Ejercicios: 1Eva_2022PAOII_T2 Admisión universitaria – cupos por recursos
Se requiere determinar la distribución de cupos en base a los costos relativos al promedio por estudiante para docencia, infraestructura y servicios mostrados en la tabla.
| Costo referencial /carrera | Mecatrónica | Computación | Civil | Matemáticas |
| Docencia | 1.5 | 0.9 | 0.6 | 0.7 |
| Infraestructura | 0.8 | 1.4 | 0.4 | 0.5 |
| Servicios | 0.45 | 0.55 | 1.1 | 0.5 |
Con los datos del total de recursos relativos al promedio por estudiante disponibles son docencia 271, infraestructura 250 y servicios 230.
1.5 a + 0.9 b + 0.6 c + 0.7 d = 271 0.8 a + 1.4 b + 0.4 c + 0.5 d = 250 0.45 a + 0.55 b + 1.1 c + 0.5 d = 230se indica que en carreras como matemáticas de baja demanda, se establece el cupo de 10,
1.5 a + 0.9 b + 0.6 c + 0.7 (10) = 271 0.8 a + 1.4 b + 0.4 c + 0.5(10) = 250 0.45 a + 0.55 b + 1.1 c + 0.5(10) = 230el sistema se convierte en:
1.5 a + 0.9 b + 0.6 c = 271 - 0.7 (10) 0.8 a + 1.4 b + 0.4 c = 250 - 0.5(10) 0.45 a + 0.55 b + 1.1 c = 230 - 0.5(10)Para usar un método iterativo se convierte a matriz aumentada:
\begin{pmatrix} 1.5 & 0.9 & 0.6 & \Big| & 264 \\ 0.8 & 1.4 & 0.4 & \Big| & 245 \\ 0.45 & 0.55 & 1.1 &\Big| & 225 \end{pmatrix}con pivoteo parcial por filas, la matriz aumentada se mantiene igual, pues los valores de la diagonal ya son los mayores posibles según el algoritmo.
Para un método iterativo se despeja una ecuación por cada incógnita.
a = \frac{1}{1.5}(264 - 0.9 b - 0.6 c) b = \frac{1}{1.4}(245 - 0.8 a - 0.4 c) c = \frac{}{1.1}(225 -0.45 a - 0.55 b)Para los valores iniciales se consideran números mayores que cero, pues existen recursos para los cupos. No se admiten cupos negativos.
X_0 = [50,50,50]Las iteraciones para el método iterativo de Gauss-Seidel
itera = 0
a = \frac{1}{1.5}(264 - 0.9 (50) - 0.6 (50)) = 126 b = \frac{1}{1.4}(245 - 0.8 (126) - 0.4 (50)) = 88.714 c = \frac{}{1.1}(225 -0.45 (126) - 0.55 (88.714)) =108.642 diferencia = [126-50, 88.714-50, 108.42-50] diferencia = [76, 38.714, 58.642] errado = max|[76, 38.714, 58.642]| =76 X = [126, 88.714, 108.42]itera = 1
a = \frac{1}{1.5}(264 - 0.9 (88.714) - 0.6 (108.42)) = 79.314 b = \frac{1}{1.4}(245 - 0.8 (79.314) - 0.4 (108.42)) = 98.637 c = \frac{}{1.1}(225 -0.45 (79.314) - 0.55 (98.637)) =122.780 diferencia = [79.314-126, 88, 98.637-88.714, 122.780-108.42] diferencia = [46.685,9.922, 14.137] errado = max| [46.685,9.922, 14.137] | = 46.685el error disminuye en la iteración
X = [79.314 , 98.637, 122.780]itera = 2
a = \frac{1}{1.5}(264 - 0.9 (79.314) - 0.6 (122.780)) = 67.705 b = \frac{1}{1.4}(245 - 0.8 (67.705) - 0.4 (122.780)) = 101.230 c = \frac{}{1.1}(225 -0.45 (67.705) - 0.55 (101.230)) =126.232 diferencia = [67.705-79.314, 101.230-98.637, 126.232-122.780] diferencia = [-11.608, 2.594, 3.451] errado = max| [-11.608, 2.594, 3.451] | = 11.608el error disminuye en la iteración, se considera que el método converge
X = [67.705 , 101.230, 126.232]con el algoritmo se tiene como resultado:
[126. 88.71428571 108.64285714] [76. 38.71428571 58.64285714] [ 79.31428571 98.63673469 122.78033395] [46.68571429 9.92244898 14.13747681] [ 67.7058256 101.23086138 126.23218611] [11.60846011 2.59412669 3.45185216] [ 64.76860873 101.92302755 127.08769174] [2.93721688 0.69216617 0.85550564] [ 64.01110677 102.11145563 127.30336487] [0.75750196 0.18842808 0.21567312] [ 63.81178067 102.16373537 127.3587675 ] [0.1993261 0.05227973 0.05540263] [ 63.75825178 102.17849398 127.37328637] [0.05352889 0.01475862 0.01451887] [ 63.74358906 102.18272443 127.37716953] [0.01466272 0.00423045 0.00388316] [ 63.73949753 102.18395297 127.37822907] [0.00409153 0.00122854 0.00105954] [ 63.73833659 102.18431364 127.37852366] [0.00116094 0.00036067 0.0002946 ] [ 63.73800235 102.18442047 127.37860699] [3.34240232e-04 1.06824300e-04 8.33224905e-05] respuesta X: [[ 63.73800235] [102.18442047] [127.37860699]] verificar A.X=B: [[264.00014614] [245.00003333] [225. ]] >>>
se interpreta la respuesta como la parte entera de la solución:
cupos = [ 63, 102 , 127]