[ Gauss ] [ Ejercicio ] [ Eliminación adelante ] [ Sustitución atrás ] [ Algoritmo ] [ función ]
1. Método de Gauss
Referencia: Chapra 9.2 p254, Burden 6.1 p273, Rodríguez 4.3 p119
El método de Gauss opera sobre la matriz aumentada y pivoteada por filas, añadiendo los procesos:.
- eliminación hacia adelante:
- sustitución hacia atrás:
para i = n-1, n-2, …
[ Gauss ] [ Ejercicio ] [ Eliminación adelante ] [ Sustitución atrás ] [ Algoritmo ] [ función ]
..
2. Ejercicio
Referencia: Rodríguez 4.0 p105, 1Eva_IT2010_T3_MN Precio artículos
Se continúa a partir del resultado del tema de pivoteo parcial por filas para matrices:
\begin{cases} 4x_1+2x_2+5x_3 = 60.70 \\ 2x_1+5x_2+8x_3 = 92.90 \\ 5x_1+4x_2+3x_3 = 56.30 \end{cases}Matriz aumentada y pivoteada por filas:
[[ 5. 4. 3. 56.3] [ 2. 5. 8. 92.9] [ 4. 2. 5. 60.7]]
[ Gauss ] [ Ejercicio ] [ Eliminación adelante ] [ Sustitución atrás ] [ Algoritmo ] [ función ]
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3. Eliminación hacia adelante o eliminación Gaussiana
Consiste en simplificar la matriz a una triangular superior, con ceros debajo de la diagonal, usando operaciones entre filas, para obtener:
Elimina hacia adelante [[ 5. 4. 3. 56.3 ] [ 0. 3.4 6.8 70.38] [ 0. 0. 5. 40.5 ]]
Los índices de fila y columna en la matriz A[i,j] se usan de forma semejante a la nomenclatura de los textos de Álgebra Lineal. Progresivamente para cada fila, se toma como referencia o pivote el elemento de la diagonal (i=j). Luego, se realizan operaciones con las filas inferiores para convertir los elementos por debajo de la diagonal en cero. Las operaciones incluyen el vector B debido a que se trabaja sobre la matriz aumentada AB.
AB Matriz aumentada y pivoteada por filas: [[ 5. 4. 3. 56.3] [ 2. 5. 8. 92.9] [ 4. 2. 5. 60.7]]
iteración fila 1, operación fila 1 y 2
Para la fila 1, con posición i=0, se usa el elemento ai,i como pivote.
pivote = AB[i,i] = AB[0,0] = 5
Para las filas de que están después de la diagonal se referencian como k.Se obtiene el factor escalar de la operación entre filas de la formula
k = i+1 = 0+1 = 1
A_{k} = A_{k} -A_{i}\frac{a_{k,i}}{pivote}factor = AB[1,0]/pivote = 2/5
y se realiza la operación entre fila k y la fila i para actualizar la fila k,
[ 2. 5. 8. 92.9] -(2/5)*[ 5. 4. 3. 56.3] __________________________ = [ 0. 3.4 6.8 70.38]
con lo que la matriz aumentada AB se actualiza a:
AB = [[ 5. 4. 3. 56.3 ] [ 0. 3.4 6.8 70.38] [ 4. 2. 5. 60.7 ]]
iteración fila 1, operación fila 1 y 3
se continúa con la siguiente fila, quedando la matriz aumentada con la columna debajo de la primera diagonal en cero:
k = i+1 = 2 factor = 4/5 [ 4. 2. 5. 60.7] - (4/5)*[ 5. 4. 3. 56.3] _____________________________ = [ 0. -1.2 2.6 15.66] AB = [[ 5. 4. 3. 56.3 ] [ 0. 3.4 6.8 70.38] [ 0. -1.2 2.6 15.66]]
Como ya se terminaron las operaciones con la primera posición de la diagonal, el siguiente paso es usar la segunda posición, i =2.
iteración fila 2
Para la fila 2, con posición i=1, se toma el elemento de la diagonal ai,i como pivote, la variable adelante indica la referencia de la tercera fila
pivote = A[i,i] = AB[1,1] = 3.4
Para las filas ubicadas adelante de la diagonal se referencian como k
adelante = k = i+1 = 1+1 = 2
Para aplicar la fórmula por filas, se obtiene el factor .
factor = AB[2,1]/pivote = -1.2/3.4 = - 0,3529 [ 0. -1.2 2.6 15.66] -(-1.2/3.4)*[ 0. 3.4 6.8 70.38] ________________________________ = [ 0. 0. 5. 40.5 ] AB = [[ 5. 4. 3. 56.3 ] [ 0. 3.4 6.8 70.38] [ 0. 0. 5. 40.5 ]]
Con lo que se completa el objetivo de tener ceros debajo de la diagonal.
Observe que no es necesario realizar operaciones para la última fila, por lo que k debe llegar solamente hasta la fila penúltima.
El resultado de la eliminación hacia adelante a ser usado en el próximo paso es:
Elimina hacia adelante [[ 5. 4. 3. 56.3 ] [ 0. 3.4 6.8 70.38] [ 0. 0. 5. 40.5 ]]
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4. Sustitución hacia atrás
La fórmula se interpreta para facilitar el algoritmo
x_i = \frac{b_i^{(i-1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}^{(i-1)} x_{j}}{a_{ii}^{(i-1)}}Para una fila i, el vector b[i] representa el valor de la constante en la fila i de la matriz aumentada, a[i] se refiere los valores de los coeficientes de la ecuación, de los que se usan los que se encuentran a la derecha de la diagonal.
Las operaciones se realizan de abajo hacia arriba desde la última fila. Para el ejercicio presentado se tiene que:
ultfila = n-1 = 3-1 = 2
ultcolumna = m-1 = 4-1 = 3
la matriz a procesar es:
Elimina hacia adelante [[ 5. 4. 3. 56.3 ] [ 0. 3.4 6.8 70.38] [ 0. 0. 5. 40.5 ]]
iteración 1, fila 3, i=2
Empieza desde la última fila de la matriz,
[ 0. 0. 5. 40.5 ]0 x_1 + 0 x_2 + 5 x_3 = 40.5
El valor de la constante es b = 40.5 y no existen elementos hacia la derecha de la diagonal. No se usa la ultima columna que es de las constantes:
5 x_3 = 40.5 x_3 = 40.5/5 = 8.1la respuesta se interpreta en el vector X como:
X= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8.1 \end{pmatrix}iteración 2, fila 2, i = 1
De la penúltima fila se obtiene la ecuación para encontrar x2
[ 0. 3.4 6.8 70.38]0x_1 + 3.4 x_2 +6.8 x_3 = 70.38
se observa que b = 70.38 y a la derecha de a diagonal se tiene un solo valor de [6.8].
3.4 x_2 = 70.38 -6.8 x_3usa el valor de x3 encontrado en la iteración anterior
3.4 x_2 = 70.38 -6.8 (8.1)Muestra la ecuación para la segunda fila.
x_2 = (70.38 -6.8 (8.1))/3.4 = 4.5la respuesta se interpreta en el vector X como:
X= \begin{pmatrix} 0 \\ 4.5 \\ 8.1 \end{pmatrix}iteración 3 fila 1, i=0
se sigue el mismo proceso para la siguiente incógnita X1 que se interpreta como
[ 5. 4. 3. 56.3 ]5x_1 + 4 x_2 + 3x_3 = 56.3 5x_1 = 56.3 - ( 4 x_2 + 3x_3) x_1 = \frac{56.3 - ( 4 x_2 + 3x_3)}{5}
Se encuentra que la solución al sistema de ecuaciones es:
X= \begin{pmatrix} 2.8\\ 4.5 \\ 8.1 \end{pmatrix}por sustitución hacia atrás el vector solución X es: [[2.8] [4.5] [8.1]]
Verificar respuesta
Para verificar que el resultado es correcto, se usa el producto punto entre la matriz a y el vector resultado X. La operación A.X = B debe dar el vector B.
verificar que A.X = B [[60.7] [92.9] [56.3]]
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5. Algoritmo con Python
El algoritmo para el Método de Gauss, reutiliza las instrucciones para matriz aumentada y pivoteo parcial por filas.
Recordar: Asegurar que los arreglos sean de tipo Real (float), para que no se considere el vector como entero y realice operaciones entre enteros, generando errores por truncamiento.
La parte nueva a desarrollar corresponde al procedimiento de «eliminación hacia adelante» y el procedimiento de «sustitución hacia atrás».
# Método de Gauss # Solución a Sistemas de Ecuaciones # de la forma A.X=B import numpy as np # INGRESO A = np.array([[4,2,5], [2,5,8], [5,4,3]]) B = np.array([[60.70], [92.90], [56.30]]) # PROCEDIMIENTO casicero = 1e-15 # Considerar como 0 # Evitar truncamiento en operaciones A = np.array(A,dtype=float) # Matriz aumentada AB = np.concatenate((A,B),axis=1) AB0 = np.copy(AB) # Pivoteo parcial por filas tamano = np.shape(AB) n = tamano[0] m = tamano[1] # Para cada fila en AB for i in range(0,n-1,1): # columna desde diagonal i en adelante columna = abs(AB[i:,i]) dondemax = np.argmax(columna) # dondemax no está en diagonal if (dondemax !=0): # intercambia filas temporal = np.copy(AB[i,:]) AB[i,:] = AB[dondemax+i,:] AB[dondemax+i,:] = temporal AB1 = np.copy(AB) # eliminación hacia adelante for i in range(0,n-1,1): pivote = AB[i,i] adelante = i + 1 for k in range(adelante,n,1): factor = AB[k,i]/pivote AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor # sustitución hacia atrás ultfila = n-1 ultcolumna = m-1 X = np.zeros(n,dtype=float) for i in range(ultfila,0-1,-1): suma = 0 for j in range(i+1,ultcolumna,1): suma = suma + AB[i,j]*X[j] b = AB[i,ultcolumna] X[i] = (b-suma)/AB[i,i] X = np.transpose([X]) # SALIDA print('Matriz aumentada:') print(AB0) print('Pivoteo parcial por filas') print(AB1) print('eliminación hacia adelante') print(AB) print('solución: ') print(X)
Tarea
Revisar cuando la matriz pivoteada por filas tienen un elemento cero o muy cercano a cero pues la matriz sería singular. El valor considerado como casi cero podría ser 1×10-15
A estas alturas, por la cantidad de líneas de instrucción es recomendable reutilizar bloques de algoritmos usando funciones def-return. Por ejemplo: pivoteo por filas, eliminación hacia adelante, sustitución hacia atrás.
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6. Algoritmo como función de Python
El resultado par el ejercicio anterior es:
Matriz aumentada [[ 4. 2. 5. 60.7] [ 2. 5. 8. 92.9] [ 5. 4. 3. 56.3]] Pivoteo parcial: 1 intercambiar filas: 0 y 2 [[ 5. 4. 3. 56.3] [ 2. 5. 8. 92.9] [ 4. 2. 5. 60.7]] Elimina hacia adelante: fila 0 pivote: 5.0 factor: 0.4 para fila: 1 factor: 0.8 para fila: 2 fila 1 pivote: 3.4 factor: -0.3529411764705883 para fila: 2 fila 2 pivote: 5.0 [[ 5. 4. 3. 56.3 ] [ 0. 3.4 6.8 70.38] [ 0. 0. 5. 40.5 ]] solución: [2.8 4.5 8.1] >>>
Instrucciones en Python
# Método de Gauss # Solución a Sistemas de Ecuaciones # de la forma A.X=B import numpy as np def pivoteafila(A,B,vertabla=False): ''' Pivotea parcial por filas Si hay ceros en diagonal es matriz singular, Tarea: Revisar si diagonal tiene ceros ''' A = np.array(A,dtype=float) B = np.array(B,dtype=float) # Matriz aumentada nB = len(np.shape(B)) if nB == 1: B = np.transpose([B]) AB = np.concatenate((A,B),axis=1) if vertabla==True: print('Matriz aumentada') print(AB) print('Pivoteo parcial:') # Pivoteo por filas AB tamano = np.shape(AB) n = tamano[0] m = tamano[1] # Para cada fila en AB pivoteado = 0 for i in range(0,n-1,1): # columna desde diagonal i en adelante columna = np.abs(AB[i:,i]) dondemax = np.argmax(columna) # dondemax no es en diagonal if (dondemax != 0): # intercambia filas temporal = np.copy(AB[i,:]) AB[i,:] = AB[dondemax+i,:] AB[dondemax+i,:] = temporal pivoteado = pivoteado + 1 if vertabla==True: print(' ',pivoteado, 'intercambiar filas: ',i,'y', dondemax+i) if vertabla==True: if pivoteado==0: print(' Pivoteo por filas NO requerido') else: print(AB) return(AB) def gauss_eliminaAdelante(AB,vertabla=False, casicero = 1e-15): ''' Gauss elimina hacia adelante tarea: verificar términos cero ''' tamano = np.shape(AB) n = tamano[0] m = tamano[1] if vertabla==True: print('Elimina hacia adelante:') for i in range(0,n,1): pivote = AB[i,i] adelante = i+1 if vertabla==True: print(' fila',i,'pivote: ', pivote) for k in range(adelante,n,1): if (np.abs(pivote)>=casicero): factor = AB[k,i]/pivote AB[k,:] = AB[k,:] - factor*AB[i,:] if vertabla==True: print(' factor: ',factor,' para fila: ',k) else: print(' pivote:', pivote,'en fila:',i, 'genera division para cero') if vertabla==True: print(AB) return(AB) def gauss_sustituyeAtras(AB,vertabla=False, casicero = 1e-15): ''' Gauss sustituye hacia atras ''' tamano = np.shape(AB) n = tamano[0] m = tamano[1] # Sustitución hacia atras X = np.zeros(n,dtype=float) ultfila = n-1 ultcolumna = m-1 for i in range(ultfila,0-1,-1): suma = 0 for j in range(i+1,ultcolumna,1): suma = suma + AB[i,j]*X[j] X[i] = (AB[i,ultcolumna]-suma)/AB[i,i] return(X) # INGRESO A = [[4,2,5], [2,5,8], [5,4,3]] B = [60.70,92.90,56.30] # PROCEDIMIENTO AB = pivoteafila(A,B,vertabla=True) AB = gauss_eliminaAdelante(AB,vertabla=True) X = gauss_sustituyeAtras(AB,vertabla=True) # SALIDA print('solución: ') print(X)
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