s2Eva_IIT2019_T4 Integrar con Cuadratura de Gauss

Ejercicio: 2Eva_IIT2019_T4 Integrar con Cuadratura de Gauss

$f(x) = x ln(x)$

1 ≤x≤4

se requiere:

$I = \int_1^4 x ln(x) dx$

literal a. Usando el método de Cuadratura de Gauss con 2 términos

$x_a = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}x_0 = \frac{4+1}{2} + \frac{4-1}{2}\Big(\frac{-1}{\sqrt{3}} \Big)$

x_a =1.6339745962155612

$x_b = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}x_1 = \frac{4+1}{2} + \frac{4-1}{2}\Big(\frac{1}{\sqrt{3}} \Big)$

x_b =3.366025403784439

$I \cong \frac{b-a}{2}(f(x_a) + f(x_b))$ $I \cong \frac{4-1}{2}(x_a ln(x_a) + x_b ln(x_b))$

I = 7.33164251999249

literal b.  De la fórmula , despejar el valor del error<0.0001

$\Big|\frac{(b-a)}{180}h^4 f^{(4)} (\xi)\Big| <0.0001; \xi \in[a,b]$ $h^4 <0.0001\frac{180}{(4-1)}\frac{1}{f^{(4)} (\xi)}$ $h^4 < 0.006\frac{1}{f^{(4)} (\xi)}$ $h <\Big(0.006\frac{1}{f^{(4)} (\xi)}\Big)^{1/4}$

obteniendo la 4ta derivada de la función:

$f(x) = x ln(x)$ $f'(x) = ln(x) + x\Big(\frac{1}{x} \Big) = ln(x) +1$ $f''(x) = \frac{1}{x}$ $f'''(x) = -\frac{1}{x^2}$ $f^{(4)}(x) = 2\frac{1}{x^3}$

se tiene que:

$h <\Big(0.006\frac{1}{f^{(4)} (\xi)}\Big)^{1/4}$ $h <\Big(0.006\frac{1}{2\frac{1}{\xi^3}}\Big)^{1/4}$ $h <\Big(0.003\xi^3\Big)^{1/4}$ $h <(0.003)^{1/4}\xi^{3/4}$

en el peor de los casos, se toma el valor menor de ξ =1

$h <(0.003)^{1/4}$ $h<0.2340347319320716$