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3Eva_2024PAOII_T3 EDO efecto Allee en poblaciones pequeñas

3ra Evaluación 2024-2025 PAO II. 11/Febrero/2025

Tema 3 (30 puntos) El efecto Allee es un proceso biológico identificado en la década de 1930 que describe por una correspondencia entre la densidad o el tamaño de la población y la aptitud física individual media.

\frac{dx}{dt} = rx \Big(\frac{x}{K}-1 \Big) \Big(1-\frac{x}{a} \Big)

Se cree que es muy común y se produce en regiones escasamente pobladas. Poblaciones muy pequeñas pueden tener dificultades para defenderse de los depredadores, encontrar pareja o localizar comida.

Donde r = 0.7 es la tasa intrínseca de crecimiento, A=50 es la capacidad de alojamiento del medio, y K=10 es una constante que representa el valor mínimo de la población por debajo del cual se extingue.

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden.

b. Desarrolle tres iteraciones para x(t) con tamaño de paso h=0.2, con expresiones completas y valores usados.

c. Realice una observación sobre el crecimiento de población x(t), a lo largo del tiempo usando los resultados del literal c.

d. Opcional Adjunte los resultado.txt y gráfica.png realizadas con el algoritmo.py

 Rúbrica: literal a (8 puntos), literal b (15 puntos), literal c (7 puntos), literal d (5 puntos).

Referencia: [1] Ecuaciones diferenciales y dinámica de poblaciones. Dpto de Análisis matemático- Universidad de Granada. página3. Revisado en enero 2025. https://www.ugr.es/~fjperez/textos/Tema_6_EEDD_y_Dinamica_de_Poblaciones.pdf

[2] Allee Effect. Wikipedia. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Allee_effect

[3] How the Allee Effect hurts endangered populations | Mongabay Explains. Mongabay. 10 abril 2020.

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2Eva_2024PAOII_T2 Mayoría entre grupos Azules y Rojos

2da Evaluación 2024-2025 PAO II. 28/Enero/2025

Tema 2 (35 puntos) Suponga que en un país democrático existen dos tendencias políticas identificadas por los colores Azul y Rojo [1,3].

Al inicio, la gran mayoría de la población tiene preferencia “Azul”. Los hijos que nacen en población Azul se educan e identifican con la tendencia política Azul. Sin embargo, algunos jóvenes al encontrarse con las ideas de los Rojos cambian su preferencia política a Rojo e incluso se mudan hacia provincias o estados donde predomina una tendencia.

Las provincias donde predominan los Rojos comienzan a crecer no solo por los nacimientos y educación en familias Rojas, sino también por las mudanzas, lo que podría a cambiar la balanza en las votaciones “democráticas” de gobierno. Se observa que las provincias predominantemente Rojas tienen un costo de vida menor aunque con expectativa de vida menor [2], sin embargo las tendencias de cambio se mantienen.

En un modelo de Rashevsky modificado con la ecuación logística de Verhulst [4], la población anual del país se describe con x(t), con tasas de natalidad a = 0.018 y mortalidad b = 0.012

\frac{\delta x}{\delta t} = a x - b x^2

x(0)=2

La población de Rojos es minoría y se describe con y(t).

\frac{\delta y}{\delta t} = 0.026x - 0.017 y^2 +0.19 b (x-y)

y(0)=0.5

Sin embargo los jóvenes descendientes de los Azules al meditar sobre la situación actual del país, como protesta, cambian su tendencia política hacia los Rojos, a tasa de 0.19 de jóvenes descendientes “Azules”.

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden.

b. Desarrolle tres iteraciones con expresiones completas para x(t), y(t) con tamaño de paso h=0.5.

c. Realice una observación sobre el crecimiento de población del país, x(t), a lo largo del tiempo usando los resultados del literal c.

d. Realice una observación sobre el gobierno elegido democráticamente por mayoría, según los resultados de y(t) en el literal c.

e. (Extra) Encuentre el tiempo t cuando los “Rojos” y(t) se vuelven mayoría simple, más de la mitad de la población x(t). Se supondrá que la tendencia política gobernante será “Roja”. Adjunte algoritmo.py, resultado.txt y gráfica.png.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (20 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e Extra (5 puntos)

Referencia: [1] Estados rojos y estados azules. Wikipedia, Enero 2025. https://es.wikipedia.org/wiki/Estados_rojos_y_estados_azules

[2] Los estadounidenses se mudan cada vez más a estados rojos, de tendencia republicana , donde la vida es más barata, pero la gente también muere más joven. theconversarion.com. Mayo 25, 2023. https://theconversation.com/americans-are-increasingly-moving-to-red-republican-leaning-states-where-life-is-cheaper-but-people-also-die-younger-205980

[4] Rashevsky, MIT 1968. pp102-110, Protestantismo https://es.wikipedia.org/wiki/Protestantismo

[3] Bipartidismo en EEUU: ¿Solo existen dos partidos? Enterarse. 15 Octubre 2020.

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3Eva_2024PAOI_T1 EDO Salto Bungee extiende y estira toda la cuerda

3ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 17/Septiembre/2024

Tema 1. (35 puntos) Salto Bungee 01
La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto del bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está extendida por completo y comienza a estirarse o encogerse.

Si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador sólo está sujeto a las fuerzas gravitacional y de arrastre de la cuerda.

\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 y \leq L

Salto Bungee 02Suponga que las condiciones iniciales son:

y(0) =0

\frac{dy(0)}{dt} = 0

Una vez que la cuerda comienza a estirarse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda.

\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 -\frac{k}{m}(y-L) - \frac{\gamma}{m}( \frac{dy}{dt}\Big) y \gt L
dy/dt m/s velocidad (v)
t s tiempo
g 9.8 m/s2 gravedad
cd 0.25 kg/m coeficiente de arrastre
m 68.1 Kg masa
L 30 m Longitud de la cuerda
k 40 N/m constante de resorte de la cuerda
γ 8 N s/m coeficiente de amortiguamiento de la cuerda
signo(v) función que devuelve –1, 0 y 1, para v negativa, cero y positiva, respectivamente

En conocimiento que la primera ecuación es válida solo hasta tc=2.55, L=30mts, v= 23.20752.
Encuentre el tiempo td cuando se alcanza la longitud MÁXIMA de la cuerda extendida y estirada por completo, es decir y>L, con velocidad = 0. (solo 2da ecuación)

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para y(t) con tamaño de paso h=0.5

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para y en el intervalo entre [0,tc], adjunte sus resultados.txt

d. Indique el valor de td, muestre cómo mejorar la precisión y realice sus observaciones sobre los resultados.

Observación: dy/dt = v, función signo(v) en Numpy:np.sign(v)

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt y grafica.png (10 puntos), literal d (5 puntos),

Referencia: [1] Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.

[2] Extreme Bungy Jumping with Cliff Jump Shenanigans! Play On in New Zealand! 4K! – devinsupertramp. 23 mar 2015.

 

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2Eva_2024PAOI_T1 EDO Salto Bungee tiempo extiende cuerda

2da Evaluación 2024-2025 PAO I. 28/Agosto/2024

Tema 1. (30 puntos) Salto Bungee 01
La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto del bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está extendida por completo y comienza a estirarse o encogerse.

Si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador sólo está sujeto a las fuerzas gravitacional y de arrastre de la cuerda.

\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 y \leq L

Salto Bungee 02Suponga que las condiciones iniciales son:

y(0) =0

\frac{dy(0)}{dt} = 0

Una vez que la cuerda comienza a estirarse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda.

\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 -\frac{k}{m}(y-L) - \frac{\gamma}{m}( \frac{dy}{dt}\Big) y \gt L
dy/dt m/s velocidad (v)
t s tiempo
g 9.8 m/s2 gravedad
cd 0.25 kg/m coeficiente de arrastre
m 68.1 Kg masa
L 30 m Longitud de la cuerda
k 40 N/m constante de resorte de la cuerda
γ 8 N s/m coeficiente de amortiguamiento de la cuerda
signo(v) función que devuelve –1, 0 y 1, para v negativa, cero y positiva, respectivamente

Encuentre el tiempo tc y la velocidad de la persona cuando se alcanza la longitud de la cuerda extendida y sin estirar (30 m), es decir y<L, aún se entra cayendo signo(v)=1. (solo primera ecuación)

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para y(t) con tamaño de paso h=0.5

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para y en el intervalo entre [0,tc], adjunte sus resultados.txt

d. Indique el valor de tc, muestre cómo mejorar la precisión y realice sus observaciones sobre los resultados.

Observación: dy/dt = v, función signo(v) en Numpy:np.sign(v)

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt y grafica.png (5 puntos), literal d (5 puntos),

Referencia: [1] Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.

[2] Extreme Bungy Jumping with Cliff Jump Shenanigans! Play On in New Zealand! 4K! – devinsupertramp. 23 mar 2015.

 

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2Eva_2023PAOII_T2 Cable cuelga entre apoyos A y B

2ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 30/Enero/2024

Tema 2 (40 puntos) Un cable cuelga de dos apoyos en A y B. cable colgante entre apoyos

El cable sostiene una carga distribuida cuya magnitud varía con x según la ecuación

w = w_0 \Big[ 1+ \sin \Big(\frac{\pi x}{2l_B} \Big) \Big]

donde w0 = 1 000 lbs/ft y T0. = 0.588345×106.
La pendiente del cable (dy/dx) = 0 en x = 0, que es el punto más bajo del cable.

También es el punto donde la tensión del cable alcanza un mínimo de T0. La ecuación diferencial que gobierna el cable es

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{w_0}{T_0} \Big[ 1+ \sin \Big(\frac{\pi x}{2l_B} \Big) \Big]

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para y(x) con tamaño de paso h=0.5

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para x en el intervalo entre [0,200], adjunte sus resultados.txt en la evaluación.

d. Realice sus observaciones sobre los resultados obtenidos sobre la altura y(200) alcanzada en el extremo derecho del cable y lo indicado en la gráfica del enunciado.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt (10 puntos), grafica.png (5 puntos), literal d (5 puntos),

Referencia: Cable entre dos apoyos con carga distribuida. Chapra & Canale. 5ta Ed. Ejercicio 28.21. P849

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3Eva_2023PAOI_T4 Especies en competencia por recursos

3ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 12/Septiembre/2023

Tema 4. (30 puntos) especies en competencia por recursosConsidere dos especies de animales que ocupan el mismo ecosistema, en competencia por los recursos de alimentos y espacio definidas por:

\frac{dx}{dt} = x(2 - 0.4 x - 0.3 y) \frac{dy}{dt} = y( 1 - 0.1 y - 0.3 x)

Donde las poblaciones de x(t) y y(t) se miden en miles y t en años. Use un método numérico para analizar las poblaciones en un periodo largo para el caso que:  x(0)=1.5, y(0)=3.5

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para x(t), y(t) con tamaño de paso h=0.5.

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución entre t=0 a t=10 años, adjunte sus resultados en la evaluación.

d. Realice una observación sobre el crecimiento de la población de las especies y(t) a lo largo del tiempo.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: [1] Modelos de competencia ejercicio 10. Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Edición 9. P109. p111.

[2] Competition in ecosystems. Stile Education. 11 septiembre 2019.

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2Eva_2023PAOI_T2 Péndulo vertical amortiguado

2da Evaluación 2023-2024 PAO I. 29/Agosto/2023

Tema 2 (35 puntos) Una mejor aproximación a un péndulo oscilante con un ángulo θ más amplio y con un coeficiente de amortiguamiento μ se expresa con una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\mu \frac{d\theta}{ dt}-\frac{g}{L}\sin (\theta)

g = 9.81 m/s2
L = 2 m
θ(0) = π/4 rad
θ’ (0) = 0 rad/s

El péndulo se suelta desde el reposo, desde un ángulo de π/4 respecto al eje vertical. El coeficiente de amortiguamiento μ=0.5 es proporcional a la velocidad angular.

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para θ(t) con tamaño de paso h=0.2

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución entre t=0 a t=10 s, adjunte sus resultados en la evaluación.

d. Realice una observación sobre el movimiento estimado del péndulo a lo largo del tiempo.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: 2Eva_IT2019_T2 Péndulo vertical

Vista general de ecuaciones diferenciales I Capítulo 1, 6min 54s. 3Blue1Brown 31-Marzo-2023.

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3Eva_2022PAOII_T3 EDO cabezal lector en disco duro

3ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 7/febrero/2023

Tema 3. (35 puntos) El objetivo de un sistema de Disco duro es posicionar con precisión el dispositivo de lectura en la pista buscada y moverse entre una pista y otra. disco duro lectora01

Se requiere identificar el plato de disco, el sensor y el controlador.

El disco duro usa un motor DC de imán permanente para posicionar el brazo lector con el sensor en un extremo. Un resorte metálico se usa para permitir que el cabezal flote sobe el disco a una distancia menor a 100nm.

El cabezal toma lectura del flujo magnético y da una señal al amplificador.

Suponiendo que dispone del dispositivo de lectura de precisión, una aproximación del modelo de control del motor con Ka=40, se supone que el brazo es rígido con parámetros como los mostrados, el sistema se puede aproximar como un sistema de orden 2 en el dominio s o en su forma de ecuación diferencial.

Y(s)(s^2+20s+5K_a )=X(s)5K_a \frac{\delta^2}{\delta t^2 } y(t) + 20 \frac{\delta}{\delta t} y(t) + 5 K_a y(t) = x(t) 5 K_a

y(0) = 0         y’(0) = 0

x(t) = \begin{cases} 0 & t\lt 0 \\ 1 & t≥0 \end{cases}

Encuentre la respuesta del sistema y(t) ante una señal de entrada x(t), con las condiciones iniciales dadas.

a. Plantee la solución usando el método de Runge-Kutta de 2do orden.
b. Desarrolle tres iteraciones para Δt = 0.01
c. Estime el error del modelo usado
d. Realice la gráfica para y(t) para el intervalo de [0,1] segundos. Adjunte los archivos de los algoritmos.py usados para los cálculos, los resultados.txt y gráfica.png

Rúbrica:  literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d y adjuntos (10 puntos)

Referencia: Bishop R. & Dorf R. (2017) 13th Edition. 2.10 sequential Design example: Disk Drive read system. p122.
How do Hard Disk Drives Work? Branch Education. 22 diciembre 2022.

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2Eva_2022PAOII_T2 EDO – población de protestantes en una sociedad

2da Evaluación 2022-2023 PAO II. 24/Enero/2023

Tema 1. (35 puntos) protestantismoEn el libro titulado “Looking at History Through Mathematics”, Rashevsky propone un modelo que se puede relacionar con el “protestantismo” en el siglo XVI como una reacción y denuncia de abusos impuestos sobre la sociedad de la época.

En un modelo de Rashevsky modificado con la ecuación logística de Verhulst, la población x(t) de individuos en la sociedad para cada año t, con tasas de natalidad b=0.02 y mortalidad d=0.015, cambia según la ecuación:

\frac{\delta}{\delta t}x(t) = b x(t) - d (x(t))^2 x(0)=1

La cantidad de individuos “protestantes” y(t) en la población se incrementa según la ecuación diferencial compuesta de dos términos.

\frac{\delta}{\delta t}y(t) = b y(t) - d (y(t))^2 +r b (x(t)-y(t)) y(0)=0.01

El primer término supone que todas familias de padre y madre “protestantes” tienen hijos que también se identifican como tales.

El segundo término supone que una porción r = 0.1 de jóvenes descendientes de los “conformistas” al meditar sobre la situación actual, los hechos y los argumentos de protesta se convierten a “protestantes”.

a.       Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b.       Desarrolle tres iteraciones para x(t), y(t) con tamaño de paso h=0.5.

c.       Usando el algoritmo, aproxime la solución entre t=0 a t=200 años, adjunte sus resultados en la evaluación.

d.       Realice una observación sobre el crecimiento de población y(t) a lo largo del tiempo.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Burden 5.2 Ejercicio 17 p276, Rashevsky, MIT 1968. pp102-110, Protestantismo https://es.wikipedia.org/wiki/Protestantismo. 3Eva_IIT2014_T2 Crecimiento demográfico. http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/3eva_iit2014_t2-crecimiento-demografico/

La Reforma protestante y Lutero. Academia Play. 27 agosto 2019

 

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3Eva_2022PAOI_T3 EDO Modelo de selección híbrida

3ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 13/Septiembre/2022

Tema 3. (35 puntos) En genética, el modelo de selección híbrida representa la porción de la población que tiene ciertas características a lo largo del tiempo medido en generaciones (h=1).

Para una población de escarabajos, la rapidez de transferencia que una característica D pasa de una generación a la siguiente está dada por:

\frac{d}{dt}y(t) = k(1-y(t))(a-by(t))

Las constantes a, b y k dependen de las características genéticas estudiadas.

Al inicio del estudio, t=0, se encuentra que la mitad de la población tiene la característica D, y(0)=0.5. El factor k=0.26 considera la trasferencia al combinarse los especímenes “Sin D” y “con D”. Use los valores de a=2 y b=1.

a) Realice el planteamiento del problema de la Ecuación Diferencial Ordinaria usando el método de Runge-Kutta de 4to Orden

b) Desarrolle al menos tres iteraciones usando las expresiones completas.

c) estime la cota de error de la solución.

d) Adjunte el desarrollo completo usando un algoritmo con Python para las próximas 10 generaciones. tabla y gráfica.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), gráfica(5puntos)

Referencias: Larson. Cálculo aplicado, 7ma Ed. Apéndice C, ejemplo 4. https://college.cengage.com/mathematics/larson/calculus_applied/7e/students/appendices/appendix_c04.pdf
Los mecanismos del cambio. https://www.sesbe.org/evosite/evo101/IIIBMechanismsofchange.shtml.html