Ejercicio 1Eva_IT2019_T2 Catenaria cable
Las fórmulas con las que se requiere trabajar son:
y = T A w c o s h ( w T A x ) + y 0 − T A w y = \frac{T_A}{w} cosh \Big( \frac{w}{T_A}x \Big) + y_0 - \frac{T_A}{w} y = w T A c o s h ( T A w x ) + y 0 − w T A Donde la altura y del cable está en función de la distancia x.
Además se tiene que:
c o s h ( z ) = e z + e − z 2 cosh(z) = \frac{e^z+ e^{-z}}{2} c o s h ( z ) = 2 e z + e − z que sustituyendo la segunda en la primera se convierte en:
y = T A w e w T A x + e − w T A x 2 + y 0 − T A w y = \frac{T_A}{w} \frac{e^{\frac{w}{T_A}x}+ e^{-\frac{w}{T_A}x}}{2} + y_0 - \frac{T_A}{w} y = w T A 2 e T A w x + e − T A w x + y 0 − w T A y usando los valores del enunciado w=12, y0 =6 , y=15, x=50 se convierte en:
1 5 = T A 1 2 e 1 2 T A 5 0 + e − 1 2 T A 5 0 2 + 6 − T A 1 2 15 = \frac{T_A}{12} \frac{e^{\frac{12}{T_A}50}+ e^{-\frac{12}{T_A}50}}{2} + 6 - \frac{T_A}{12} 1 5 = 1 2 T A 2 e T A 1 2 5 0 + e − T A 1 2 5 0 + 6 − 1 2 T A simplificando, para usar el método de búsqueda de raíces:
1 2 T A 1 2 e 1 2 T A 5 0 + 1 2 T A 1 2 e − 1 2 T A 5 0 − T A 1 2 − 9 = 0 \frac{1}{2}\frac{T_A}{12} e^{\frac{12}{T_A}50} + \frac{1}{2}\frac{T_A}{12} e^{-\frac{12}{T_A}50} - \frac{T_A}{12} - 9 = 0 2 1 1 2 T A e T A 1 2 5 0 + 2 1 1 2 T A e − T A 1 2 5 0 − 1 2 T A − 9 = 0 cambiando la variable 1 2 T A = x \frac{12}{T_A}=x T A 1 2 = x
1 2 x e 5 0 x + 1 2 x e − 5 0 x − 1 x − 9 = 0 \frac{1}{2x} e^{50x} + \frac{1}{2x} e^{-50x} - \frac{1}{x}-9=0 2 x 1 e 5 0 x + 2 x 1 e − 5 0 x − x 1 − 9 = 0 la función a usar para la búsqueda de raíces es:
f ( x ) = 1 2 x e 5 0 x + 1 2 x e − 5 0 x − 1 x − 9 f(x)=\frac{1}{2x} e^{50x} + \frac{1}{2x} e^{-50x} - \frac{1}{x}-9 f ( x ) = 2 x 1 e 5 0 x + 2 x 1 e − 5 0 x − x 1 − 9 Para el método de Newton-Raphson se tiene que:
x i + 1 = x i − f ( x i ) f ′ ( x i ) x_{i+1} = x_i -\frac{f(x_i)}{f'(x_i)} x i + 1 = x i − f ′ ( x i ) f ( x i ) por lo que se determina:
f ′ ( x ) = − 1 2 x 2 e 5 0 x + 1 2 x ( 5 0 ) e 5 0 x + f'(x)= - \frac{1}{2x^2}e^{50x} + \frac{1}{2x}(50) e^{50x} + f ′ ( x ) = − 2 x 2 1 e 5 0 x + 2 x 1 ( 5 0 ) e 5 0 x + − 1 2 x 2 e − 5 0 x + 1 2 x ( − 5 0 ) e − 5 0 x + 1 x 2 - \frac{1}{2x^2} e^{-50x} + \frac{1}{2x}(-50)e^{-50x} + \frac{1}{x^2} − 2 x 2 1 e − 5 0 x + 2 x 1 ( − 5 0 ) e − 5 0 x + x 2 1 f ′ ( x ) = − 1 2 x 2 [ e 5 0 x + e − 5 0 x ] + f'(x)= -\frac{1}{2x^2}[e^{50x}+e^{-50x}] + f ′ ( x ) = − 2 x 2 1 [ e 5 0 x + e − 5 0 x ] + + 2 5 x [ e 5 0 x − e − 5 0 x ] + 1 x 2 + \frac{25}{x}[e^{50x}-e^{-50x}] +\frac{1}{x^2} + x 2 5 [ e 5 0 x − e − 5 0 x ] + x 2 1 f ′ ( x ) = [ 2 5 x − 1 2 x 2 ] [ e 5 0 x + e − 5 0 x ] + 1 x 2 f'(x)= \Big[\frac{25}{x} -\frac{1}{2x^2}\Big]\Big[e^{50x}+e^{-50x}\Big] +\frac{1}{x^2} f ′ ( x ) = [ x 2 5 − 2 x 2 1 ] [ e 5 0 x + e − 5 0 x ] + x 2 1 Con lo que se puede inicar las iteraciones.
Por no disponer de valor inicial para TA , considere que el cable colgado no debería tener tensión TA =0 N, pues en la forma x=12/TA se crea una indeterminación. Si no dispone de algún criterio para seleccionar el valor de TA puede iniciar un valor positivo, por ejemplo 120 con lo que el valor de x0 =12/120=0.1
Iteración 1
f ( 0 . 1 ) = 1 2 ( 0 . 1 ) e 5 0 ( 0 . 1 ) + 1 2 ( 0 . 1 ) e − 5 0 ( 0 . 1 ) f(0.1)=\frac{1}{2(0.1)} e^{50(0.1)} + \frac{1}{2(0.1)} e^{-50(0.1)} f ( 0 . 1 ) = 2 ( 0 . 1 ) 1 e 5 0 ( 0 . 1 ) + 2 ( 0 . 1 ) 1 e − 5 0 ( 0 . 1 ) − 1 0 . 1 − 9 = 7 2 3 . 0 9 9 4 - \frac{1}{0.1}-9 =723.0994 − 0 . 1 1 − 9 = 7 2 3 . 0 9 9 4 f ′ ( 0 . 1 ) = [ 2 5 0 . 1 − 1 2 ( 0 . 1 ) 2 ] [ e 5 0 ( 0 . 1 ) + e − 5 0 ( 0 . 1 ) ] + f'(0.1)=\Big[\frac{25}{0.1} - \frac{1}{2(0.1)^2}\Big]\Big[e^{50(0.1)}+e^{-50(0.1)}\Big] + f ′ ( 0 . 1 ) = [ 0 . 1 2 5 − 2 ( 0 . 1 ) 2 1 ] [ e 5 0 ( 0 . 1 ) + e − 5 0 ( 0 . 1 ) ] + + 1 ( 0 . 1 ) 2 = 2 9 7 8 0 . 6 1 0 4 3 +\frac{1}{(0.1)^2} = 29780.61043 + ( 0 . 1 ) 2 1 = 2 9 7 8 0 . 6 1 0 4 3 x 1 = 0 . 1 − 7 2 3 . 0 9 9 4 2 9 7 8 0 . 6 1 0 4 3 = 0 . 0 7 5 7 1 x_{1} = 0.1 -\frac{723.0994}{29780.61043} = 0.07571 x 1 = 0 . 1 − 2 9 7 8 0 . 6 1 0 4 3 7 2 3 . 0 9 9 4 = 0 . 0 7 5 7 1 error = | x1 – x0 | = | 0.07571 – 0.1| = 0.02428
Iteración 2
f ( 0 . 0 7 5 7 1 ) = 1 2 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) e 5 0 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) + f(0.07571)=\frac{1}{2(0.07571)} e^{50(0.07571)}+ f ( 0 . 0 7 5 7 1 ) = 2 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) 1 e 5 0 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) + + 1 2 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) e − 5 0 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) + \frac{1}{2(0.07571)} e^{-50(0.07571)} + 2 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) 1 e − 5 0 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) − 1 0 . 0 7 5 7 1 − 9 = 2 6 9 . 0 0 4 2 - \frac{1}{0.07571}-9 = 269.0042 − 0 . 0 7 5 7 1 1 − 9 = 2 6 9 . 0 0 4 2 f ′ ( 0 . 0 7 5 7 1 ) = [ 2 5 0 . 0 7 5 7 1 − 1 2 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) 2 ] . f'(0.07571)= \Big[\frac{25}{0.07571} -\frac{1}{2(0.07571)^2}\Big]. f ′ ( 0 . 0 7 5 7 1 ) = [ 0 . 0 7 5 7 1 2 5 − 2 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) 2 1 ] . . [ e 5 0 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) + e − 5 0 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) ] + .\Big[e^{50(0.07571)}+e^{-50(0.07571)}\Big] + . [ e 5 0 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) + e − 5 0 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) ] + + 1 ( 0 . 0 7 5 7 1 ) 2 = 1 0 8 7 4 . 0 4 6 2 +\frac{1}{(0.07571)^2} = 10874.0462 + ( 0 . 0 7 5 7 1 ) 2 1 = 1 0 8 7 4 . 0 4 6 2 x 2 = 0 . 0 7 5 7 1 − 2 6 9 . 0 0 4 2 1 0 8 7 4 . 0 4 6 2 = 0 . 0 5 0 9 8 x_{2} = 0.07571 -\frac{269.0042}{10874.0462} = 0.05098 x 2 = 0 . 0 7 5 7 1 − 1 0 8 7 4 . 0 4 6 2 2 6 9 . 0 0 4 2 = 0 . 0 5 0 9 8 error = | x2 – x1 | = |0.05098- 0.02428| = 0.02473
Iteración 3
f ( 0 . 0 5 0 9 8 ) = 9 7 . 6 3 4 5 f(0.05098) = 97.6345 f ( 0 . 0 5 0 9 8 ) = 9 7 . 6 3 4 5 f ′ ( 0 . 0 5 0 9 8 ) = 4 1 4 4 . 1 5 4 4 f'(0.05098) = 4144.1544 f ′ ( 0 . 0 5 0 9 8 ) = 4 1 4 4 . 1 5 4 4 x 3 = 0 . 0 2 7 4 x_{3} = 0.0274 x 3 = 0 . 0 2 7 4 error = | x3 – x2 | = |0.05098- 0.0274| = 0.0236
finalmente después de varias iteraciones, la raiz se encuentra en: 0.007124346154337298
que convitiendo
T A = 1 2 x = 1 2 0 . 0 0 7 1 2 4 3 4 6 1 T_A = \frac{12}{x} = \frac{12}{0.0071243461} T A = x 1 2 = 0 . 0 0 7 1 2 4 3 4 6 1 1 2 = 1 6 8 4 . 3 6 N = 1684.36 N = 1 6 8 4 . 3 6 N Revisión de resultados
Usando como base los algoritmos desarrollados en clase:
['xi', 'xnuevo', 'tramo']
[0.1 0.0757 0.0243]
[0.0757 0.051 0.0247]
[0.051 0.0274 0.0236]
[0.0274 0.0111 0.0163]
[0.0111 0.0072 0.0039]
[7.2176e-03 7.1244e-03 9.3199e-05]
[7.1244e-03 7.1243e-03 3.8351e-08]
raiz en: 0.007124346154337298
TA = 12/x = 1684.365096815854
Algoritmos Python usando el procedimiento de:
https://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/2-3-1-newton-raphson-ejemplo01/
# 1Eva_IT2019_T2 Catenaria cable
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# INGRESO
a = 0.001
b = 0.1
muestras = 51
x0 = 0.1
tolera = 0.00001
fx = lambda x: 0.5*(1/x)*np.exp(50*x) + 0.5*(1/x)*np.exp(-50*x)-1/x -9
dfx = lambda x: -0.5*(1/(x**2))*(np.exp(50*x)+np.exp(-50*x)) + (25/x)*(np.exp(50*x)-np.exp(-50*x)) + 1/(x**2)
# PROCEDIMIENTO
tabla = []
tramo = abs (2*tolera)
xi = x0
while (tramo>=tolera):
xnuevo = xi - fx(xi)/dfx(xi)
tramo = abs (xnuevo-xi)
tabla.append([xi,xnuevo,tramo])
xi = xnuevo
tabla = np.array(tabla)
n=len (tabla)
TA = 12/xnuevo
# para la gráfica
xp = np.linspace(a,b,muestras)
fp = fx(xp)
# SALIDA
print (['xi' , 'xnuevo' , 'tramo' ])
np.set_printoptions(precision = 4)
for i in range (0,n,1):
print (tabla[i])
print ('raiz en: ' , xi)
print ('TA = 12/x = ' , TA)
# Grafica
plt.plot(xp,fp)
plt.xlabel('x=12/TA' )
plt.ylabel('f(x)' )
plt.axhline(0, color = 'green' )
plt.grid()
plt.show()
