s1Eva_IT2016_T3_MN Tasa interés anual

Ejercicio: 1Eva_IT2016_T3_MN Tasa interés anual

Propuesta de Solución  empieza con el planteamiento del problema, luego se desarrolla con el método de Bisección y método del Punto Fijo solo con el objetivo de comparar resultados.


Planteamiento del problema

La fórmula del enunciado para el problema es:

A = P \frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n} -1}

que con los datos dados se convierte a:

5800 = 35000 \frac{i(1+i)^8}{(1+i)^8 -1} 35000 \frac{i(1+i)^8}{(1+i)^8 -1}-5800 =0

que es la forma de f(x) = 0

f(i)=35000 \frac{i(1+i)^8}{(1+i)^8 -1}-5800

Intervalo de búsqueda

Como el problema plantea la búsqueda de una tasa de interés, consideramos que:

  • Las tasas de interés no son negativas. ⌉(i<0)
  • Las tasas de interés no son cero en las instituciones bancarias (i≠0)
  • Las tasas muy grandes 1 = 100/100 = 100% tampoco tienen mucho sentido

permite acotar la búsqueda a un intervalo (0,1].
Sin embargo tasas demasiado altas tampoco se consideran en el problema pues el asunto es regulado (superintendencia de bancos), por lo que se podría intentar entre un 1% = 0.01l y la mitad del intervalo 50%= 0.5 quedando

[0.01,0.5]

Tolerancia

si la tolerancia es de tan solo menor a un orden de magnitud que el valor buscado, se tiene que las tasas de interés se representan por dos dígitos después del punto decimal, por lo que la tolerancia debe ser menor a eso.

Por ejemplo: tolerancia < 0.001 o aumentando la precisión

tolera = 0.0001


Método de la Bisección

itera = 1

a = 0.01, b = 0.5

c = \frac{a+b}{2} = \frac{0.01+0.5}{2} = 0.255 f(0.01) = 35000 \frac{0.01(1+0.01)^8}{(1+0.01)^8-1}-5800 = -1225.83 f(0.5) = 35000 \frac{0.5(1+0.5i)^8}{(1+0.5)^8-1}-5800 = 12410.54

con lo que se verifica que existe cambio de signo al evaluar f(x) en el intervalo y puede existir una raíz.

f(0.255) = 35000 \frac{0.255(1+0.255)^8}{(1+0.255)^8-1}-5800 = 4856.70

lo que muestra que f(x) tiene signos en a,c,b de (-) (+) (+), seleccionamos el intervalo izquierdo para continuar la búsqueda [0.01, 0.255]

El tramo permite estimar el error, reduce el intervalo a:

tramo = b-a = 0.255-0.01 = 0.245

valor que todavía es más grande que la tolerancia de 10-4, por lo que hay que continuar las iteraciones.

itera = 2

a = 0.01, b = 0.255

c = \frac{0.01+0.255}{2} = 0.1325 f(0.01) = -1225.83 f(0.255) = 4856.70 f(0.1325 ) = 35000 \frac{0.1325(1+0.1325)^8}{(1+0.1325)^8-1}-5800 = 1556.06

lo que muestra que f(x) tiene signos en a,c,b de (-) (+) (+), seleccionamos el intervalo izquierdo para continuar la búsqueda [0.01, 0.1325]

El tramo permite estimar el error, reduce el intervalo a:

tramo = b-a = 0.1325-0.01 = 0.1225

valor que todavía es más grande que la tolerancia de 10-4, por lo que hay que continuar las iteraciones.

itera = 3

a = 0.01, b = 0.1325

c = \frac{0.01+0.1225}{2} = 0.071 f(0.01) = -1225.83 f(0.1325) = 1556.06 f(0.071 ) = 35000 \frac{0.071(1+0.071)^8}{(1+0.071)^8-1}-5800 = 89.79

lo que muestra que f(x) tiene signos en a,c,b de (-) (+) (+), seleccionamos el intervalo izquierdo para continuar la búsqueda [0.01, 0.071]

El tramo permite estimar el error, reduce el intervalo a:

tramo = b-a = 0.071-0.01 = 0.061

valor que todavía es más grande que la tolerancia de 10-4, por lo que hay que continuar las iteraciones.

Para una evaluación del tema en forma escrita es suficiente para mostrar el objetivo de aprendizaje, el valor final se lo encuentra usando el algoritmo.

       raiz en:  0.06724243164062502
error en tramo:  5.981445312500111e-05
iteraciones:  13
>>>

Algoritmo en Python

# 1Eva_IT2016_T3_MN Tasa interés anual
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
fx = lambda x: 35000*(x*(1+x)**8)/((1+x)**8 -1) -5800
a = 0.01
b = 0.5
tolera = 0.0001

# PROCEDIMIENTO
cuenta = 0
np.set_printoptions(precision=3)
tramo = b-a
while not(tramo<tolera):
    c = (a+b)/2
    fa = fx(a)
    fb = fx(b)
    fc = fx(c)
    cambia = np.sign(fa)*np.sign(fc)
    if cambia < 0: a = a b = c if cambia > 0:
        a = c
        b = b
    tramo = b-a
    cuenta = cuenta+1

# SALIDA
print('       raiz en: ', c)
print('error en tramo: ', tramo)
print('iteraciones: ',cuenta)


Método del Punto Fijo

El planteamiendo del punto fijo se realiza con x= g(x), por lo que se reordena la ecuación a:

35000 \frac{i(1+i)^8}{(1+i)^8 -1}-5800 =0 35000 \frac{i(1+i)^8}{(1+i)^8 -1}=5800 \frac{i(1+i)^8}{(1+i)^8 -1}=\frac{5800}{35000} i=\frac{58}{350} \frac{(1+i)^8 -1} {i(1+i)^8}

con lo que g(x) es:

g(i)=\frac{58}{350} \frac{(1+i)^8 -1} {(1+i)^8}

valor inicial de búsqueda

Para el punto inicial i0 se puede usar uno de los extremos del intervalo propuesto en la sección de planteamiento. Para reducir aun más la búsqueda se pude seleccionar el punto intermedio

 i0 = 0.255

Itera = 1

 i0 = 0.255

g(0.255i)=\frac{58}{350} \frac{(1+0.255)^8 -1} {(1+0.255)^8} = 0.1387

el error se estrima como el tramo recorrido entre el valor nuevo y el valor inicial

tramo = | nuevo-antes| = |0.1387 - 0.255| = 0.1163

como el tramo o error es aún mayor que el valor de tolera, se continúa con la siguiente iteración.

Itera = 2

i1 = g(i0 ) = 0.1387

g(0.1387)=\frac{58}{350} \frac{(1+0.1387)^8 -1} {(1+0.1387)^8} = 0.1071

el error se estrima como el tramo recorrido entre el valor nuevo y el valor inicial

tramo = | nuevo-antes| = |0.1071 - 0.1387| = 0,0316

como el tramo o error es aún mayor que el valor de tolera, se continúa con la siguiente iteración.

Itera = 3

i2 = g(i1 ) = 0.1071

g(0.1071)=\frac{58}{350} \frac{(1+0.1071)^8 -1} {(1+0.1071)^8} = 0.0922

el error se estrima como el tramo recorrido entre el valor nuevo y el valor inicial

tramo = | nuevo-antes| = |0.0922 - 0.1071| = 0,0149

como el tramo o error es aún mayor que el valor de tolera, se continúa con la siguiente iteración.

Observación: Como el error disminuye entre cada iteración, se considera que el método converge, si se realizan suficientes iteraciones se cumplierá con el valor de tolerancia y se habrá llegado a la precisión requerida.

Usando el algoritmo se tiene:

iteraciones: 17
    raiz en: 0.06754389199556779
>>>

Algoritmo en Python

# Algoritmo de Punto Fijo
# x0 valor inicial de búsqueda
# error = tolera

import numpy as np
def puntofijo(gx,antes,tolera, iteramax=50):
    itera = 1 # iteración
    nuevo = gx(antes)
    tramo = abs(nuevo-antes)
    while(tramo>=tolera and itera<=iteramax ):
        antes = nuevo
        nuevo = gx(antes)
        tramo = abs(nuevo-antes)
        itera = itera+1
    respuesta = nuevo
    # Validar respuesta
    if (itera>=iteramax ):
        respuesta = np.nan
    print('iteraciones:',itera)
    return(respuesta)

# PROGRAMA ---------

# INGRESO
gx = lambda i: (58/350)*((1+i)**8-1)/((1+i)**8)

a = 0       # intervalo
b = 0.5

x0 = 0.255
tolera = 0.0001
iteramax  = 50      # itera máximo

# PROCEDIMIENTO
respuesta = puntofijo(gx,0.255,tolera,iteramax)

# SALIDA
print('    raiz en:',respuesta)