Etiqueta: Ecuaciones Diferenciales Parciales

2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

Tema 3. (30 Puntos) Para la ecuación diferencial parcial elíptica mostrada:

$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

1 <  x < 2
1 <  y < 2

Y con las siguientes condicines de frontera:

$u(x,1)= x \ln (x), u(x,2) = x \ln (4x^{2}),1 \lt x \lt 2$ $u(1,y)= y \ln(y), u(2,y) = 2y \ln (2y), 1 \lt y \lt 2$

Considere los valores hx=hy=0.25

Realice la aproximación numérica para la solución.

Para resolver el sistema de ecuaciones utilice el método de Gauss-Seidel para dos iteraciones.

Rúbrica: Plantear la malla (5 puntos), calcular los bordes (3 puntos), plantear las segundas derivadas (7 puntos), plantear las ecuaciones  (10 puntos), aproximar la solución  (5 puntos)

2da Evaluación I Término 2019-2020. 27/Agosto/2019. MATG1013

Tema 3. (30 Puntos) Una placa rectangular de plata de 6×5 cm tiene calor que se genera uniformemente en todos los puntos, con una rapidez q = 1.5 cal/cm³ s.

Al representar con x la distancia a lo largo del borde de longitud 6 cm y con y la de 5 cm.

Suponga que la temperatura en los bordes se mantiene como se indica:

u(x,0) = x(6-x)	u(x,5)=0	0≤x≤6
u(0,y) = y(5-y)	u(6,y)=0	0≤y≤5

Donde el origen se encuentra en una esquina de la placa y los bordes se hayan a lo largo de los ejes positivos x, y.

La temperatura de estado estable u(x,y) satisface la ecuación de Poisson:

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,y)+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2 } (x,y) = -\frac{q}{K}$

0≤x≤6
0≤y≤5

Donde K, la conductividad térmica es 1.04 cal/cm deg s.

a. Aproxime la temperatura u(x,y) en los nodos de la malla con h_x =2, h_y= 2.5

b. Exprese el término del error

Rúbrica: literal a expresiones (10 puntos), valor (10 puntos), literal b (5 puntos)

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Referencia: Ejercicio 12.1.8, Burden 9Ed, p724.

2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013

Tema 3. (40 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial parcial (EDP) usando un método de diferencias finitas. Considere b = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + b\frac{\partial u}{\partial x}$ $0<x<1, t>0$

condiciones de frontera U(0,t)=0, U(1,t)=1

condiciones de inicio U(x,0)=0, 0≤x≤1

a) Aproxime la solución con h=0.25, realice dos pasos en t

b) estime el error.

Rúbrica: Plantea la malla (5 puntos), Conoce las fórmulas de las derivadas (5 puntos), Plantea la ecuación en los nodos de la malla (5 puntos), plantea las condiciones iniciales y condiciones de borde (5 puntos), Establece el valor de lamda y calcula el tamaño del paso k, (5 puntos) Realiza dos pasos (5 puntos), Conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula el error (5 puntos).

2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013

Tema 3. (25 puntos) Considere el problema con valores en la frontera:

$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 2(x^2+y^2)$ $0<x<1$ $0<y<1$

con las condiciones de frontera en los mismos intervalos que la ecuacion diferencial:

$u(x,0) = x + 1$ $u(0,y) = y+1$ $u(x,1) = x^2 + x +2$ $u(1,y) = y^2 + y +2$

Use el método de diferencias finitas para resolver el problema tomando como tamaño de paso h_x = h_y = 1/3

Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas, gráfica del problema (5 puntos), ecuación generalizada con diferencias finitas divididas (5 puntos), Sistema de ecuaciones para los puntos desconocidos (10 puntos). Valores de los puntos desconocidos (5 puntos)

 

2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018. MATG1013

Tema 3. Aproxime la solución de la sigiente EDP parcial usando diferencias regresivas

$\frac{\partial U}{ \partial t} - \frac{1}{16} \frac{\partial ^2U}{\partial x^2} = 0$ $0 \lt x \lt 1 , 0\lt t$ $U(0,t) = U(1,t) = 0, 0\lt t,$ $U(x,0) = 2 \sin (\pi x), 0\leq x \leq 1$

a) Plantee las ecuaciones usando hx = 1/3, ht = 0.05, T = 2

b) Calcule U(xi,tj)

c) Plantee el error de U(xi,tj)

2da Evaluación I Término 2017-2018. 28/Agosto/2017. MATG1013

Tema 3. (30 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la siguiente ecuación diferencial parcial parabólica:

$\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{1}{\pi ^2} \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} =0$

0 ≤ x ≤ 1, t>0

condiciones de borde: u(0,t) = u(1,t) = 0, t>0,
condiciones iniciales u(x,0) = cos(π(x-0.5)), 0 ≤ x ≤ 1

a) Use dx = 0.2 y dt = 0.01. Realize 3 pasos en el tiempo.

b) Estime el error.

c) Calcule la temperatura promedio para t=0 como el área bajo la curva, mediante el método de Simpson. Repita para t=0.01 y calcule el porcentaje que disminuye.

Rúbrica: Construir la malla hasta 5 puntos, plantear la ecuación en el nodo i,j hasta 5 puntos, calcular el estimado de u(i,j) hasta la tercera fila hasta 5 puntos, calcular la temperatura media estimada hasta 5 puntos.