Etiqueta: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013

Tema 2. (30 puntos) Se tiene una ecuación diferencial de segundo orden con valores iniciales.

$\frac{\delta ^2 x}{\delta t^2} + 5t\frac{\delta x}{\delta t} +(t+7)\sin (\pi t) = 0$ $0<t<2$ $x(0)=6,\frac{\delta x}{\delta t}(0) = 1.5$

a. Transforme la ecuación en un sistema de primer orden.

b. Use el método de Runge-Kutta de orden 2 (modificado de Euler) con h=0.2 para aproximar x para 3 pasos.

c. Estime el error.

Rúbrica: literal a, aplica el cambio de variables (5 puntos).
literal b, Conoce una fórmula de RK2orden (5 puntos). Plantea la fórmula de RK2 orden al sistema (5 puntos). Realiza al menos 3 pasos (5 puntos).
literal c, conoce las fórmulas del error hasta (5 puntos), calcula el error hasta (5 puntos)

 

2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013

Tema 1. (25 puntos) Si suponemos que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad de un objeto que cae, como un paracaidista, por medio de la ecuación diferencial ordinaria:

$\frac{dv}{dt} = g - \frac{cd}{m} v^2$

Donde: 

• v es la velocidad en m/s
• cd es el coeficiente de arrastre de segundo orden Kg/m
• m es la masa en Kg
• $v = \frac{dy}{dt}$
• y es la distancia que recorre en m

Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 Kg con coeficiente de arrastre de 0.225 kg/m.

Si la velocidad inicial es 0 y la altura inicial es 1 Km, determine la velocidad y posición en cada tiempo, usando un tamano de paso de 2s.

a) Plantee la solución de las ecuaciones para la velocidad y distancia usando el método de Runge-Kutta de segundo orden

b) Realice tres iteraciones

Rúbrica: literal a (15 puntos), literal b (10 puntos)

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Referencia: Alarma en Francia … por moda wingsuit. 23 Agosto 2013. www.elperiodicodearagon.com.  http://www.elperiodicodearagon.com/noticias/sociedad/alarma-francia-cinco-muertes-verano-moda-hombres-pajaro-wingsuit_877164.html

2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018. MATG1013

Tema 4. Use el algoritmo lineal de diferencias finitas para aproximar la solución del problema con valor en las fronteras

$\frac{d^2T}{dx^2} + \frac{1}{x}\frac{dT}{dx} +S =0$ $0 \leq x \leq 1$

con condiciones de frontera

$T(x=0) =2, T(x=1) = 1$

a) Plantee las ecuaciones con h = 0.25

b) Plantee el error para Ti

c) Realice los cálculos con S=1

2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018. MATG1013

Tema 1. Use el método de Runge Kutta de 2do orden (Euler Mejorado) para sistemas de ecuaciones y aproxime la solución de la EDO de orden superior

$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin (\theta) = 0$ $\theta (0) = \frac{\pi}{6}, \theta '(0) =0$

Suponga que g=9.8 y L=2

a) Plantee la formulación para 0 ≤t≤2, h=0.1

b) Calcule el ángulo para t=1, usando h=0.25

c) Estime el error (solo la fórmula del error para Euler Mejorado)

2da Evaluación I Término 2017-2018. 28/Agosto/2017. MATG1013

Tema 2. (40 puntos)

a) Usando un polinomio de grado dos obtenga una fórmula central para la primera derivada y otra para la segunda derivada (la tabla tiene al menos 3 nodos, x_i-1, x_i, x_i+1 )

b) Use el método de diferencias finitas para aproximar la solución al siguiente problema con valor de frontera:

$y'' = -3y'+2y+2x+3$

0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 2
y(1) = 1
use h = 0.25

c) Estime el error

Rúbrica: Plantear un polinomio hasta 5 puntos, deducir la fórmula de la primera derivada hasta 5 puntos, deducir la fórmula de la segunda derivada hasta 5 puntos, plantear el error en las fórmulas hasta 5 puntos. Indicar los nodos en el intervalo hasta 5 puntos, plantear la ecuación en el nodo i hasta 5 puntos, resolver el sistema hasta 5 puntos y estimar el error hasta 5 puntos.

2da Evaluación I Término 2017-2018. 28/Agosto/2017. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) El movimiento de un sistema acoplado masa-resorte está descrito por la ecuación diferencial ordinaria que sigue:

$m\frac{\delta ^2x}{\delta t^2} + c\frac{\delta x}{\delta t} + kx =0$

Donde:

x = el desplazamiento desde la posición de equilibrio (m),
t = tiempo (s),
m = 20 kg masa,
c = 5 (N s/m) coeficiente de amortiguamiento (sub_amortiguado) y
k = 20 (N/m) constante del resorte

La velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial es 1 m.

a) Resuelva esta ecuación con un método numérico para 0<= t <= 15 s, (solo planteo)

b) Realice 3 iteraciones con h=0.1 s

c) Estime el error acumulado en la tercera iteración.

Rúbrica: Plantear el sistema 5 hasta puntos, Plantear el modelo del método numérico hasta 10 puntos, Realizar 3 iteraciones hasta 10 puntos y estimar el error hasta 5 puntos.

 

2da Evaluación II Término 2016-2017. 14/Febrero/2017. ICM02188 Métodos Numérico

Tema 3.  Si se drena agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el líquido fluirá rápido cuando el tanque está lleno y disminuye el flujo a medida que se drene.

Como se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es:

$\frac{dy}{dt} = -k \sqrt{y}$

Donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del área de la sección transversal del tanque y agujero del drenaje. La profundidad del agua del agua se mide en metros y el tiempo t en minutos.

Si k=0.06,

a) Determine en que tiempo la altura del nivel del agua llega a la mitad del nivel inicial que es 3 m. (Solo formule el método de Taylor de orden 2)

b) Realice 3 pasos con h=0.5 min