Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Método de interpolación con polinomios
Tema 3. Sea f \in C^{4}[0,1] , tal que
f(0.50) = 1.648
f(0.65) = 1.915
f(0.80) = 2.225
f(0.95) = 2.5857
Usando el polinomio interpolante de Lagrange, aproxime:
f(0.76)
f(0.87)
datos = [[0.50, 1.648],
[0.65, 1.915],
[0.80, 2.225],
[0.95, 2.5857]]
Tema 3. Suponga que se tiene un automóvil viajando a lo largo de un camino recto. En diferentes puntos de su recorrido se mide lo siguiente:
| Tiempo [s] | 0 | 3 | 5 | 8 | 13 |
| Distancia [m] | 0 | 69 | 117 | 190 | 303 |
| Velocidad [m/s] | 22.9 | 23.5 | 24.4 | 22.6 | 21.9 |
Usando interpolación de Lagrange aproxime el valor de la velocidad del automóvil en t =10 segundos.
Tiempo = [ 0.0, 3, 5, 8, 13] Distancia = [ 0.0, 69, 117, 190, 303] Velocidad = [22.9, 23.5, 24.4, 22.6, 21.9]
Referencia:
Tema 1. La función de variable real f(x) será aproximada con el polinomio de segundo grado P(x) que incluye los tres puntos f(0), f(π/2), f(π).
f(x) = e^x \cos (x) +1 0\leq x \leq \piEncuentre la magnitud del mayor error E(x) = f(x) -P(x), que se produciría al usar esta aproximación. Resuelva la ecuación no lineal resultante con la fórmula de Newton con un error máximo de 0.0001.
Tema 3. Para el control de los accidentes de tránsito, se requiere modelar un factor de riesgo de que ocurra un accidente de tránsito en cierta avenida, en función del número de vehículos que circulan por ella a la semana.
Por observación directa se han determinado los siguientes factores:
“Número de vehículos que circulan por la avenida a la semana” vs “Factor de riesgo”
| vehículos | 10000 | 7000 | 6000 | 5000 |
| Factor de riesgo | 0.8 | 0.5 | 0.4 | 0.2 |
Empleando toda la información de la tabla anterior, estime con un polinomio de Lagrange el factor de riesgo que tendrá la avenida si el número de vehículos que circula a la semana es 6500.
vehiculos = np.array([10000, 7000, 6000, 5000]) riesgo = np.array([0.8, 0.5, 0.4, 0.2])
Tema 3. Una empresa que vende cierto producto ha observado que su demanda depende del precio al que se lo vende (P en $/unidad) y también del precio al que la competencia vende un producto de similares características (Q en $/unidad).
Recopilando información histórica respecto a lo que ha sucedido en el pasado, se observó que la demanda diaria (unidades vendidas por día) de este producto fueron de:
| Q\P | 1 | 1.1 | 1.2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 100 | 91 | 83 |
| 1.1 | 110 | 100 | 92 |
| 1.2 | 120 | 109 | 100 |
| 1.3 | 130 | 118 | 108 |
Use todos los datos dados y el polinomio de interpolación de Lagrange para estimar los Ingresos mensuales de la empresa por la venta de este producto si decide venderlo a $1.15 por unidad y conoce que la competencia estableció un precio de $1.25 por unidad.
Tema 1 (40 puntos). Los siguientes datos representan la medición de la demanda f de un producto durante cinco semanas consecutivas:
t = [ 1, 2, 3, 4, 5] f = [24, 45, 62, 65, 58]
Use todos los datos proporcionados para calcular los siguientes resultados y estimar el error en sus respuestas:
a. Encuentre la demanda en la semana 3.5
b. Determine el día en que la demanda fue 50
c. En qué día se tuvo la mayor demanda.
Tema 3. (30 puntos) 
Suponga que el siguiente modelo f(x) describe la cantidad de personas que son infectadas por un virus
en donde x es tiempo en días. Los coeficientes a, b, c deben determinarse.
Se conoce que la cantidad de personas infectadas registradas son:
| x | 0 | 5 | 10 |
| f(x) | 1 | 4 | 20 |
a. Plantee un sistema de ecuaciones lineales.
b. Resuelva el sistema para determinar los coeficientes
c. Use el modelo f(x) para determinar el día que la cantidad de personas infectadas por el virus sea 1000. Obtenga la solución con el método de la Bisección.
Previamente encuentre un intervalo de convergencia y obtenga la respuesta con un decimal exacto.
Muestre los valores intermedios calculados hasta llegar a la solución.
Tema 3. Se dispone de los datos (x, f(x)), en donde x es un valor de inversión y f(x) es un valor de ganancia, ambos en miles de dólares:
| inversión | ganancia |
| 3.2 | 5.12 |
| 3.8 | 6.42 |
| 4.2 | 7.25 |
| 4.5 | 6.85 |
para analizar éste comportamiento se propone usar el siguiente modelo:
f(x) = a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_3 x + a_4a) Sustituya cada dato (x, f(x)) en el modelo y obtenga un sistema de ecuaciones lineales. 
b) Obtenga los coeficientes ai resolviendo el sistema lineal con un método numérico directo.
c) Con el modelo f(x), use el método de la Bisección para calcular cuánto debe invertirse si se desea que la ganancia sea de 6.0 (miles de dólares).
Precisión: dos decimales exactos.
xi = np.array([3.2 , 3.8 , 4.2 , 4.5 ]) fi = np.array([5.12, 6.42, 7.25, 6.85])
Tema 2. El índice enfriador del viento I es una función que depende de dos factores: La temperatura real T y la velocidad del viento v; es decir I=f(T,v).
La siguiente tabla registra los valores de I recogidos en cierto momento por un investigador en los páramos del Cotopaxi. Por ejemplo, cuando la temperatura real es de 5 grados Celcius y el viento de 20 Km/hora, el índice I = f(5, 20) =1 , que quiere decir que la temperatura que se siente en estas condiciones es de 1 grado, aunque no sea la temperatura real.
| T\v | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 2 | 2 | 1 |
| 0 | -2 | -3 | -4 | -5 |
| -5 | -8 | -10 | -11 | -12 |
Usando interpolación polinomial, estimar la temperatura que sentirá una persona situada en un lugar en el que la temperatura real es de 2 grados y la velocidad del viento es 25 Km/hora.
Tema 3. Dada la tabla:
| t | v(t) |
|---|---|
| 3 | 65.041 |
| 5 | 64.385 |
| 7 | y |
| 9 | 63.210 |
| x | 62.576 |
| 13 | 61.993 |
| 15 | 61.417 |
Aproximar los valores de x,y con ayuda de polinomios de Lagrange