Diferencias Divididas [ hacia adelante ] [ centradas ]
Referencia: Chapra 23.1 p668 pdf692, Rodriguez 8.2 p324
Como referencia, el polinomio de Taylor muestra una aproximación de una función f(x):
P_{n}(x) = f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) + + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ...Diferencias Divididas [ hacia adelante ] [ centradas ]
Primera Derivada con Diferencias divididas hacia adelante
Una aproximación a primera derivada, usa los primeros dos términos del polinomio de Taylor alrededor de xi en para un punto a la derecha xi+1 a una distancia h = xi+1–xi
se puede simplificar en un polinomio de grado uno y un término de error:
f_{i+1} = f_i + (h)f'_i + O(h^2) ...Despejando la expresión para f’i
f'_i = \frac{f_{i+1}-f_i}{h} = \frac{\Delta f_i}{h}
La expresión también es la primera diferencia finita dividida con un error del orden O(h). (tema usado en interpolación).
Revise que el término de la expresión queda O(h2)/h con lo que se disminuye el exponente en uno.
Diferencias Divididas [ hacia adelante ] [ centradas ]
Primera derivada con diferencias divididas centradas
Se realiza el mismo procedimiento que el anterior, usando un punto xi+1 y xi-1 alrededor de xi. En el término xi-1 el valor de h es negativo al invertir el orden de la resta.
restando la ecuaciones se tiene que
f_{i+1} - f_{i-1} = (h)f'_i +(h)f'_i f_{i+1} - f_{i-1} = 2h f'_iLa expresión de primera derivada usando un punto antes y otro después del punto central queda como:
f'_i = \frac{f_{i+1} - f_{i-1}}{2h}
con un error del orden O(h2)
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Segundas derivadas
Al continuar con el procedimiento mostrado se pueden obtener las fórmulas para segundas derivadas, las que se resumen en las tablas de Fórmulas de diferenciación por diferencias divididas.