Etiqueta: Ecuaciones Diferenciales Parciales

2da Evaluación I Término 2015-2016. 8/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 3. (30 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial parabólica

$\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{4}{\pi ^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 0$ $0 \lt\ x \lt 4, 0\lt t$ $u(0,t) = u(4,t) = 0, 0\lt t$ $u(x,0) = \sin \Big( \frac{\pi}{4}x \Big) \Big( 1 + 2 \cos \Big( \frac{\pi}{4}x\Big)\Big)$ $0 \leq x \leq 4$

a) Use n=20 en el sentido de x; y m=10, obtenga el modelo (solo planteado).

b) Aproxime la solución con n=4, hasta 2Δt, y

c) estime el error en el punto P(x₁, t₁)

2da Evaluación II Término 2014-2015. 23/Febrero/2015. ICM00158

Tema 3. En un tubo de órgano musical, la presión del aire p(x,t) se rige por la ecuación de onda

$\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}$ $0 \lt x \lt L, 0\lt t$

Donde L es la longitud del tubo y c es una constante física.

Si el tubo se encuentra abierto, las condiciones de frontera estarán dadas por:

p(0,t) = p0
p(L,t) = p0

Si el tubo está cerrado en el extremo donde x=L, las condiciones de frontera serán:

p(0,t) = p0

$\frac{\partial p(l,t)}{\partial x} = 0$

Suponga que c=1, L=1 y que las condiciones iniciales son

p(x,0) = p0 cos(2πx)

$\frac{\partial p(x,0)}{\partial t} = 0$

$0 \leq x \leq L$

a. Aproxime la presión de un tubo abierto usando las diferencias finitas con p0 = 0.9 en x = 1/2 para t = 0.5 y t = 1,

b. Modifique el procedimiento del literal a para el problema del tubo de órgano cerrado con p0 = 0.9 y luego aproxime p(0.5 , 0.5) y p(0.5 , 1) usando h = 0.1 y k = 0.1

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2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM00158

Tema 3. (20 puntos) Aproxime la solución de la ecuación diferencial parcial:

$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = (x^2 + y^2) e^{xy}$ $0\lt x \lt 1, 0\lt y \lt 0.5$

Con las condiciones de frontera:

$u(0,y) = 1, u(1,y) = e^y , 0 \leq y \leq 0.5$ $u(x,0) = 1, u(x,0.5) = \sqrt{e^x} , 0 \leq x \leq 1$

Usando un tamaño de paso h_x = h_y = 0.25

2da Evaluación II Término 2011-2011. 31/Enero/2012. ICM00158

Tema 3. Aproxime la solución de la ecuación diferencial parcial:

$\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =2$

t> 0 , 0≤ x ≤ 1

$\begin{cases} u(0,t) = u(1,t) = 0, & t\gt0 \\u(x,0) = \sin (\pi x) + x(1-x) \end{cases}$

Con h= 0.25 y k=0.04, realizar solo dos iteraciones en el tiempo (j=1,2) .

Indicación: Para establecer el algoritmo, utilice la fórmula progresiva para la primera derivada.

2da Evaluación I Término 2009-2010. 1/Septiembre/2009. Análisis Numérico

Tema 2. (20 puntos) Dada la ecuación hiperbólica

$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 0$ $0 \lt x \lt 1, t\gt 0$ $\begin{cases} u(0,t) = u(1,t) = 0 , & t\gt 0 \\ u(x,0) = \sin (2\pi x), & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{\delta u}{\delta t} (x,0) = 2 \pi \sin (2\pi x) , & 0 \leq x \leq 1\end{cases}$

Aproximar u(x,t) para t=0.8, con h=k=0.2

Rúbrica: Establecer el método de diferencia centrada y condiciones de frontera (5 puntos), determinar ω_i1 (5 puntos), aproximación de u(x,t) en t=0.8 (10 puntos)

2da Evaluación I Término 2008-2009. 2/Septiembre/2008. Análisis Numérico

Tema 3. Resolver la siguiente ecuación diferencial

$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0$ $1\lt x \lt 2, 0 \lt y \lt 1$ $u(x,0) = 2 \ln(x)$ $u(x,1)= \ln(x^2 + 1)$ $1\leq x \leq 2$ $u(1,y) = \ln(y^2 +1)$ $u(2,y)= \ln(y^2 + 4)$ $0\leq y \leq 1$