Ejercicio: 1Eva_IIT2019_T2 Proceso Termodinámico
la ecuación para el problema se describe como:
f(x)=e^{-0.5x}ecuación que se usa para describir los siguientes puntos:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 1 | 0.60653065 | 0.36787944 | 0.22313016 | 0.13533528 |
Como el polinomio es de grado 2, se utilizan tres puntos. Para cubrir el intervalo los puntos seleccionados incluyen los extremos y el punto medio.
literal a
Con los puntos seleccionados se escriben las ecuaciones del polinomio:
p_2(x)= a_0 x^2 + a_1 x + a_2usando los valores de la tabla:
p_2(0)=a_0 (0)^2 + a_1 (0) + a_2 = 1 p_2(2)=a_0 (2)^2 + a_1 (2) + a_2 = 0.36787944 p_2(4)=a_0 (4)^2 + a_1 (4) + a_2 = 0.13533528con la que se escribe la matriz Vandermonde con la forma A.x=B
A= [[ 0., 0., 1.,]
[ 4., 2., 1.,]
[16., 4., 1.,]]
B= [[1. ],
[0.36787944],
[0.13533528]])
matriz aumentada
[[ 0., 0., 1., 1. ] [ 4., 2., 1., 0.36787944] [16., 4., 1., 0.13533528]]
matriz pivoteada
[[16., 4., 1., 0.13533528] [ 4., 2., 1., 0.36787944] [ 0., 0., 1., 1. ]]
Resolviendo por algún método directo, la solución proporciona los coeficientes del polinomio
Tarea: escribir la solución del método directo, semejante a la presentada en el tema 3
[ 0.04994705 -0.41595438 1. ]
con lo que el polinomio de interpolación es:
p_2(x) = 0.04994705 x^2 - 0.41595438 x + 1.0en el enunciado se requiere la evaluación en x=2.4
p_2(2.4) = 0.04994705 (2.4)^2 - 0.41595438 (2.4) + 1.0 f(2.4)=e^{-0.5(2.4)} error = |f(2.4)-p_2(2.4)|Evaluando en X1: 2.4 Evaluando p(x1): 0.2894044975129779 Error en x1: 0.011789714399224216 Error relativo: 0.039143230291095066
La diferencia entre la función y el polinomio de interpolación se puede observar en la gráfica:
literal b
Tarea: Encontrar la cota de error con f(1.7)
Algoritmo en Python
Resultado con el algoritmo
Matriz Vandermonde:
[[ 0. 0. 1.]
[ 4. 2. 1.]
[16. 4. 1.]]
los coeficientes del polinomio:
[ 0.04994705 -0.41595438 1. ]
Polinomio de interpolación:
0.049947050111716*x**2 - 0.415954379637711*x + 1.0
formato pprint
2
0.049947050111716*x - 0.415954379637711*x + 1.0
Evaluando en X1: 2.4
Evaluando p(x1): 0.2894044975129779
Error en x1: 0.011789714399224216
Error relativo: 0.039143230291095066
Evaluando en X2: 1.7
Evaluando p(x2): 0.2894044975129779
Error en x2: 0.011789714399224216
Error relativo: 0.039143230291095066
Presentado por secciones, semejante a lo desarrollado en clases
# 1Eva_IIT2019_T2 Proceso Termodinámico # El polinomio de interpolación import numpy as np import sympy as sym # INGRESO fx = lambda x: np.exp(-0.5*x) xi =np.array([0,2,4],dtype=float) # determina vector fi= fx(xi) # PROCEDIMIENTO # Convierte a arreglos numpy xi = np.array(xi,dtype=float) fi = np.array(fi,dtype=float) B = fi n = len(xi) # Matriz Vandermonde D D = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float) for i in range(0,n,1): for j in range(0,n,1): potencia = (n-1)-j # Derecha a izquierda D[i,j] = xi[i]**potencia # Aplicar métodos Unidad03. Tarea # Resuelve sistema de ecuaciones A.X=B coeficiente = np.linalg.solve(D,B) # Polinomio en forma simbólica x = sym.Symbol('x') polinomio = 0 for i in range(0,n,1): potencia = (n-1)-i # Derecha a izquierda termino = coeficiente[i]*(x**potencia) polinomio = polinomio + termino # Polinomio a forma Lambda x: # para evaluación con vectores de datos xin muestras = 21 px = sym.lambdify(x,polinomio) # SALIDA print('Matriz Vandermonde: ') print(D) print('los coeficientes del polinomio: ') print(coeficiente) print('Polinomio de interpolación: ') print(polinomio) print('\n formato pprint') sym.pprint(polinomio) # literal b x1 = 2.4 px1 = px(x1) fx1 = fx(x1) errorx1 = np.abs(px1-fx1) errorx1rel = errorx1/fx1 x2 = 1.7 px2 = px(x1) fx2 = fx(x1) errorx2 = np.abs(px1-fx1) errorx2rel = errorx1/fx1 print() print('Evaluando en X1: ',x1) print('Evaluando p(x1): ',px1) print('Error en x1: ',errorx1) print(' Error relativo: ', errorx1rel) print() print('Evaluando en X2: ',x2) print('Evaluando p(x2): ',px2) print('Error en x2: ',errorx2) print(' Error relativo: ', errorx2rel) # GRAFICA import matplotlib.pyplot as plt a = np.min(xi) b = np.max(xi) xin = np.linspace(a,b,muestras) yin = px(xin) # Usando evaluación simbólica ##yin = np.zeros(muestras,dtype=float) ##for j in range(0,muestras,1): ## yin[j] = polinomio.subs(x,xin[j]) plt.plot(xi,fi,'o', label='[xi,fi]') plt.plot(xin,yin, label='p(x)') plt.plot(xin,fx(xin), label='f(x)') plt.xlabel('xi') plt.ylabel('fi') plt.legend() plt.title(polinomio) plt.show()