Etiqueta: método de Jacobi

1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013

Tema 3. (25 puntos). La temperatura en los nodos de la malla de una placa se puede calcular con el promedio de las temperaturas de los 4 nodos vecinos de la izquierda, derecha, arriba y abajo.

Una placa cuadrada de 3 m de lado tiene la temperatura en los nodos de los bordes como se indica en la figura,

a) Plantee el sistema de ecuaciones y resuelva con eliminación de Gauss, encontrar a, b, c, d.

b) Encuentre la matriz T de Jacobi y comente sobre la convergencia

c) Con X[0]=[a=60, b=40, c=70, d=50], realice 3 iteraciones, estime el error, comente.

d) Con la tercera iteración calcule el residuo y encuentre una cota del error absoluto y error relativo

Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos).

Referencia: Ejercicio 12.39 p339 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.

1ra Evaluación I Término 2016-2017. 28/junio/2016. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 4. (25 puntos) Responda las siguientes preguntas y justifique la respuesta

a) Si la ‖T_j‖_∞ > 1 , entonces el método de Jacobi no converge

b) Si f ∈ C²[a,b] y p ∈ [a,b], tal que f(p)=0 y f ‘(p)≠0,
entonces existe δ > 0 tal que el método de Newton converge para cualquier
p₀ ∈ [p – δ, p + δ]

Rúbrica: literal a) falso  (6 puntos), Justificación (6 puntos), literal b) verdadero (6 puntos), demostración (7 puntos)

1ra Evaluación II Término 2017-2018. 28/Noviembre/2017. MATG1013

Tema 3. (25 puntos) El sistema de ecuaciones que sigue se generó por medio de aplicar la ley de malla de corriente al circuito de la figura.

\begin{cases} 55 I_1 - 25 I_4 = -200 \\ -37 I_3 - 4 I_4 = -250 \\ -25 I_1 - 4 I_3 + 29 I_4 = 100 \\ I_2 = -10 \end{cases}

a) Use el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema

b) Use el método de Jacobi y determine el número de iteraciones para ε=0.01

c) Si el coeficiente 55 se cambia a 54.9, encuentre el error relativo de la aproximación en el literal a.

Rúbrica: Aplicación del método de eliminación de Gauss hasta 10%, Uso del método de Jacobi hasta 5% y determinación del número de iteraciones hasta 5%, Calculo del residuo y cota del error relativo hasta 5%.

---

A = [[ 55.0, 0,  0, -25],
     [  0  , 0,-37,  -4],
     [-25  , 0, -4,  29],
     [  0  ,  1, 0,   0]]

B = [-200,-250,100,-10]

1ra Evaluación I Término 2016-2017. 28/junio/2016. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. (25 puntos) Tres organismos patógenos decaen en forma exponencial en aguas de un lago de acuerdo con el siguiente modelo:

p(t) = A e^{-1.5t} + B e^{-0.3t} + C e^{-0.05t}

Estime la población inicial de cada organismo, dadas las mediciones siguientes:

Tiempo (horas)	0.5	1	2	3	4
Población (miles)	6.0	4.4	3.2	2.7	2.2

a) Seleccione los tres primeros puntos y plantee un sistema de 3 ecuaciones.
b) Con el método de Jacobi encuentre la matriz T y comente.
c) Con el método de Gauss Seidel realice tres iteraciones y estime el error.

Rúbrica: Ecuaciones (5 puntos), matriz (5 puntos), comentario (6 puntos), Iteraciones (5 puntos), estimación del error (4 puntos).

---

Referencia: Cuales son los agentes patógenos del agua.
https://www.ecomol.es/tratamientos/cuales-son-los-agentes-patogenos-del-agua/

 

1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

TEMA 2. (35 puntos) La matriz insumo-producto propuesto por W. Leontief, es un modelo muy importante en Economía.

En ésta matriz se describe la producción de los diferentes sectores económicos y la demanda interna para satisfacer a estos mismos sectores, expresada como una fracción de su producción.

Ejemplo: Suponga que hay tres sectores
A: agricultura,
M: manufactura
S: servicios
y su demanda interna es:

Matriz T	Producción
		A	M	S
Demanda	A	0.40	0.03	0.02
Interna	M	0.06	0.37	0.10
	S	0.12	0.15	0.19

Sea T el nombre de esta matriz.

Para los datos propuestos, en la primera columna de la matriz T, el sector A requiere 0.4 de su propia producción, 0.06 del sector M, y 0.12 del sector S, etc.

Sea D el vector de demanda externa de cada sector, y X el vector de la producción total de cada sector, requerida para satisfacer las demandas interna y externa:

D = \begin{pmatrix} 80\\ 140\\200 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\x3 \end{pmatrix}

en donde x₁, x₂, x₃ representan la producción total de cada sector.

Entonces la ecuación X = TX + D proporciona la producción total X para satisfacer las demandas externa e interna.

a) Formule un método iterativo en notación vectorial para usar la ecuación anterior. Indique cual es el nombre de la matriz T. Analice esta matriz y determine si el método iterativo es convergente.

b) Comience con un vector inicial X = [200, 200, 200]^T realice las iteraciones necesarias hasta que la norma de la diferencia entre dos vectores consecutivos sea menor a 1.

Use la norma de fila.

---

Referencia: Modelo Input-Output. https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_Input-Output, https://es.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

T = np.array([[0.40, 0.03, 0.02],
              [0.06, 0.37, 0.10],
              [0.12, 0.15, 0.19]])

D = np.array([80.0, 140.0, 200.0],dtype=float)

Xa = np.array([200.0,200.0,200.0])

1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM00158

Tema 2. (20%) Dado el siguiente sistema:

\begin{cases}2x_1+2x_2-x_3+x_4=4\\4x_1+3x_2-x_3+2x_4=6\\8x_1+5x_2-3x_3+4x_4=12\\3x_1+ 3x_2-2x_3+2x_4=6\end{cases}

a) Resolver el sistema con un método directo

b) ¿Es posible resolver este sistema con el método iterativo de Jacobi?
Si su respuesta es afirmativa, resuélvalo con una tolerancia de 10^-2, con X(0)=0
Si su respuesta es negativa, justifique su conclusión.

---

A = np.array([[2,2,-1,1],
              [4,3,-1,2],
              [8,5,-3,4],
              [3,3,-2,2]])
B = np.array([[4.0],
              [6],
              [12],
              [6]])
tolera = 0.01