Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Integración Numérica
Tema 2. Dada la función
f(x) = \begin{cases} \sin (x) , & 0\leq x \lt \frac{\pi}{2}\\ - \frac{2x}{\pi} +2, & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi \end{cases}a. Graficar la función
b. Integrar numéricamente con la fórmula compuesta de Simpson, n=6
c. Determinar el error absoluto del valor determinado en el literal b.
Tema 3. Demostrar la fórmula de Simpson:
\int_{x_0}^{x_2} f(x)dx = \frac{h}{3} \Big[f x_0 + 4 f x_1 + f x_2 \Big] - \frac{h^5}{90} f^4 \xiDonde h es la distrancia entre los nodos y ξ ∈ x0,x2
Tema 3. (25 puntos) Calcular la siguiente integral, con el algoritmo de la integral doble de Simpson:
\int_R \int x^2 (\sqrt{9 - y^2}) \delta ADonde R es la región acotada por: x2+y2 =9 .
Usar n=m=4
Tema 3. (25 puntos) Aproxime el valor de la siguiente integral con ayuda de la fórmula compuesta de Simpson con n=6
\int_0^1 \frac{\cos (2x)}{x^{1/3}} \delta xRúbrica: Integración del polinomio de grado cuatro (10 puntos), integración del residuo con Simpson (10 puntos), Valor aproximado de la integral (5 puntos)
Tema 1. (20 puntos) Calcular la integral doble usando el método de Simpson con n=m=3
\int_R\int (y^2 + x^3) \delta y \delta x
Rúbrica: Integración respecto eje x (10 puntos), Integración respecto eje y (10 puntos)
Tema 2. La matriz F tiene la altura de una montaña en una región rectangular con Δx = Δy =0.2 
Aproxime el volumen de la región bajo la superficie utilizando la regla de Simpson 1/3 en ambas direcciones
F = [[2.3, 2.5, 3.1, 3.2, 2.8],
[2.4, 2.6, 2.9, 2.8, 2.7],
[2.6, 2.8, 3.1, 3.0, 2.6]]
Tema 3. (30 puntos) Para que la siguiente función sea útil en el cálculo de probabilidad, se debe encontrar el valor de k tal que el área bajo f(x) sea igual a 1.
f(x)=\begin{cases} kxe^{-x^2}, & x\geq 0\\ 0, & x\lt 0 \end{cases}Encuentre un valor aproximado de k con el siguiente procedimiento.
a. Separe el integral en dos intervalos [0, 1], [1, ∞]. Mantenga k fuera del integral.
b. Integre en el intervalo [0,1] con la fórmula de Simpson (m=2)
c. Mediante un cambio de variable elimine el límite ∞ en el segundo intervalo e integre aplicando una vez la Cuadratura de Gauss. Recuerde que esta fórmula no requiere evaluar la función en los extremos del intervalo de integración.
d. Obtenga el valor de k igualando a 1 la suma de los dos resultados anteriores
Tema 4. Calcule la siguiente integral, usando el método de la cuadratura Gaussiana
\int_0^{\pi /4} x^3 \sin (\sqrt{x}) dxCon n =3
Tema 2. (40 puntos) Se han registrado seis mediciones de la emisión en Kg de CO2 en una fábrica entre la 1 y las 3 de la tarde:
| t | hora | 1.0 | 1.4 | 1.8 | 2.2 | 2.6 |
| emisión[t] | Kg | 2.2874 | 5.5947 | 10.6046 | 16.0527 | 18.0455 |
a. Tabule las diferencias finitas hacia adelante
b. Con un polinomio de segundo grado, calcule la cantidad de CO2 que se emitió a las 2 de la tarde. Encuentre el error en el resultado obtenido
c. Usando una fórmula de segundo orden, calcule la velocidad (emisión‘(t)) con la que está emitiéndose la cantidad de CO2 cuando t=1.8 horas. Estime el error en el resultado obtenido.
d. Usando una fórmula de segundo orden, calcule la aceleración (emisión''(t)) con la que está emitiéndose la cantidad de CO2 cuando t=1.8 horas. Estime el error en el resultado obtenido.
e. Usando una aproximación lineal entre los datos de las mediciones, calcule la cantidad total de CO2 que se emitió entre la una de la tarde y las tres de la tarde (fórmula de los trapecios). Estime el error en el resultado obtenido.
f. Usando una aproximación parabólica entre los datos de las mediciones calcule la cantidad total de CO2 que se emitió entre la una de la tarde y las tres de la tarde (fórmula de Simpson). Estime el error en el resultado obtenido.
t = [ 1.0, 1.4, 1.8, 2.2, 2.6 ] emision = [ 2.2874, 5.5947, 10.6046, 16.0527, 18.0455]
Tema 3. Se tienen las utilidades anuales de una empresa cada 3 años.
| Año | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 |
| Utilidad Anual | 0 | 16500 | 14520 | 1540 | 14690 |
a. Encuentre el trazador cúbico natural que se ajusta a los datos de la tabla. Resuelva el sistema de ecuaciones con el método de Gauss=Seidel con un error menor a 10-3
b. Aproxime el área bajo la curva de 0 a 12 años aplicando una vez la Cuadratura de Gauss.
anio = [ 0, 3, 6, 9, 12] utilidad = [ 0, 16500, 14520, 1540, 14690]