráfico en 3D:

u inicial:
[[50.   50.   50.   50.   50.   50.   50.   50.   50.  ]
 [60.   51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 25.  ]
 [60.   51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 25.  ]
 [60.   51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 25.  ]
 [60.   51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 25.  ]
 [60.   51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 25.  ]
 [70.   70.   70.   70.   70.   70.   70.   70.   70.  ]]
itera: 0   ;  u:
[[50.   50.   50.   50.   50.   50.   50.   50.   50.  ]
 [60.   53.12 51.41 50.98 50.87 50.84 50.84 44.27 25.  ]
 [60.   53.91 51.95 51.36 51.18 51.13 51.12 42.91 25.  ]
 [60.   54.1  52.14 51.5  51.3  51.23 51.21 42.59 25.  ]
 [60.   54.15 52.2  51.55 51.34 51.27 51.24 42.52 25.  ]
 [60.   58.85 58.07 57.72 57.58 57.52 57.5  48.76 25.  ]
 [70.   70.   70.   70.   70.   70.   70.   70.   70.  ]]
errado_u:  8.728094100952148
itera: 1   ;  u:
[[50.   50.   50.   50.   50.   50.   50.   50.   50.  ]
 [60.   53.83 51.69 50.98 50.75 50.68 49.02 41.73 25.  ]
 [60.   54.97 52.54 51.55 51.18 51.05 48.55 39.47 25.  ]
 [60.   55.31 52.89 51.82 51.39 51.23 48.4  38.85 25.  ]
 [60.   56.59 54.78 53.91 53.54 53.38 50.45 40.76 25.  ]
 [60.   61.17 60.91 60.6  60.42 60.33 57.38 48.29 25.  ]
 [70.   70.   70.   70.   70.   70.   70.   70.   70.  ]]
errado_u:  3.7443900108337402
itera: 2   ;  u:
[[50.   50.   50.   50.   50.   50.   50.   50.   50.  ]
 [60.   54.17 51.92 51.06 50.73 50.2  47.62 40.52 25.  ]
 [60.   55.5  52.97 51.76 51.23 50.3  46.45 37.7  25.  ]
 [60.   56.25 53.95 52.75 52.19 51.07 46.71 37.54 25.  ]
 [60.   58.05 56.71 55.9  55.47 54.33 49.8  40.16 25.  ]
 [60.   62.24 62.39 62.18 61.99 60.93 57.25 48.1  25.  ]
 [70.   70.   70.   70.   70.   70.   70.   70.   70.  ]]
errado_u:  2.0990657806396484
... continua
Método Iterativo EDP Elíptica
iteraciones: 41  converge =  True
xi: [0.   0.25 0.5  0.75 1.   1.25 1.5  1.75 2.  ]
yj: [0.   0.25 0.5  0.75 1.   1.25 1.5 ]
Tabla de resultados en malla EDP Elíptica
j, U[i,j]
6 [70. 70. 70. 70. 70. 70. 70. 70. 70.]
5 [60.   64.02 64.97 64.71 63.62 61.44 57.16 47.96 25.  ]
4 [60.   61.1  61.14 60.25 58.35 54.98 49.23 39.67 25.  ]
3 [60.   59.23 58.25 56.8  54.53 50.89 45.13 36.48 25.  ]
2 [60.   57.56 55.82 54.19 52.09 48.92 43.91 36.14 25.  ]
1 [60.   55.21 53.27 52.05 50.73 48.78 45.46 39.15 25.  ]
0 [50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50.]
>>>

cuyos valores se interpretan mejor en una gráfica, en este caso 3D:

Instrucciones en Python

# Ecuaciones Diferenciales Parciales
# Elipticas. Método iterativo
import numpy as np

# INGRESO
# Condiciones iniciales en los bordes
Ta = 60     # izquierda
Tb = 25     # derecha
#Tc = 50    # inferior 
fxc = lambda x: 50+0*x # función inicial inferior
# Td = 70   # superior
fxd = lambda x: 70+0*x # función inicial superior
# dimensiones de la placa
x0 = 0    # longitud en x
xn = 2
y0 = 0    # longitud en y
yn = 1.5
# discretiza, supone dx=dy
dx = 0.25  # Tamaño de paso
dy = dx
iteramax = 100
tolera = 0.0001
verdigitos = 2   # decimales a mostrar en tabla de resultados

# PROCEDIMIENTO
xi = np.arange(x0,xn+dx,dx)
yj = np.arange(y0,yn+dy,dy)
n = len(xi)
m = len(yj)

# Matriz u
u = np.zeros(shape=(n,m),dtype = float)
# llena u con valores en fronteras
u[0,:]   = Ta       # izquierda
u[n-1,:] = Tb       # derecha
fic = fxc(xi)
u[:,0]   = fic  # Tc inferior
fid = fxd(xi)
u[:,m-1] = fid  # Td superior
# valor inicial de iteración dentro de u
# promedio = (Ta+Tb+Tc+Td)/4
promedio = (Ta+Tb+np.max(fic)+np.max(fid))/4
u[1:n-1,1:m-1] = promedio
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
print('u inicial:')
print(np.transpose(u))

# iterar puntos interiores
itera = 0
converge = False
while (itera<=iteramax and converge==False):
    itera = itera +1
    Uantes = np.copy(u)
    for i in range(1,n-1):
        for j in range(1,m-1):
            u[i,j] = (u[i-1,j]+u[i+1,j]+u[i,j-1]+u[i,j+1])/4
    diferencia = u - Uantes
    errado_u = np.max(np.abs(diferencia))
    if (errado_u<tolera):
        converge=True
    if itera<=3:
        np.set_printoptions(precision=verdigitos)
        print('itera:',itera-1,'  ; ','u:')
        print(np.transpose(u))
        print('errado_u: ', errado_u)
    if itera==4:
        print('... continua')
        
# SALIDA
print('Método Iterativo EDP Elíptica')
print('iteraciones:',itera,' converge = ', converge)
print('xi:', xi)
print('yj:', yj)
print('Tabla de resultados en malla EDP Elíptica')
print('j, U[i,j]')
for j in range(m-1,-1,-1):
    print(j,u[:,j])

La gráfica de resultados requiere ajuste de ejes, pues el índice de filas es el eje x, y las columnas es el eje y. La matriz y sus datos en la gráfica se obtiene como la transpuesta de u

# GRAFICA en 3D ------
import matplotlib.pyplot as plt
# Malla para cada eje X,Y
Xi, Yi = np.meshgrid(xi, yj)
U = np.transpose(u) # ajuste de índices fila es x

fig_3D = plt.figure()
graf_3D = fig_3D.add_subplot(111, projection='3d')
graf_3D.plot_wireframe(Xi,Yi,U,
                       color ='blue')
graf_3D.plot(Xi[1,0],Yi[1,0],U[1,0],'o',color ='orange')
graf_3D.plot(Xi[1,1],Yi[1,1],U[1,1],'o',color ='red',
             label='U[i,j]')
graf_3D.plot(Xi[1,2],Yi[1,2],U[1,2],'o',color ='salmon')
graf_3D.plot(Xi[0,1],Yi[0,1],U[0,1],'o',color ='green')
graf_3D.plot(Xi[2,1],Yi[2,1],U[2,1],'o',color ='salmon')
graf_3D.set_title('EDP elíptica')
graf_3D.set_xlabel('x')
graf_3D.set_ylabel('y')
graf_3D.set_zlabel('U')
graf_3D.legend()
graf_3D.view_init(35, -45)
plt.show()

---

EDP Elípticas [ concepto ] [ ejercicio ]
Método iterativo: [ Analítico ] [ Algoritmo ]

 

EDP Elípticas [ concepto ] Método [ iterativo ] [ implícito ]

..

---

1. EDP Elípticas

Referencia: Chapra 29.1 p866, Rodríguez 10.3 p425, Burden 12.1 p694

Las Ecuaciones Diferenciales Parciales tipo elípticas semejantes a la mostrada:

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{ \partial y^2} = 0

(ecuación de Laplace, Ecuación de Poisson con f(x,y)=0)

se interpreta como una placa metálica de dimensiones Lx y Ly, delgada con aislante que recubren las caras de la placa, y sometidas a condiciones en las fronteras:

Lx = dimensión x de placa metálica
Ly = dimensión y de placa metálica
u[0,y]  = Ta
u[Lx,y] = Tb
u[x,0]  = Tc
u[x,Ly] = Td

Para el planteamiento se usa una malla en la que cada nodo corresponden a los valores u[x_i,y_j]. Para simplificar la nomenclatura se usan los subíndices i para el eje de las x y j para el eje t, quedando u[i,j].

Se discretiza la ecuación usando diferencias divididas que se sustituyen en la ecuación, por ejemplo:

\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} + \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Delta y)^2}=0

Se agrupan los términos de los diferenciales:

\frac{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2} \Big( u_{i+1,j}-2u_{i,j} +u_{i-1,j} \Big)+ u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}=0 \lambda \Big( u_{i+1,j}-2u_{i,j} +u_{i-1,j} \Big)+ u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}=0

con lo que se simplifican los valores como uno solo \lambda = \frac{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2} = 1 . Por facilidad de lo que se realiza se supone que lambda tiene valor de 1 o los delta son iguales.

u_{i+1,j}-4u_{i,j}+u_{i-1,j} + u_{i,j+1} +u_{i,j-1} = 0

Obteniendo así la solución numérica conceptual. La forma de resolver el problema determina el nombre del método a seguir.

---

EDP Elípticas [ concepto ] Método [ iterativo ] [ implícito ]

EDP Parabólica [ concepto ] [ ejercicio ]
Método implícito: [ Analítico ] [ Algoritmo ]

..

---

1. Ejercicio

Referencia:  Chapra 30.3 p893 pdf917, Burden 9Ed 12.2 p729, Rodríguez 10.2.4 p415

Siguiendo el tema anterior en EDP Parabólicas, se tiene que:

\frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} = K\frac{\partial u}{\partial t}

EDP Parabólica [ concepto ] [ ejercicio ]
Método implícito: [ Analítico ] [ Algoritmo ]

..

---

2. Desarrollo Analítico

En éste caso se usan diferencias finitas centradas y hacia atrás; la línea de referencia es t₁:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{u_{i+1,j} - 2 u_{i,j} + u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{u_{i,j} - u_{i,j-1} }{\Delta t}

La selección de las diferencias divididas corresponden a los puntos que se quieren usar para el cálculo, se observan mejor en la gráfica de la malla.

Luego se sustituyen en la ecuación del problema, obteniendo:

\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} = K\frac{u_{i,j}-u_{i,j-1}}{\Delta t}

De la gráfica se destaca que en la fórmula, dentro del triángulo solo hay DOS valores desconocidos, destacados por los punto en amarillo.
En la ecuación se representa por U[i,j] y U[i+1,j]. Por lo que será necesario crear un sistema de ecuaciones sobre toda la línea de tiempo t₁ para resolver el problema.

Despejando la ecuación, se agrupan términos constantes: λ = \frac{\Delta t}{K (\Delta x)^2} .

\lambda u_{i-1,j} + (-1-2\lambda) u_{i,j} + \lambda u_{i+1,j} = -u_{i,j-1}

Los parámetro P, Q y R se determinan de forma semejante al método explícito:

P = \lambda Q = -1-2\lambda R = \lambda Pu_{i-1,j} + Qu_{i,j} + Ru_{i+1,j} = -u_{i,j-1}

Los valores en los extremos son conocidos, para los puntos intermedios  se crea un sistema de ecuaciones para luego usar la forma Ax=B y resolver los valores para cada u(x_i,t_j).

Por ejemplo con cuatro tramos entre extremos se tiene que:
indice de tiempo es 1 e índice de x es 1.

i=1,j=1

Pu_{0,1} + Qu_{1,1} + Ru_{2,1} = -u_{1,0}

i=2,j=1

Pu_{1,1} + Qu_{2,1} + Ru_{3,1} = -u_{2,0}

i=3,j=1

Pu_{2,1} + Qu_{3,1} + Ru_{4,1} = -u_{3,0}

agrupando ecuaciones y sustituyendo valores conocidos:
\begin{cases} Qu_{1,1} + Ru_{2,1} + 0 &= -T_{0}-PT_{A}\\Pu_{1,1} + Qu_{2,1} + Ru_{3,1} &= -T_{0}\\0+Pu_{2,1}+Qu_{3,1}&=-T_{0}-RT_{B}\end{cases}

que genera la matriz a resolver:

\begin{bmatrix} Q && R && 0 && -T_{0}-PT_{A}\\P && Q && R && -T_{0}\\0 && P && Q && -T_{0}-RT_{B}\end{bmatrix}

Use alguno de los métodos de la unidad 3 para resolver el sistema y obtener los valores correspondientes.

Por la extensión de la solución es conveniente usar un algoritmo y convertir los pasos o partes pertinentes a funciones.

Tarea: Revisar y comparar con el método explícito.

EDP Parabólica [ concepto ] [ ejercicio ]
Método implícito: [ Analítico ] [ Algoritmo ]

..

---

Algoritmos en Python

Para la solución con el método implícito, se obtiene el mismo resultado en la gráfica y tabla. Aunque el algoritmo es diferente.

algunos valores:

iteración j: 1
A:
 [[-1.5   0.25  0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.  ]
 [ 0.25 -1.5   0.25  0.    0.    0.    0.    0.    0.  ]
 [ 0.    0.25 -1.5   0.25  0.    0.    0.    0.    0.  ]
 [ 0.    0.    0.25 -1.5   0.25  0.    0.    0.    0.  ]
 [ 0.    0.    0.    0.25 -1.5   0.25  0.    0.    0.  ]
 [ 0.    0.    0.    0.    0.25 -1.5   0.25  0.    0.  ]
 [ 0.    0.    0.    0.    0.    0.25 -1.5   0.25  0.  ]
 [ 0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.25 -1.5   0.25]
 [ 0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.25 -1.5 ]]
B:
 [-40. -25. -25. -25. -25. -25. -25. -25. -35.]
resultado en j: 1 
 [31.01 26.03 25.18 25.03 25.01 25.01 25.08 25.44 27.57]
iteración j: 2
A:
 [[-1.5   0.25  0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.  ]
 [ 0.25 -1.5   0.25  0.    0.    0.    0.    0.    0.  ]
 [ 0.    0.25 -1.5   0.25  0.    0.    0.    0.    0.  ]
 [ 0.    0.    0.25 -1.5   0.25  0.    0.    0.    0.  ]
 [ 0.    0.    0.    0.25 -1.5   0.25  0.    0.    0.  ]
 [ 0.    0.    0.    0.    0.25 -1.5   0.25  0.    0.  ]
 [ 0.    0.    0.    0.    0.    0.25 -1.5   0.25  0.  ]
 [ 0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.25 -1.5   0.25]
 [ 0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.25 -1.5 ]]
B:
 [-46.01 -26.03 -25.18 -25.03 -25.01 -25.01 -25.08 -25.44 -37.57]
resultado en j: 2 
 [35.25 27.49 25.55 25.12 25.03 25.05 25.24 26.07 29.39]
iteración j: 3
A:
 [[-1.5   0.25  0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.  ]
 [ 0.25 -1.5   0.25  0.    0.    0.    0.    0.    0.  ]
 [ 0.    0.25 -1.5   0.25  0.    0.    0.    0.    0.  ]
 [ 0.    0.    0.25 -1.5   0.25  0.    0.    0.    0.  ]
 [ 0.    0.    0.    0.25 -1.5   0.25  0.    0.    0.  ]
 [ 0.    0.    0.    0.    0.25 -1.5   0.25  0.    0.  ]
 [ 0.    0.    0.    0.    0.    0.25 -1.5   0.25  0.  ]
 [ 0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.25 -1.5   0.25]
 [ 0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.25 -1.5 ]]
B:
 [-50.25 -27.49 -25.55 -25.12 -25.03 -25.05 -25.24 -26.07 -39.39]
resultado en j: 3 
 [38.34 29.06 26.09 25.28 25.09 25.13 25.47 26.74 30.72]
EDP Parabólica - Método implícito 
lambda:  0.25
x: [0.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. ]
t: [0.   0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 ] ... 1.0
Tabla de resultados en malla EDP Parabólica
j, U[:,: 10 ], primeras iteraciones
10 [60.   47.43 37.58 31.3  27.98 26.64 26.63 27.83 30.43 34.63 40.  ]
9 [60.   46.75 36.68 30.56 27.48 26.3  26.33 27.47 30.04 34.33 40.  ]
8 [60.   45.96 35.69 29.8  27.01 26.   26.06 27.12 29.6  33.99 40.  ]
7 [60.   45.01 34.6  29.02 26.57 25.73 25.81 26.76 29.13 33.58 40.  ]
6 [60.   43.87 33.39 28.24 26.16 25.51 25.58 26.41 28.6  33.09 40.  ]
5 [60.   42.45 32.06 27.48 25.8  25.32 25.39 26.07 28.03 32.48 40.  ]
4 [60.   40.67 30.61 26.75 25.51 25.18 25.24 25.76 27.41 31.71 40.  ]
3 [60.   38.34 29.06 26.09 25.28 25.09 25.13 25.47 26.74 30.72 40.  ]
2 [60.   35.25 27.49 25.55 25.12 25.03 25.05 25.24 26.07 29.39 40.  ]
1 [60.   31.01 26.03 25.18 25.03 25.01 25.01 25.08 25.44 27.57 40.  ]
0 [60. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 40.]
>>> 

Instrucciones en Python

# EDP parabólicas d2u/dx2  = K du/dt
# método implícito
# Referencia: Chapra 30.3 p.895 pdf.917
#       Rodriguez 10.2.5 p.417
import numpy as np

# INGRESO
# Valores de frontera
Ta = 60
Tb = 40
#T0 = 25 # estado inicial de barra
fx = lambda x: 25 + 0*x # función inicial para T0
a = 0  # longitud en x
b = 1

K = 4     # Constante K
dx = 0.1  # Tamaño de paso
dt = dx/10

n = 100 # iteraciones en tiempo
verdigitos = 2   # decimales a mostrar en tabla de resultados

# PROCEDIMIENTO
# iteraciones en longitud
xi = np.arange(a,b+dx,dx)
fi = fx(xi)
m  = len(xi)
ultimox = m-1
ultimot = n-1
# Resultados en tabla u[x,t]
u = np.zeros(shape=(m,n), dtype=float)

# valores iniciales de u[:,j]
j = 0
u[0,:]= Ta
u[1:ultimox,j] = fi[1:ultimox]
u[ultimox,:] = Tb

# factores P,Q,R
lamb = dt/(K*dx**2)
P = lamb
Q = -1 -2*lamb
R = lamb

# Calcula U para cada tiempo + dt
tj = np.arange(0,(n+1)*dt,dt)
j = 1
while not(j>=n):
    # Matriz de ecuaciones
    k = m-2
    A = np.zeros(shape=(k,k), dtype = float)
    B = np.zeros(k, dtype = float)
    for f in range(0,k,1):
        if (f>0):
            A[f,f-1]=P
        A[f,f] = Q
        if (f<(k-1)):
            A[f,f+1]=R
        B[f] = -u[f+1,j-1]
    B[0] = B[0]-P*u[0,j]
    B[k-1] = B[k-1]-R*u[m-1,j]
    # Resuelve sistema de ecuaciones
    C = np.linalg.solve(A, B)

    # copia resultados a u[i,j]
    for f in range(0,k,1):
        u[f+1,j] = C[f]

    # siguiente iteración
    j = j + 1

    # muestra 3 primeras iteraciones
    np.set_printoptions(precision=verdigitos)
    if j<(3+2): 
        print('iteración j:',j-1)
        print('A:\n',A)
        print('B:\n',B)
        print('resultado en j:',j-1,'\n',C)
        
# SALIDA
print('EDP Parabólica - Método implícito ')
print('lambda: ',np.around(lamb,verdigitos))
print('x:',xi)
print('t:',tj[0:len(xi)],'...',tj[-1])
print('Tabla de resultados en malla EDP Parabólica')
print('j, U[:,:',ultimox,'], primeras iteraciones')
for j in range(ultimox,-1,-1):
    print(j,u[:,j])

Para realizar la gráfica se aplica lo mismo que en el método explícito

# GRAFICA ------------
import matplotlib.pyplot as plt
tramos = 10
salto = int(n/tramos) # evita muchas líneas
if (salto == 0):
    salto = 1
for j in range(0,n,salto):
    vector = u[:,j]
    plt.plot(xi,vector)
    plt.plot(xi,vector, '.',color='red')
plt.xlabel('x[i]')
plt.ylabel('u[j]')
plt.title('Solución EDP parabólica')
plt.show()

Sin embargo para la gráfica en 3D se ajustan los puntos de referencia agregados por las diferencias finitas.

# GRAFICA en 3D
# vector de tiempo, simplificando en tramos
tramos = 10
salto = int(n/tramos)
if (salto == 0):
    salto = 1
tj = np.arange(0,n*dt,dt)
tk = np.zeros(tramos,dtype=float)

# Extrae parte de la matriz U,acorde a los tramos
U = np.zeros(shape=(tramos,m),dtype=float)
for k in range(0,tramos,1):
    U[k,:] = u[:,k*salto]
    tk[k] = tj[k*salto]
# Malla para cada eje X,Y
Xi, Yi = np.meshgrid(xi,tk)

fig_3D = plt.figure()
graf_3D = fig_3D.add_subplot(111, projection='3d')
graf_3D.plot_wireframe(Xi,Yi,U,
                       color ='blue',label='EDP Parabólica')
graf_3D.plot(Xi[2,0],Yi[2,0],U[2,0],'o',color ='orange')
graf_3D.plot(Xi[2,1],Yi[2,1],U[2,1],'o',color ='salmon')
graf_3D.plot(Xi[2,2],Yi[2,2],U[2,2],'o',color ='salmon')
graf_3D.plot(Xi[1,1],Yi[1,1],U[1,1],'o',color ='green')
graf_3D.set_title('EDP Parabólica')
graf_3D.set_xlabel('x')
graf_3D.set_ylabel('t')
graf_3D.set_zlabel('U')
graf_3D.legend()
graf_3D.view_init(35, -45)
plt.show()

Queda por revisar la convergencia y estabilidad de la solución a partir de los O(h) de cada aproximación usada. Revisar los criterios en Chapra 30.2.1 p891, Burden 9Ed 12.2 p727, Rodríguez 10.2.2 p409 .

Tarea o proyecto: Realizar la comparación de tiempos de ejecución entre los métodos explícitos e implícitos. La parte de animación funciona igual en ambos métodos.  Los tiempos de ejecución se determinan usando las instrucciones descritas en el enlace: Tiempos de Ejecución en Python

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EDP Parabólica [ concepto ] [ ejercicio ]
Método implícito: [ Analítico ] [ Algoritmo ]

EDP Parabólica [ concepto ] [ ejercicio ]
Método explícito: [ Analítico ] [ Algoritmo ]

..

---

1. Ejercicio

Referencia:  Chapra 30.2 p888 pdf912, Burden 9Ed 12.2 p725, Rodríguez 10.2 p406

Siguiendo el tema anterior en EDP Parabólicas, para resolver la parte numérica asuma

Valores de frontera: Ta = 60, Tb = 40, T0 = 25
Longitud en x a = 0, b = 1,  Constante K= 4
Tamaño de paso dx = 0.1, dt = dx/10

Para la ecuación diferencial parcial parabólica:

\frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} = K\frac{\partial u}{\partial t}

..

2. Método Explícito

Se usan las diferencias divididas, donde se requieren dos valores para la derivada de orden uno y tres valores para la derivada de orden dos:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{u_{i+1,j} - 2 u_{i,j} + u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{u_{i,j+1} - u_{i,j} }{\Delta t}

La selección de las diferencias divididas corresponden a los puntos que se quieren usar para el cálculo, se observan mejor en la gráfica de la malla. La línea de referencia es el tiempo t₀

Luego se sustituyen en la ecuación del problema, obteniendo:

\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} = K\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{\Delta t}

De la gráfica se destaca que en la fórmula solo hay un valor desconocido, destacado por el punto en amarillo dentro del triángulo. En la ecuación se representa por U[i,j+1].

Despejando la ecuación, se agrupan términos constantes:

λ = \frac{\Delta t}{K (\Delta x)^2}

quedando la ecuación, con los términos ordenados de izquierda a derecha como en la gráfica:

u_{i,j+1} = \lambda u_{i-1,j} +(1-2\lambda)u_{i,j}+\lambda u_{i+1,j}

Al resolver se encuentra que que cada valor en un punto amarillo se calcula como una suma ponderada de valores conocidos, por lo que el desarrollo se conoce como el método explícito.

La ponderación está determinada por los términos P, Q, y R.

\lambda = \frac{\Delta t}{K(\Delta x)^2} P = \lambda Q = 1-2\lambda R = \lambda u_{i ,j+1} = Pu_{i-1,j} + Qu_{i,j} + Ru_{i+1,j}

Fórmulas que se desarrollan usando un algoritmo y considerando que al disminuir los valores de Δx y Δt la cantidad de operaciones aumenta.

Queda por revisar la convergencia y estabilidad de la solución a partir de los O(h) de cada aproximación usada.

Revisar los criterios en:  Chapra 30.2.1 p891 pdf915, Burden 9Ed 12.2 p727, Rodriguez 10.2.2 pdf409 .

\lambda \leq \frac{1}{2}

Cuando λ ≤ 1/2 se tiene como resultado una solución donde los errores no crecen, sino que oscilan.
Haciendo λ ≤ 1/4 asegura que la solución no oscilará.
También se sabe que con λ= 1/6 se tiende a minimizar los errores por truncamiento (véase Carnahan y cols., 1969).

Para resolver la parte numérica asuma que:

Valores de frontera: Ta = 60, Tb = 40, T0 = 25 
Longitud en x a = 0, b = 1 
Constante K= 4 
Tamaño de paso dx = 0.1, dt = dx/10

EDP Parabólica [ concepto ] [ ejercicio ]
Método explícito: [ Analítico ] [ Algoritmo ]
..

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3. Algoritmo en Python

Se muestra una tabla resumida de resultados a forma de ejemplo.

Método explícito EDP Parabólica
lambda:  0.25
x: [0.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. ]
t: [0.   0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 ] ... 1.0
Tabla de resultados en malla EDP Parabólica
j, U[:,: 10 ], primeras iteraciones
10 [60.   48.23 38.42 31.65 27.85 26.33 26.43 27.89 30.76 34.96 40.  ]
9 [60.   47.67 37.58 30.86 27.29 25.96 26.11 27.53 30.39 34.71 40.  ]
8 [60.   47.02 36.63 30.03 26.75 25.64 25.82 27.16 29.99 34.44 40.  ]
7 [60.   46.25 35.56 29.15 26.25 25.37 25.56 26.78 29.53 34.11 40.  ]
6 [60.   45.34 34.34 28.23 25.79 25.17 25.35 26.38 29.   33.72 40.  ]
5 [60.   44.21 32.93 27.29 25.41 25.05 25.18 25.98 28.4  33.23 40.  ]
4 [60.   42.77 31.29 26.37 25.14 25.   25.06 25.59 27.7  32.62 40.  ]
3 [60.   40.86 29.38 25.55 25.   25.   25.   25.23 26.88 31.8  40.  ]
2 [60.   38.12 27.19 25.   25.   25.   25.   25.   25.94 30.62 40.  ]
1 [60.   33.75 25.   25.   25.   25.   25.   25.   25.   28.75 40.  ]
0 [60. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 40.]
>>> 

Se presenta la propuesta del algoritmo para el método explícito.

# EDP parabólicas d2u/dx2  = K du/dt
# método explícito,usando diferencias divididas
# Referencia: Chapra 30.2 p.888 pdf.912, Rodriguez 10.2 p.406
import numpy as np

# INGRESO
# Valores de frontera
Ta = 60
Tb = 40
#T0 = 25 # estado inicial de barra
fx = lambda x: 25 + 0*x # función inicial para T0
a = 0  # longitud en x
b = 1

K = 4     # Constante K
dx = 0.1  # Tamaño de paso
dt = dx/10

n = 100 # iteraciones en tiempo
verdigitos = 2   # decimales a mostrar en tabla de resultados

# PROCEDIMIENTO
# iteraciones en longitud
xi = np.arange(a,b+dx,dx)
fi = fx(xi)
m = len(xi)
ultimox = m-1
ultimot = n-1
# Resultados en tabla u[x,t]
u = np.zeros(shape=(m,n+1), dtype=float)

# valores iniciales de u[:,j]
j = 0
u[0,:]= Ta
u[1:ultimox,j] = fi[1:ultimox]
u[ultimox,:] = Tb

# factores P,Q,R
lamb = dt/(K*dx**2)
P = lamb
Q = 1 - 2*lamb
R = lamb

# Calcula U para cada tiempo + dt
tj = np.arange(0,(n+1)*dt,dt)
j = 0
while not(j>ultimot): # igual con lazo for
    for i in range(1,ultimox,1):
        u[i,j+1] = P*u[i-1,j] + Q*u[i,j] + R*u[i+1,j]
    j=j+1

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
print('Método explícito EDP Parabólica')
print('lambda: ',np.around(lamb,verdigitos))
print('x:',xi)
print('t:',tj[0:len(xi)],'...',tj[-1])
print('Tabla de resultados en malla EDP Parabólica')
print('j, U[:,:',ultimox,'], primeras iteraciones')
for j in range(ultimox,-1,-1):
    print(j,u[:,j])

Si la cantidad de puntos aumenta al disminuir Δx y Δt, es mejor disminuir la cantidad de curvas a usar en el gráfico para evitar superponerlas. Se usa el parámetro ‘salto’ para indicar cada cuántas curvas calculadas se incorporan en la gráfica.

# GRAFICA ------------
import matplotlib.pyplot as plt
tramos = 10
salto = int(n/tramos) # evita muchas líneas
if (salto == 0):
    salto = 1
for j in range(0,n,salto):
    vector = u[:,j]
    plt.plot(xi,vector)
    plt.plot(xi,vector, '.',color='red')
plt.xlabel('x[i]')
plt.ylabel('u[j]')
plt.title('Solución EDP parabólica')
plt.show()

Note que en la gráfica se toma como coordenadas x vs t, mientras que para la solución de la malla en la matriz las se usan filas y columnas. En la matriz el primer índice es fila y el segundo índice es columna.

En el caso de una gráfica que se realice usando los ejes x,t,U en tres dimensiones se requiere usar las instrucciones:

# GRAFICA en 3D ------
tj = np.arange(0,n*dt,dt)
tk = np.zeros(tramos,dtype=float)

# Extrae parte de la matriz U,acorde a los tramos
U = np.zeros(shape=(m,tramos),dtype=float)
for k in range(0,tramos,1):
    U[:,k] = u[:,k*salto]
    tk[k] = tj[k*salto]
# Malla para cada eje X,Y
Xi, Yi = np.meshgrid(xi,tk)
U = np.transpose(U)

fig_3D = plt.figure()
graf_3D = fig_3D.add_subplot(111, projection='3d')
graf_3D.plot_wireframe(Xi,Yi,U, color ='blue')
graf_3D.plot(xi[0],tk[1],U[1,0],'o',color ='orange')
graf_3D.plot(xi[1],tk[1],U[1,1],'o',color ='green')
graf_3D.plot(xi[2],tk[1],U[1,2],'o',color ='green')
graf_3D.plot(xi[1],tk[2],U[2,1],'o',color ='salmon',
             label='U[i,j+1]')
graf_3D.set_title('EDP Parabólica')
graf_3D.set_xlabel('x')
graf_3D.set_ylabel('t')
graf_3D.set_zlabel('U')
graf_3D.legend()
graf_3D.view_init(35, -45)
plt.show()

EDP Parabólica [ concepto ] [ ejercicio ]
Método explícito: [ Analítico ] [ Algoritmo ]

EDP Parabólica [ concepto ] Método [ explícito ] [ implícito ]

..

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1. EDP Parabólicas

Referencia:  Chapra 30.2 p.888 pdf.912, Burden 9Ed p714, Rodríguez 10.2 p406

Las Ecuaciones Diferenciales Parciales tipo parabólicas, semejantes a la mostrada, representa la ecuación de calor para una barra aislada sometida a fuentes de calor en cada extremo.

La temperatura se representa en el ejercicio como u[x,t]

\frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} = K\frac{\partial u}{\partial t}

o con vista en 3D:

Para la solución numérica, cambia la ecuación a su forma discreta usando diferencias finitas divididas que se sustituyen en la ecuación,

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{u_{i+1,j} - 2 u_{i,j} + u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{u_{i,j+1} - u_{i,j} }{\Delta t}

con lo que la ecuación continua se convierte a discreta:

\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} = K\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{\Delta t}

Para interpretar mejor el resultado, se usa una malla que en cada nodo representa la temperatura como los valores u[x_i,t_j].

Para simplificar nomenclatura se usan los subíndices i para el eje de las x y j para el eje t, quedando u[ i , j ].

En el enunciado del problema habían establecido los valores en las fronteras:

• temperaturas en los extremos Ta, Tb
• la temperatura inicial de la barra T0,
• El parámetro para la barra K.

El resultado obtenido se interpreta como los valores de temperatura a lo largo de la barra luego de transcurrido un largo tiempo. Las temperaturas en los extremos de la barra varían entre Ta y Tb a lo largo del tiempo.

Tomando como referencia la malla, existirían algunas formas de plantear la solución, dependiendo de la diferencia finita usada: centrada, hacia adelante, hacia atrás.

EDP Parabólica [ concepto ] Método [ explícito ] [ implícito ]

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But what is a partial differential equation? | DE2

3Blue1Brown. 2019 Abril 21

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Tarea: Revisar ecuación para difusión de gases, segunda ley de Fick.

La difusión molecular desde un punto de vista microscópico y macroscópico.