Ejercicio: 1Eva_IT2011_T1 Encontrar α en integral
Desarrollo Analítico
Se iguala la ecuación al valor buscado = 10, y se resuelve
\int_{\alpha}^{2\alpha} x e^{x}dx = 10siendo: μ = x , δv = ex, δu = δx , v = ex
\int u dv = uv - \int v \delta u xe^x \Big|_{\alpha}^{2 \alpha} - \int_{\alpha}^{2\alpha} e^{x}dx - 10 = 0 2\alpha e^{2 \alpha} -\alpha e^{\alpha} - (e^{2\alpha} - e^{\alpha}) - 10 = 0 (2\alpha-1)e^{2 \alpha}+ (1-\alpha) e^{\alpha} - 10 = 0la función a usar en el método es
f(\alpha) = (2\alpha-1)e^{2 \alpha}+ (1-\alpha)e^{\alpha} -10Se obtiene la derivada para el método de Newton Raphson
f'(\alpha) = 2e^{2 \alpha} + 2(2\alpha-1)e^{2 \alpha} - e^{\alpha} + (1-\alpha) e^{\alpha} f'(\alpha) = (2 + 2(2\alpha-1))e^{2 \alpha} +(-1 + (1-\alpha)) e^{\alpha} f'(\alpha) = 4\alpha e^{2 \alpha} -\alpha e^{\alpha}la fórmula para el método de Newton-Raphson
\alpha_{i+1} = \alpha_i - \frac{f(\alpha)}{f'(\alpha)}se prueba con α0 = 1, se evita el valor de cero por la indeterminación que se da por f'(0) = 0
iteración 1:
f(1) = (2(1)-1)e^{2(1)}+ (1-(1))e^{(1)} -10 f'(1) = 4(1) e^{2 (1)} -(1) e^{(1)} \alpha_{1} = 1- \frac{f(1)}{f'(1)} \alpha_{1} = 1.0973
error = 0.0973
iteración 2:
f(2) = (2(1.0973)-1)e^{2(1.0973)}+ (1-(1.0973))e^{(1.0973)} -10
\alpha_{2} = 1.0853
error = 0.011941
iteración 3:
f(3) = (2(1.0853)-1)e^{2(1.0853)}+ (1-(1.0853))e^{(1.0853)} -10
\alpha_{3} = 1.0851
error = 0.00021951
[ xi, xnuevo, f(xi), f'(xi), tramo ] [ 1. 1.0973 -2.6109 26.8379 0.0973] [ 1.0973e+00 1.0853e+00 4.3118e-01 3.6110e+01 1.1941e-02] [ 1.0853e+00 1.0851e+00 7.6468e-03 3.4836e+01 2.1951e-04] [ 1.0851e+00 1.0851e+00 2.5287e-06 3.4813e+01 7.2637e-08] raiz: 1.08512526549
se obtiene el valor de la raíz con 4 iteraciones, con error de aproximación de 7.2637e-08