Etiqueta: matriciales directos

1ra Evaluación II Término 2011-2012. 29/Noviembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2.
Una empresa produce semanalmente 3 tipos de productos, los insumos que requiere cada unidad producida se indican en la siguiente tabla:

	Insumo1	Insumo2	Insumo3
Producto A	2	3	5
Producto B	5	2	7
Producto C	2	1	4

La cantidad de insumos que debe utilizarse exactamente cada semana es:

Insumo1	Insumo2	Insumo3
200	150	400

Sean x, y, z, la cantidad de productos A,B,C respectivamente, producida semanalmente (x≥0, y≥0, z≥0)

a) Plantee un sistema de ecuaciones

b) Utilice el método de eliminación de Gauss y encuentre la solución.

c) Incremente en 0.1 el primer coeficiente de la matriz. Resuelva nuevamente el sistema y comente acerca del cambio en la solución respecto al cambio en la matriz de coeficientes.

1ra Evaluación I Término 2011-2012. 5/Julio/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. Una empresa compra tres materiales A, B, C
en cantidades en kg como se indica en el cuadro.

Se dispone de tres facturas en las que consta el total pagado en dólares, excepto en la segunda factura:

Factura	A	B	C	Total
1	2	5	4	35
2	3	9	8	k
3	5	3	1	17

a) Construya el modelo matemático para resolver este problema.

b) Con el método de Gauss-Jordan encuentre la solución en función de k.

c) Luego de resolver el sistema, nos comunican que el valor pagado en la segunda factura es 65 dólares. Sustituya en la solución anterior y encuentre la solución exacta.

d) Para verificar que la solución es confiable, en la matriz de coeficientes sustituya 5 por 5.1 y obtenga nuevamente la solución con  k=65 y el método anterior. Compare con la solución anterior y comente el resultado obtenido.

e) Encuentre el error relativo de la solución y compare con el error relativo de la matriz. Comente acerca del tipo de sistema.

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A = np.array([[2,5,4],
              [3,9,8],
              [5,3,1]])

B = np.array([[35],
              [65],
              [17]])

1ra Evaluación I Término 2011-2012. 5/Julio/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. Suponga un sistema biológico con 4 especies de animales (e₁, e₂, e₃, e₄) y 3 tipos de alimentos (A, B, C).

En el siguiente cuadro se muestra el consumo diario promedio de cada tipo de alimento por cada miembro de especie animal, y la cantidad diaria de alimento disponible:

Alimento\Especie	e1	e2	e3	e4	Cantidad diaria
A	1	2	0	3	3500
B	1	0	2	2	2700
C	0	0	1	1	900

Sea x_j el número de miembros de cada especie animal j = 1, 2, 3, 4.

a) Escriba un sistema de ecuaciones que permita determinar la cantidad de miembros de cada especie animal que pueden sustentarse con las cantidades de alimentos disponibles.

b) Encuentre una solución con el método de Gauss-Jordan en la que la última variable quede libre.
Escriba el conjunto de soluciones posibles en función de la variable libre.

c) Suponga que la cantidad actual de miembros de cada especie es:

X = [1000, 500, 350, 400]

¿Hay suficiente cantidad de alimentos para satisfacer el consumo promedio diario actual?

d) ¿Cuál es el número máximo de animales de cada especie que podría incrementarse de tal manera que el suministro diario disponible satisfaga todavía al consumo diario?

e) Si se extingue la especie animal 4, ¿Qué aumento individual de cada una de las otras tres especies podría soportarse con la cantidad diaria de alimento disponible?

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Referencia: Disney’s Fantasia 2000 Pomp Circumstance Starring Donald Duck

 

1ra Evaluación I Término 2011-2012. 5/Julio/2011. ICM00158

Tema 2. Una empresa compra tres materiales A, B, C en cantidades en kg. como se indica en el cuadro.
Se dispone de tres facturas en las que consta el total pagado en dólares, excepto en la segunda factura:

Factura	A	B	C	Total
1	2	5	4	35
2	3	9	8	k
3	5	3	1	17

a) Construya el modelo matemático para resolver este problema.

b) Con el método de Gauss-Jordan encuentre la solución en función de k.

c) Luego de resolver el sistema, nos comunican que el valor pagado en la segunda factura es 65 dólares. Sustituya en la solución anterior y encuentre la solución exacta.

d) Para verificar que la solución es confiable, en la matriz de coeficientes sustituya 5 por 5.1 y obtenga nuevamente la solución con  k=65 y el método anterior. Compare con la solución anterior y comente el resultado obtenido.

e) Encuentre el error relativo de la solución y compare con el error relativo de la matriz. Comente acerca del tipo de sistema.

1ra Evaluación I Término 2010-2011. 6/Julio/2010. ICM02188. Métodos Numéricos

Tema 3. Un comerciante compra cuatro artículos: arroz, manzanas, papas y tomates.

Estos productos se venden por peso en Kg.

El cajero registra el peso adquirido de cada artículo y el costo total en dólares que debe pagar por los cuatro artículos.

El comerciante desea conocer el precio por Kg. de cada artículo, para lo cual dispone de cuatro facturas con los siguientes datos:

cantidades en Kg

Factura	Arroz	Manzanas	Papas	Tomates	Costo ($)
1	2	2	4	1	15.0
2	2	2	5	2	18.3
3	4	1	1	2	12.3
4	2	5	2	1	19.2

a. Formule el modelo matemático para resolver este problema: sistema de ecuaciones lineales

b. Use el método de Gauss-Jordan para calcular la solución. Simultáneamente, transforme la matriz identidad para obtener la inversa de la matriz de coeficientes.

1ra Evaluación II Término 2009-2010. 1/Diciembre/2009. ICM00158

Tema 2. Un pequeño buque porta-contenedores tiene una capacidad remanente para llevar un peso de 10 toneladas de carga y 10.4 m³ de volumen en contenedores tipo I y tipo II.

Los contenedores tipo I tienen un peso de 1 tonelada y ocupan un volumen de 1.1 m³, mientras que los de tipo II tienen un peso de 2 toneladas y ocupan un volumen de 2 m³.

Si se llenó la capacidad remanente del buque tanto en peso como en volumen, y utilizando el método directo de Gauss con aritmética de 3 dígitos y estrategia de pivoteo parcial:

a) Determinar cuántos contenedores tipo I y tipo II llevó el buque.

b) Luego se comprobó que hubo un pequeño error en la estimación del volumen que ocupa cada contenedor del tipo I. En lugar de 1.1 m³ en realidad estos contenedores ocupan 1.05 m³, los otros parámetros estaban bien estimados. Determinar cuál era la cantidad real de contenedores tipo I y II que debió haber llevado el buque para utilizar su capacidad completa de peso y volumen.

c) El sistema es bien o mal condicionado? Determine el número de condición.

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1ra Evaluación II Término 2009-2010. 1/Diciembre/2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (40 puntos).
Una empresa produce cuatro productos:
P1, P2, P3, P4 usando tres tipos de materiales M1, M2, M3.

Para fabricar cada Kg. de cada producto se requiere la siguiente cantidad en Kg, de los tres materiales en la siguiente proporción:

	P1	P2	P3	P4
M1	0.2	0.2	0.1	0.5
M2	0.4	0.6	0.8	0.4
M3	0.4	0.2	0.1	0.1

La cantidad disponible de cada material es: 15, 20, 12 Kg. respectivamente, los cuales deben usarse completamente.

a) Resuelva este sistema dejando como variable libre la cantidad del producto P4. Use el método de Gauss-Jordan para reducir el sistema a la forma diagonal hasta donde sea posible.

b) Luego exprese las ecuaciones en función de la variable libre y determine un rango para la cantidad que debe fabricarse del producto P4 de tal manera que la cantidad fabricada de los otros tres productos sea positiva.

c) Del rango obtenido seleccione un valor entero para la cantidad de P4 y con este valor, determine la cantidad correspondiente para cada uno de los otros tres productos P1, P2, P3.

1ra Evaluación II Término 2009-2010. 1/Diciembre/2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. (30 puntos). Para el control de los accidentes de tránsito, se requiere modelar un factor del riesgo f(x) de un accidente de tránsito en cierta avenida, en función del número de vehículos x que circulan por ella a la semana.

Por observación directa se han determinado los siguientes factores:

x en miles	10	7	6
f(x)	0.8	0.5	0.4

Se propone el siguiente modelo para predecir el factor de riesgo:

f(x) = ax^2 + bx + c

a) Sustituya cada uno de los tres datos (x, f(x)) en el modelo y obtenga un sistema de tres ecuaciones lineales.
Obtenga la solución con el método de Gauss.

b) Determine el factor de riesgo que tendrá la avenida si el número de vehículos que circula semanalmente es 5 (miles).

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Referencia: Exceso de velocidad, principal causa de siniestros de tránsito en Guayaquil. eluniverso.com. 11 Nov.2019

https://www.eluniverso.com/guayaquil/2019/11/11/nota/7599413/exceso-velocidad-principal-causa-accidentes-transito-guayaquil

1ra Evaluación I Término 2009-2010. 7/Julio/2009. ICM00158

Tema 2. (40 puntos). Una empresa produce cuatro productos: P1, P2, P3, P4 usando tres tipos de materiales M1, M2, M3.

Para fabricar cada Kg de cada producto se requiere la siguiente cantidad en Kg, de los tres materiales en la siguiente proporción:

	P1	P2	P3	P4
M1	0.2	0.5	0.4	0.2
M2	0.3	0	0.5	0.6
M3	0.4	0.5	0.1	0.2

La cantidad disponible de cada material es: 10, 12, 15 Kg respectivamente, los cuales deben usarse completamente.

a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales para determinar la cantidad producida de cada producto. Use el método de Gauss-Jordan para reducir el sistema a la forma escalonada con 1’s en la diagonal hasta donde sea posible. Use dos decimales en los cálculos.

b) Encuentre la variable libre y asígnela un t. Exprese la solución (cantidad de unidades producidas de cada producto) en términos de la variable t y determine su dominio.

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Suponiendo que la última variable para P4 sea cero, se inicia con:

A = np.array([[0.2, 0.5, 0.4],
              [0.3, 0.0, 0.5],
              [0.4, 0.5, 0.1]])
B = np.array([10, 12, 15],dtype=float)

1ra Evaluación I Término 2009-2010. 7/Julio/2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (40 puntos) Una empresa produce por semana tres productos P1, P2 y P3. Cada producto registra costo de materia prima M1 y costo de manufactura M2. El costo en dólares para obtener cada unidad de producto se describe en el siguiente cuadro:

	P1	P2	P3
M1	2	4	5
M2	8	1	2

La cantidad de dinero presupuestada por semana es de 400 dólares para la materia prima y 200 dólares para manufactura. Estos valores deben usarse completamente cada semana.

a. Plantee un sistema de ecuaciones lineales para determinar la cantidad producida de cada producto. Use el método de Gauss-Jordan para reducir el sistema a su forma escalonada con 1’s en la diagonal hasta donde sea posible. Use dos decimales en los cálculos.

b. Encuentre la variable libre, asignando un valor t. Exprese  la solución (cantidad de unidades producidas de cada producto) en términos de la variable libre t y determine su dominio.

c. Si x₁, x₂, x₃ representan la cantidad de unidades producidas por semana y se conoce que el costo de transporte por semana está dato por la función

f(t) = 2( x_1)^2 + 4(x_2)^2 +3(x_3)^2

encuentre el valor de t para el cual el costo de trasporte semanal es mínimo. Con éste valor, indique cuál debe ser el nivel de producción semanal de los tres productos para minimizar costos.