Etiqueta: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

2da Evaluación 2022-2023 PAO I. 30/Agosto/2022

Tema 2. (30 puntos) El circuito de la figura 2a tiene el interruptor en posición cerrada por largo tiempo antes de t=0, con lo que la corriente en el inductor será de 2 Amperios, y(0)=2. Para t<0, el inductor opera como un conductor sin caída de voltaje, el capacitor está cargado a 10V y solo pasaría corriente por la resistencia de 5 Ohm.

En el tiempo t=0, el interruptor se abre de forma instantánea y el circuito cambia al modelo de la figura 2b.

La corriente del inductor y(t) para t≥0 está dada por la ecuación:

$\frac{\delta}{\delta t}y(t) + 2 y(t) + 5 \int_{-\infty}^t y(\tau) \delta \tau = 10 \mu(t)$

En t=0, luego de abrir el interruptor, los voltajes de la fuente y el capacitor son iguales. La corriente inicial sobre el resistor de 2 A genera un voltaje que se compensa con el voltaje del inductor pero en signo opuesto. Lo que implica que y’(0) = -4

$V_{Inductor} = - V_{resistor}$ $y'(0) = -4$

Derive la expresión de corrientes y(t) para obtener una ecuación diferencial ordinaria.

a) Realice el planteamiento del problema usando el método de Runge-Kutta de 2do orden para 2da derivada

b) Desarrolle las expresiones para al menos tres iteraciones usando h=0.01

c) Estime el valor del error.

d) Muestre el resultado con el algoritmo para el intervalo t entre [0,5] segundos

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Lathi B.P. Green R. Linear Systems and Signals, 3rd Edition. ejemplo 4.13 p364

2da Evaluación 2021-2022 PAO II. 25/Enero/2022

Tema 2. (30 puntos) Los embudos cónicos se usan en la industria de bebidas, por ejemplo para el llenado de botellas y tanques de almacenamiento.

Para la sección correspondiente al embudo cónico mostrado en la figura, se tiene como nivel inicial y(0) = 150 mm, diámetro de salida d = 10 mm, la gravedad es 9.8 m/s2, siendo Θ= π/4.

Usando los conceptos de flujo volumétrico q = A V_salida, siendo A el área transversal del embudo, ∆V=q ∆t , la perdida de volumen ∆V=-(πr²)Δy , que tanΘ = y/r , con la fórmula de Bernoulli  $V_{salida} = \sqrt{2gy}$.

Al sustituir en las ecuaciones se tiene:

$- \pi y(t)^2 \Delta y = \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{2g\text{ }y(t)} \Delta t$

Reordenando se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria.

$\frac{\delta y(t)}{\delta t} + \frac{d^2}{4}\sqrt{2 g \text{ }y(t)}\Bigg[\frac{tan \theta}{y(t)} \Bigg]^2 = 0$

a) Plantee el la solución para y(t), usando el método de Runge-Kutta de 2do orden

b) Desarrolle al menos 3 iteraciones del método con sus expresiones completas. Considere h = 0.5

c) usando el algoritmo, encuentre el tiempo en que se vacía el embudo.

Nota: Considere revisar las unidades de medida de cada parámetro

Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), literal b planteamient con el método de 2do orden (10 puntos), literal b, iteraciones (10 puntos). literal c (5 puntos).

Referencias: Zill Dennis, Ecuaciones Diferenciales 9Ed, Ejercicios 1.3.14 p.29. Embudo. Materiales de laboratorio. https://materialeslaboratorio.com/embudo/

2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

Tema 2 (30 puntos) “La tilapia es un pescado que muestra crecimiento en su consumo” y producción en el país.

La actual situación comercial es estable y sin bajas en el precio.

“Santo Domingo es una provincia con una buena cantidad de piscinas para su cultivo. Aunque lo comercializan al fresco, ya que no tienen el equipo para empacar para exportación.”

Suponga una piscina de cultivo donde no existen depredadores y con alimento suficiente para que los peces no luchen por la comida.

Los peces se capturan a intervalos periódicos descritos por la función h(t) mostrada, con a=0.9 y b=0.75, constantes a > b y t>0 el tiempo en años.

$h(t) = a + b \sin (2 \pi t)$

Se supone que los peces crecen con un ritmo proporcional a su población, entonces la ecuación diferencial dy/dt modela la población de tilapias en el tiempo y r=1 la tasa neta de crecimiento sin captura. Suponga y(0) =1

$\frac{\delta y(t)}{\delta t} = r y(t)-h(t)$

a) Realice el planteamiento de la solución usando Runge-Kutta 4to orden, para n=12 meses o tramos.

b) Aproxime considerando h=1/12 y realice 2 pasos usando Runge-Kutta de 2do orden, escriba las expresiones completas para los cálculos.

c) Usando el algoritmo, determine si el negocio de cultivo de tilapia con la estrategia de captura h(t) es sostenible en el tiempo. Recomiende y justifique sus conclusiones observando el comportamiento para al menos 2 años (24 meses).

Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), uso del método de 4to orden (10 puntos), iteraciones con método de segundo orden (10 puntos). literal c (5 puntos)

Referencia: El consumo de la tilapia, más económica que la carne, crece en Ecuador. Eluniverso.com. Septiembre 5,2018. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/09/05/nota/6938243/consumo-tilapia-mas-economica-que-carne-crece-ecuador/
Como empezar un Cultivo de Peces – Piscicultura – TvAgro por Juan Gonzalo Angel. https://www.youtube.com/watch?v=97qIOpSpXCs

2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

Tema 2. (25 Puntos) Considere el problema de valor inicial:

$y'(t) = f(t,y) = \frac{y}{2t^3}$

0 ≤ t ≤ 1
y(0.5) = 1.5

a) Escriba la ecuación recursiva que permite aplicar el método de Taylor de orden de error p=2

b) Aproxime el valor de la solución para t= 0.6, 0.7, 0.8 usando el método de Runge-Kutta de orden 2.

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b, tres iteraciones (15 puntos)

2da Evaluación I Término 2019-2020. 27/Agosto/2019. MATG1013

Tema 2. (40 Puntos) Suponga que un péndulo tiene 0.6 m de Longitud, se desplaza θ desde la posición vertical de equilibrio.

$\frac{d^2\theta }{dt^2}+\frac{g}{L}\sin (\theta)=0$ $0\lt t \lt 1$ $g = 9.81 \frac{m}{s^2}$ $\theta(0) = \frac{\pi}{6}$ $\theta '(0) = 0$

a. Aproxime la solución de la ecuación para t = [0,1] con pasos de h=0.2
b. Aproxime el valor del error

Rúbrica: literal a, expresiones (20 puntos), valor (10 puntos), literal b (10 puntos)

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Referencia: Ejercicio 5.9.8, Burden 9Ed, p338.
2Eva_IT2010_T2 Movimiento angular

Professor of Physics Emeritus Walter Lewin.  Lec 11 | 8.01 Physics I: Classical Mechanics, Fall 1999.

El PÉNDULO SIMPLE NO es como te explicaron | Física y Matemáticas. Mates Mike